레퓨닛 수

1. 개요

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레퓨닛 수(repunit)는 십진법에서 1이 늘어선 수[1]를 의미하며, 십진법의 경우 $$1$$이 $$n$$개 늘어선 수를 $$\displaystyle\frac{10^{n}-1}{9}$$로 나타낼 수 있다. R_n과 같은 방식으로 표기하기도 한다. 레퓨닛 소수는 10진법에서의 단위 반복 소수와 같다. [2]

2. 레퓨닛 소수

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한편 1의 개수가 소수 개일 경우 해당 수가 소수가 될 수도 있으나, 그렇지 않은 경우가 더 많다. 1의 개수가 합성수일 경우 해당 수는 무조건 합성수이며, 해당 수를 균등하게 나눈 수로 나누어떨어진다.[3] 레퓨닛 소수는 각 자릿수를 배열하는 방법이 한 가지이므로 무조건 재배열 가능 소수이다.
현재 알려진 레퓨닛 소수는 총 9개다.

$$n$$	$$\displaystyle\frac{10^{n}-1}{9}$$
2	11
19	1111111111111111111
23	11111111111111111111111
317	R317
1031	R1031
49081	R49081
86453	R86453
109297	R109297
270343	R270343

3. 소인수분해

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R₁₂₀까지의 소인수분해의 결과는 다음과 같다.
1=1(소수도 합성수도 아님)
'''11=11(소수)'''
'''111=3×37(합성수)'''
1111=11×101(합성수)
'''11111=41×271(합성수)'''
111111=3×7×11×13×37(합성수)
'''1111111=239×4649(합성수)'''
11111111=11×73×101×137(합성수)
111111111=3²×37×333667(합성수)
1111111111=11×47×271×9091(합성수)
'''11111111111=21649×513239(합성수)'''
111111111111=3×7×11×13×37×101×9901(합성수)
'''1111111111111=53×79×265371653(합성수)'''
11111111111111=11×239×4649×909091(합성수)
111111111111111=3×31×37×41×271×2906161(합성수)
1111111111111111=11×17×73×101×137×5882353(합성수)
'''11111111111111111=2071723×5363222357(합성수)'''
111111111111111111=3²×7×11×13×19×37×52579×333667(합성수)[4]
'''1111111111111111111=1111111111111111111(소수)'''
11111111111111111111=11×41×101×271×3541×9091×27961(합성수)
111111111111111111111=3×37×43×239×1933×4649×10838689(합성수)
1111111111111111111111=11²×23×4093×8779×21649×513239(합성수)
'''11111111111111111111111=11111111111111111111111(소수)'''
R₂₄ = 3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 73 · 101 · 137 · 9901 · 99990001
R₂₅ = 41 · 271 · 21401 · 25601 · 182521213001
R₂₆ = 11 · 53 · 79 · 859 · 265371653 · 1058313049
R₂₇ = 3^3 · 37 · 757 · 333667 · 440334654777631
R₂₈ = 11 · 29 · 101 · 239 · 281 · 4649 · 909091 · 121499449
'''R₂₉ = 3191 · 16763 · 43037 · 62003 · 77843839397'''
R₃₀ = 3 · 7 · 11 · 13 · 31 · 37 · 41 · 211 · 241 · 271 · 2161 · 9091 · 2906161
'''R₃₁ = 2791 · 6943319 · 57336415063790604359'''
R₃₂ = 11 · 17 · 73 · 101 · 137 · 353 · 449 · 641 · 1409 · 69857 · 5882353
R₃₃ = 3 · 37 · 67 · 21649 · 513239 · 1344628210313298373
R₃₄ = 11 · 103 · 4013 · 2071723 · 5363222357 · 21993833369
R₃₅ = 41 · 71 · 239 · 271 · 4649 · 123551 · 102598800232111471
R₃₆ = 3^2 · 7 · 11 · 13 · 19 · 37 · 101 · 9901 · 52579 · 333667 · 999999000001
'''R₃₇ = 2028119 · 247629013 · 2212394296770203368013'''
R₃₈ = 11 · 909090909090909091 · 1111111111111111111
R₃₉ = 3 · 37 · 53 · 79 · 265371653 · 900900900900990990990991
R₄₀ = 11 · 41 · 73 · 101 · 137 · 271 · 3541 · 9091 · 27961 · 1676321 · 5964848081
'''R₄₁ = 83 · 1231 · 538987 · 201763709900322803748657942361'''
R₄₂ = 3 · 7^2 · 11 · 13 · 37 · 43 · 127 · 239 · 1933 · 2689 · 4649 · 459691 · 909091 · 10838689
'''R₄₃ = 173 · 1527791 · 1963506722254397 · 2140992015395526641'''
R₄₄ = 11^2 · 23 · 89 · 101 · 4093 · 8779 · 21649 · 513239 · 1052788969 · 1056689261
R₄₅ = 3^2 · 31 · 37 · 41 · 271 · 238681 · 333667 · 2906161 · 4185502830133110721
R₄₆ = 11 · 47 · 139 · 2531 · 549797184491917 · 11111111111111111111111
'''R₄₇ = 35121409 · 316362908763458525001406154038726382279'''
