디랙 행렬

1. 정의

---

디랙 행렬(Dirac matrix)은 $$0, \pm 1, \pm i$$로 이루어진 4개의 행렬이다. 감마 행렬(gamma matrix)라고도 부른다. 정의는 다음과 같다.

[math(\displaystyle \gamma^0 = \begin{pmatrix}

1. & 0 & 0 & 0 \\

0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1

\end{pmatrix} )]

[math(\displaystyle \gamma^1 = \begin{pmatrix}

0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & 0 & 0

\end{pmatrix} )]

[math(\displaystyle \gamma^2 = \begin{pmatrix}

0 & 0 & 0 & -i \\
0 & 0 & i & 0 \\
0 & i & 0 & 0 \\
-i & 0 & 0 & 0

\end{pmatrix} )]

[math(\displaystyle \gamma^3 = \begin{pmatrix}

0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 \\
-1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0

\end{pmatrix} )]

이때, 0, 1, 2, 3은 거듭제곱을 의미하는 것이 아니라 그냥 첨자이다. 또한 편의상 다섯 번째 디랙 행렬을 다음과 같이 정의한다.

[math(\displaystyle \gamma^5 = i \gamma^0 \gamma^1 \gamma^2 \gamma^3 = \begin{pmatrix}

0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\

1. & 0 & 0 & 0 \\

0 & 1 & 0 & 0

\end{pmatrix} )]

첨자가 5인 이유는 예전에는 첨자를 1부터 5까지 썼는데 4차원 성분을 첨자 0으로 쓰면서 표기가 굳어졌기 때문이다.

2. 성질

---

디랙 행렬은 다음과 같은 반교환자(anticommutator) 관계가 성립한다.

$$\displaystyle \left\{ \gamma^\mu , \gamma^\nu \right\} = \gamma^\mu \gamma^\nu + \gamma^\nu \gamma^\mu = 2 \eta^{\mu \nu} I $$

이때 $$\eta^{\mu \nu}$$는 민코프스키 계량 텐서 (Minkowski metric)

[math(\eta = \begin{pmatrix}

1. & 0 & 0 & 0 \\

0 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1

\end{pmatrix} )]

의 $$\mu$$행 $$\nu$$열 성분이고, $$I$$는 $$4 \times 4$$ 단위행렬이다.