랜덤 매트릭스

 

1. 설명
2. 정의
3. 예시
4. 정리
5. 응용


1. 설명

말 그대로 랜덤한 행렬.
확률론에서 숫자에 대한 확률 변수를 정의하였고 이를 확장하여 랜덤한 벡터를 고려하였다. 여기서 더 나아가면 랜덤 변수들이 모인 행렬도 충분히 생각할 수 있다.[1] 다만 랜덤변수를 행렬 형태로 쓰게 되면 그냥 벡터 여러개로 보는 것 이상의 특성을 가질 수 있다. 가장 대표적인 것이 Eigenvalue와 eigenvector. 그래서 테렌스 타오와 같은 랜덤 매트릭스 이론을 연구하는 수학자들은 어떠한 랜덤 분포를 가진 행렬(이를 통계물리 커뮤니티에서의 용어를 빌려와 Ensemble이라 한다)의 eigenvalue와 eigenvector가 어떠한 분포를 가지는가? 혹은 최소한 어떤 bound를 가지는가에 대해 깊이 연구하고 있다. 이는 원래 통계물리의 문제를 풀기위해 사용되었지만 최근들어 통계, 금융, 컴퓨터 과학, 경제학, 네트워크 분석 등에도 많이 사용되는 추세이다.
자세한 내용이 알고 싶다면 Terence Tao의 블로그 혹은 Textbook에 매우 친절히 설명되어 있다.

2. 정의


3. 예시

  • Wigner Matrix
  • GUE (Gaussian Unitary Ensemble)
  • GOE (Gaussian Orthogonal Ensemble)
  • Wishart Matrix
  • Random Matrix Process
    • Dyson Brownian Motion

4. 정리

  • Wigner's Semi-circle Law
  • Marchenko-Pastur Law
  • Weyl's Theorem
  • Davis-Kahan Sin $\Theta$ Theorem
  • Hoeffding's Inequality
  • Bernstein's Inequality

5. 응용

  • Statistical Mechanics
  • Perturbation Theory
  • High-dimensional Statistics
  • High Frequency Finance
  • Machine Learning

[1] 단, 확률 행렬(Stochastic Matrix or Markov Matrix)과는 다르다.

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