R₄₈ = 3 · 7 · 11 · 13 · 17 · 37 · 73 · 101 · 137 · 9901 · 5882353 · 99990001 · 9999999900000001
R₄₉ = 239 · 4649 · 505885997 · 1976730144598190963568023014679333
R₅₀ = 11 · 41 · 251 · 271 · 5051 · 9091 · 21401 · 25601 · 182521213001 · 78875943472201
R₅₁ = 3 · 37 · 613 · 210631 · 2071723 · 52986961 · 5363222357 · 13168164561429877
R₅₂ = 11 · 53 · 79 · 101 · 521 · 859 · 265371653 · 1058313049 · 1900381976777332243781
'''R₅₃ = 107 · 1659431 · 1325815267337711173 · 7198858799491425660200071'''
R₅₄ = 3^3 · 7 · 11 · 13 · 19 · 37 · 757 · 52579 · 333667 · 70541929 · 14175966169 · 440334654777631
R₅₅ = 41 · 271 · 1321 · 21649 · 62921 · 513239 · 83251631 · 1300635692678058358830121
R₅₆ = 11 · 29 · 73 · 101 · 137 · 239 · 281 · 4649 · 7841 · 909091 · 121499449 · 127522001020150503761
R₅₇ = 3 · 37 · 21319 · 10749631 · 1111111111111111111 · 3931123022305129377976519
R₅₈ = 11 · 59 · 3191 · 16763 · 43037 · 62003 · 77843839397 · 154083204930662557781201849
'''R₅₉ = 2559647034361 · 4340876285657460212144534289928559826755746751'''
R₆₀ = 3 · 7 · 11 · 13 · 31 · 37 · 41 · 61 · 101 · 211 · 241 · 271 · 2161 · 3541 · 9091 · 9901 · 27961 · 2906161 · 4188901 · 39526741
'''R₆₁ = 733 · 4637 · 329401 · 974293 · 1360682471 · 106007173861643 · 7061709990156159479'''
R₆₂ = 11 · 2791 · 6943319 · 57336415063790604359 · 909090909090909090909090909091
R₆₃ = 3^2 · 37 · 43 · 239 · 1933 · 4649 · 10837 · 23311 · 45613 · 333667 · 10838689 · 45121231 · 1921436048294281
R₆₄ = 11 · 17 · 73 · 101 · 137 · 353 · 449 · 641 · 1409 · 19841 · 69857 · 976193 · 5882353 · 6187457 · 834427406578561
R₆₅ = 41 · 53 · 79 · 271 · 265371653 · 162503518711 · 5538396997364024056286510640780600481
R₆₆ = 3 · 7 · 11^2 · 13 · 23 · 37 · 67 · 4093 · 8779 · 21649 · 513239 · 599144041 · 183411838171 · 1344628210313298373
'''R₆₇ = 493121 · 79863595778924342083 · 28213380943176667001263153660999177245677'''
R₆₈ = 11 · 101 · 103 · 4013 · 2071723 · 28559389 · 1491383821 · 5363222357 · 21993833369 · 2324557465671829
R₆₉ = 3 · 37 · 277 · 203864078068831 · 11111111111111111111111 · 1595352086329224644348978893
R₇₀ = 11 · 41 · 71 · 239 · 271 · 4649 · 9091 · 123551 · 909091 · 4147571 · 102598800232111471 · 265212793249617641
'''R₇₁ = 241573142393627673576957439049 · 45994811347886846310221728895223034301839'''
R₇₂ = 3^2 · 7 · 11 · 13 · 19 · 37 · 73 · 101 · 137 · 3169 · 9901 · 52579 · 98641 · 333667 · 99990001 · 999999000001 · 3199044596370769
'''R₇₃ = 12171337159 · 1855193842151350117 · 49207341634646326934001739482502131487446637'''
R₇₄ = 11 · 7253 · 2028119 · 247629013 · 422650073734453 · 296557347313446299 · 2212394296770203368013
R₇₅ = 3 · 31 · 37 · 41 · 151 · 271 · 4201 · 21401 · 25601 · 2906161 · 182521213001 · 15763985553739191709164170940063151
R₇₆ = 11 · 101 · 722817036322379041 · 909090909090909091 · 1111111111111111111 · 1369778187490592461
R₇₇ = 239 · 4649 · 5237 · 21649 · 42043 · 513239 · 29920507 · 136614668576002329371496447555915740910181043
R₇₈ = 3 · 7 · 11 · 13^2 · 37 · 53 · 79 · 157 · 859 · 6397 · 216451 · 265371653 · 1058313049 · 388847808493 · 900900900900990990990991
'''R₇₉ = 317 · 6163 · 10271 · 307627 · 49172195536083790769 · 3660574762725521461527140564875080461079917'''
