레비치비타 기호
1. 레비치비타 기호
'''Levi-Civita symbol'''
선형대수학에서 사용되는 기호 중 하나로, 3차원 이상의 텐서를 정의할 때, 치환을 통하여 정의되는 텐서집합이다. 이탈리아의 수학자 툴리오 레비치비타(Tullio Levi-Civita)의 이름에서 따 왔다.
일반적으로는 3차원에서 정의되며, 이 정의를 확장시켜 4차원 이상으로 확장시킨다.
3차원에서의 레비치비타 기호는 다음의 텐서다.
이건 어디까지나 계산 결과이며, 실제로는 이렇게 정의한다.3차원 레비치비타 기호 $$\epsilon_{ijk}$$는 다음의 구성으로 이루어진 텐서다.
그렇기 때문에 다음 성질이 성립한다.$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$$이라는 순열이 존재할 때, $$n$$개의 호환의 곱으로 만들어지는 $$\begin{pmatrix} i & j & k \end{pmatrix}$$ 순열에 대응하는 $$\epsilon_{ikj}$$는 다음과 같이 정의된다.
$$\epsilon_{ikj}=\left(-1\right)^n$$
또한, $$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$$의 순열에 호환을 여러번 곱해도 만들어지지 못하는 $$\begin{pmatrix} i & j & k \end{pmatrix}$$에 대응되는 $$\epsilon_{ijk}$$ 값은 0이 된다.
$$\text{if}\ i=j \;\text{or}\; j=k \; \text{or}\; k=i, \epsilon_{ikj}=0$$
$$\text{if}\ i\neq j \; \text{and}\; j\neq k\;\text{and}\; i\neq k, \left|\epsilon_{ikj}\right|=1$$
이를 확장하여, $$n$$차원 레비치비타 기호는 다음과 같이 정의한다.
$$A=\begin{pmatrix} i & j & k & l & \cdots \end{pmatrix}, \left| A\right|=n$$라고 할 때
$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & \cdots & n-1 & n\end{pmatrix}$$에 호환을 $$m$$번 곱해서 $$\begin{pmatrix} i & j & k & l & \cdots \end{pmatrix}$$을 만들 수 있다면,
$$\epsilon_{ikjl\cdots}=\left(-1\right)^{m}$$
만들 수 없는 순열(순열의 2개 이상의 항이 중복할 경우)이라면 $$\epsilon_{ikjl\cdots}=0$$이다.
2. 레비 치비타 기호와 크로네커 델타 기호
이 두 기호는 상당히 기묘한 관계가 있는데, 다음과 같이 레비치비타 기호 둘을 곱하면 크로네커 델타로 이루어진 행렬의 deteminant와 같다는 것을 알 수 있다.
$$ \epsilon_{ijk} \epsilon_{lmn} = \det \left| \begin{array}{ccc} \delta_{il} & \delta_{im} & \delta_{in}\\ \delta_{jl}& \delta_{jm} &\delta_{jn} \\ \delta_{kl} & \delta_{km} & \delta_{kn} \end{array} \right| $$
이러한 레비치비타 기호를 두번 곱하여 크로네커 델타 기호로 바꾸는 방법은 물리학에서 벡터(3차원 공간이든 4차원 공간이든)계산에 많이 쓰이며 상당한 수준으로 수식을 단순하게 나타낼 수 있다.
참고로 크로네커 델타 기호는 다음과 같다.
$$\text{if}\ i= j \;, \delta_{ij}=1$$
$$\text{if}\ i\neq j \;, \delta_{ij}=0$$