R₈₀ = 11 · 17 · 41 · 73 · 101 · 137 · 271 · 3541 · 9091 · 27961 · 1676321 · 5070721 · 5882353 · 5964848081 · 19721061166646717498359681
R₈₁ = 3^4 · 37 · 163 · 757 · 9397 · 333667 · 2462401 · 440334654777631 · 676421558270641 · 130654897808007778425046117
R₈₂ = 11 · 83 · 1231 · 538987 · 2670502781396266997 · 3404193829806058997303 · 201763709900322803748657942361
'''R₈₃ = 3367147378267 · 9512538508624154373682136329 · 346895716385857804544741137394505425384477'''
R₈₄ = 3 · 7^2 · 11 · 13 · 29 · 37 · 43 · 101 · 127 · 239 · 281 · 1933 · 2689 · 4649 · 9901 · 226549 · 459691 · 909091 · 10838689 · 121499449 · 4458192223320340849
R₈₅ = 41 · 271 · 2071723 · 262533041 · 5363222357 · 8119594779271 · 4222100119405530170179331190291488789678081
R₈₆ = 11 · 173 · 1527791 · 57009401 · 2182600451 · 1963506722254397 · 2140992015395526641 · 7306116556571817748755241
R₈₇ = 3 · 37 · 3191 · 4003 · 16763 · 43037 · 62003 · 72559 · 77843839397 · 310170251658029759045157793237339498342763245483
R₈₈ = 11^2 · 23 · 73 · 89 · 101 · 137 · 617 · 4093 · 8779 · 21649 · 513239 · 1052788969 · 1056689261 · 16205834846012967584927082656402106953
'''R₈₉ = 497867 · 103733951 · 104984505733 · 5078554966026315671444089 · 403513310222809053284932818475878953159'''
R₉₀ = 3^2 · 7 · 11 · 13 · 19 · 31 · 37 · 41 · 211 · 241 · 271 · 2161 · 9091 · 29611 · 52579 · 238681 · 333667 · 2906161 · 3762091 · 8985695684401 · 4185502830133110721
R₉₁ = 53 · 79 · 239 · 547 · 4649 · 14197 · 17837 · 4262077 · 265371653 · 43442141653 · 316877365766624209 · 110742186470530054291318013
R₉₂ = 11 · 47 · 101 · 139 · 1289 · 2531 · 18371524594609 · 549797184491917 · 11111111111111111111111 · 4181003300071669867932658901
R₉₃ = 3 · 37 · 2791 · 6943319 · 57336415063790604359 · 900900900900900900900900900900990990990990990990990990990991
R₉₄ = 11 · 6299 · 35121409 · 4855067598095567 · 297262705009139006771611927 · 316362908763458525001406154038726382279
R₉₅ = 41 · 191 · 271 · 59281 · 63841 · 1111111111111111111 · 1289981231950849543985493631 · 965194617121640791456070347951751
R₉₆ = 3 · 7 · 11 · 13 · 17 · 37 · 73 · 97 · 101 · 137 · 353 · 449 · 641 · 1409 · 9901 · 69857 · 206209 · 5882353 · 99990001 · 66554101249 · 75118313082913 · 9999999900000001
'''R₉₇ = 12004721 · 846035731396919233767211537899097169 · 109399846855370537540339266842070119107662296580348039'''
R₉₈ = 11 · 197 · 239 · 4649 · 909091 · 505885997 · 1976730144598190963568023014679333 · 5076141624365532994918781726395939035533
R₉₉ = 3^2 · 37 · 67 · 199 · 397 · 21649 · 34849 · 333667 · 513239 · 1344628210313298373 · 362853724342990469324766235474268869786311886053883
R₁₀₀ = 11 · 41 · 101 · 251 · 271 · 3541 · 5051 · 9091 · 21401 · 25601 · 27961 · 60101 · 7019801 · 182521213001 · 14103673319201 · 78875943472201 · 1680588011350901
'''R₁₀₁ = 4531530181816613234555190841 · 129063282232848961951985354966759 · 18998088572819375252842078421374368604969'''
R₁₀₂ = 3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 103 · 613 · 4013 · 210631 · 2071723 · 52986961 · 5363222357 · 21993833369 · 291078844423 · 13168164561429877 · 377526955309799110357
'''R₁₀₃ = 1031 · 7034077 · 153211620887015423991278431667808361439217294295901387715486473457925534859044796980526236853'''
R₁₀₄ = 11 · 53 · 73 · 79 · 101 · 137 · 521 · 859 · 1580801 · 265371653 · 1058313049 · 1900381976777332243781 · 632527440202150745090622412245443923049201
R₁₀₅ = 3 · 31 · 37 · 41 · 43 · 71 · 239 · 271 · 1933 · 4649 · 123551 · 2906161 · 10838689 · 30703738801 · 625437743071 · 102598800232111471 · 57802050308786191965409441
R₁₀₆ = 11 · 107 · 1659431 · 1325815267337711173 · 47198858799491425660200071 · 9090909090909090909090909090909090909090909090909091
'''R₁₀₇ = 643 · 999809 · 9885089 · 215257037 · 2386760191 · 511399538427507881 · 646826950155548399 · 10288079467222538791302311556310051849'''
R₁₀₈ = 3^3 · 7 · 11 · 13 · 19 · 37 · 101 · 109 · 757 · 9901 · 52579 · 153469 · 333667 · 70541929 · 14175966169 · 999999000001 · 440334654777631 · 59779577156334533866654838281
'''R₁₀₉ = 1192679 · 712767480971213008079 · 5295275348767234696493 · 246829743984355435962408390910378218537282105150086881669547'''
R₁₁₀ = 11^2 · 23 · 41 · 271 · 331 · 1321 · 4093 · 5171 · 8779 · 9091 · 21649 · 62921 · 513239 · 83251631 · 20163494891 · 318727841165674579776721 · 1300635692678058358830121
R₁₁₁ = 3 · 37^2 · 2028119 · 247629013 · 30557051518647307 · 2212394296770203368013 · 8845981170865629119271997 · 90077814396055017938257237117
R₁₁₂ = 11 · 17 · 29 · 73 · 101 · 113 · 137 · 239 · 281 · 4649 · 7841 · 909091 · 5882353 · 121499449 · 73765755896403138401 · 127522001020150503761 · 119968369144846370226083377
'''R₁₁₃ = 227 · 908191467191 · 5389571231221771906526710342668539729849­8705173449226555003346881878523705781079­015749721646701723'''
R₁₁₄ = 3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 21319 · 1458973 · 10749631 · 909090909090909091 · 1111111111111111111 · 3931123022305129377976519 · 753201806271328462547977919407
R₁₁₅ = 41 · 271 · 31511 · 19707665921 · 20414137203567631 · 11111111111111111111111 · 5799951513941382144830754391 · 122403569491783662720773144041
R₁₁₆ = 11 · 59 · 101 · 349 · 3191 · 16763 · 38861 · 43037 · 62003 · 618049 · 77843839397 · 154083204930662557781201849 · 1181180637520183640867963573625866958318­7541
R₁₁₇ = 3^2 · 37 · 53 · 79 · 333667 · 265371653 · 240396841140769 · 537947698126879 · 3352825314499987 · 900900900900990990990991 · 2304017384484085131816292573
R₁₁₈ = 11 · 1889 · 2559647034361 · 1090805842068098677837 · 4411922770996074109644535362851087 · 4340876285657460212144534289928559826755­746751
R₁₁₉ = 239 · 4649 · 923441 · 2071723 · 5363222357 · 3924966376871 · 768736559421401249042753476963 · 3230129421485627516508145444373504546404­48842187
R₁₂₀ = 3 · 7 · 11 · 13 · 31 · 37 · 41 · 61 · 73 · 101 · 137 · 211 · 241 · 271 · 2161 · 3541 · 9091 · 9901 · 27961 · 1676321 · 2906161 · 4188901 · 39526741 · 99990001 · 5964848081 · 100009999999899989999000000010001

4. 제곱

---

R₁부터 R₉의 레퓨닛 수의 제곱은 1부터 1씩 차례대로 커지다 작아지는 형태의 대칭수이다.
1² = 1
11² = 121
111² = 12321
1111² = 1234321
11111² = 123454321
111111² = 12345654321
1111111² = 1234567654321
11111111² = 123456787654321
111111111² = 12345678987654321

[1] 참고로 이진법에서 1이 늘어선 수는 메르센 수라고 한다.

[2] 여기서 단위 반복 소수란 2진법에서의 메르센 소수와 10진법에서의 레퓨닛 소수를 임의의 진법으로까지 확장해서 생기는 n진법에서 1이 늘어선 수를 말한다. 가령 십진법에서 1이 2개, 19개, 23개, 317개, 1031개, 49081개, 86453개, 109297개, 270343개 늘어선 수는 소수인데, 모든 자리수가 1인 레퓨닛 소수이므로 단위 반복 소수의 일종이다.

[3] 가령 111111111은 111로 나누어떨어진다.

[4] 이 수는 레퓨닛 수 중 최소의 과잉수이기도 하다. 진약수의 합은 121,854,250,714,885,689이다.