모자 색 맞히기
1. 개요
자신에게 주어진 표식이나 모자의 색 등을 맞히는 유형의 문제들.
2. 상세
기본적인 형태는 대체로 아래와 같다.
- 참가자들은 자신의 모자 색은 확인할 수 없고, 다른 사람들의 모자 색만 볼 수 있다.
- 참가자들은 자신의 모자 색을 맞혀야 한다.
- 각각의 모자 색에 해당되는 모자의 개수는 정해져 있으며, 참가자들은 각각의 모자들이 몇 개씩 있는지는 사전에 알고 있다.
3. 문제 1
| 두 사람이 이마에 스티커를 붙인 채로 마주보고 있다. 눈을 감은 채로 3자가 스티커를 붙인 것이기 때문에 자신의 머리에 붙은 스티커 색은 확인할 수 없고 상대의 스티커 색만 확인할 수 있다. 스티커는 하얀 스티커가 2개, 빨간 스티커가 1개 있다고 한다. 두 사람은 잠시동안 서로를 가만히 보더니 거의 동시에 자신의 이마에 붙은 스티커는 하얀색이라고 답했다. 어떻게 알았을까? |
[ 해답 ] 만약 빨간 스티커가 두 사람 중 하나에 붙었을 경우 해당 스티커는 하나밖에 없으므로 흰색 스티커가 붙은 쪽은 보자마자 바로 알 수 있다. 그런데 서로 바로 말하지 못했으므로 자신의 스티커 색이 흰색임을 둘 다 알 수 있다.
4. 문제 2
| 선생이 제자 3명을 시험하기 위해 검은색 모자 2개와 흰색 모자 3개를 준비했다. 눈을 감은 채로 제자들에게 모자를 하나씩 씌운 다음 눈을 뜨게 하고 서로를 마주보게 했다. 그리고 제자들에게 각자 자신의 모자 색을 맞춰보라고 하였다. 제자들은 침묵하다가 이내 이구동성으로 자신의 모자 색이 흰색임을 알아냈다. 어떻게 알았을까? |
[ 해답 ] 모자 수와 사람이 늘었지만 형태와 풀이는 거의 같다. 사실상 문제 1의 업그레이드 버전.
일단 바로 맞출 수 있는 상황만 알면 쉽다. 검은색 모자가 2개이므로 세 제자 중 한명이 자기 눈에 검은색 모자가 2개 들어오면 바로 자기 모자가 흰색임을 알 수 있다. 그리고 검은색 모자 1개에 흰색 모자 2개일 경우, 자기 눈에 흰 모자와 검은색 모자가 눈에 들어왔을 때, 자신의 모자가 검은색이면 흰색 모자를 쓴 사람은 바로 맞출 수 있어야하나 바로 맞추지 못했으므로 자기 모자가 흰색임을 말할 수 있다. 즉, 제자 2명은 맞출 수 있다는 것.
그런데 세 명 모두 답하지 못했으므로 세 명의 제자들은 자기 머리에 있는 모자는 흰색임을 추론할 수 있다.
5. 문제 3
| 한 기업에서 직원 채용을 위한 테스트를 진행하였다. 10명의 지원자가 테스트를 보기 위해 원탁에 둘러앉았고, 사회자가 나오며 테스트를 시작했다. "이제 첫 번째 테스트를 시작하겠습니다. 원탁에 앉아계신 여러분들 앞에는 각자 뒤집힌 종이가 하나씩 있을 것입니다. 종이에는 O랑 X중 하나가 적혀있는데, 이 10장의 종이 중 적어도 하나 이상은 X가 있습니다. 여러분은 자기 종이에 적힌 문구가 무엇인지 맞히셔야 합니다. 만약 맞힐 수 있는 상황인데도 대답하지 못하거나 틀릴 경우 해당 지원자들은 감점됩니다. 이제 뒤집힌 종이를 손 끝으로 살짝 들어올려서, 자신은 자기 종이에 적힌 것을 못 보되 다른 사람들은 볼 수 있도록 하십시오. 좋습니다. 혹시 자기 종이에 적힌 문구가 무엇인지 아시는 분이 있습니까?" 테스트장에는 잠깐동안의 침묵이 흘렀다. 사회자가 다시 말했다. "아직은 모르시는 모양이군요. 혹시, 지금이라도 아시는 분이 있습니까?" 다시한번 침묵이 흘렀다. 사회자는 안타깝다는 표정으로 말했다. "안타깝군요. 몇 명은 문제를 틀렸으므로 감점하도록 하겠습니다." 감점된 사람은 몇 명일까? |
[ 해답 ] 만약 1명이 X라면, 처음 사회자가 언급했을 때 감점되어야 한다. 그런데 감점된 사람 없이 넘어갔으므로 X를 가진 사람은 두 명 이상임을 알 수 있다. 만약 X가 3명 이상일 경우 자기 외에 보인 X가 2개일 때 맞힐 수 없으므로 X를 가진 사람은 2명이 되어야 한다. 따라서 2명이 감점당했다.
6. 문제 4
| 사형수 3명이 있다. 이 사형수 3명은 전부 자신이 정말 결백하다며 사형 집행을 강력히 거부하고 있다. 결국 보다못한 사형 집행자는 문제를 하나 내기로 했고, 이 문제를 한명이라도 맞히면 셋 다 풀어주기로 했다. 사형 집행자는 사형수 3명을 전방을 향해 일렬로 세워두었다.[1] 예를 들어 죄수 A를 동쪽을 보도록 세워둔 뒤 B를 A의 등을 정면으로 보도록 세워두고(A의 바로 뒤에 B를 세워두고), C를 B의 등을 정면으로 보도록 세워둔다는 뜻이다. 문제를 풀기 시작했지만 아무도 맞히지 못하다가 꽤 오랜 시간이 지난 뒤 결국 한 죄수가 이 문제를 맞혔고, 셋 다 풀려나게 되었다. 문제를 맞힌 죄수는 일렬로 선 죄수 A, B, C중에 누구이며, 어떤 식으로 자신의 모자의 색을 맞혔을까? 단, 모든 사형수는 자신의 앞에 있는 사형수의 모자들의 색만 알 수 있다. 뒤를 돌아보거나 거울을 쓰는 등 자신의 뒤에 있는 죄수의 모자 색을 확인하려는 행위를 하게 되면 즉시 사형을 집행한다. 사형수끼리는 서로 대화할 수 없으며, 신호를 주고받는 등의 행위를 하게 되면 사형을 집행한다. 또한 맨 처음 누군가 정답을 외쳤을 때 그 정답이 오답이라면 즉시 사형을 집행한다. 쉽게 말해 기회는 1번 뿐이라는 것이다. 사형수 셋은 절실히 살고 싶어하며, 셋다 매우 친하기 때문에 누구를 버리는 행동같은건 할 수 없다. 당연하겠지만, 정답을 찍어서 맞히는 경우는 생각하지 않는다. |
[ 해답 ] '꽤 오랜 시간이 지났다'는 것이 정답을 결정하는 요인이다. A B C의 순서로 죄수가 서 있다고 가정했을 때, 모자의 색은 일반적으로는 '''B가 맞히게 된다.''' A의 입장에서는 자신이 볼 수 있는 모자가 존재하지 않기 때문에 논외. B의 입장에서 자신이 볼 수 있는 모자는 A 하나 밖에 없고, C의 입장에서는 자신이 볼 수 있는 모자는 A와 B, 2개를 볼 수 있다. 그런데 흰 모자와 검은 모자는 최소한 1개가 존재한다고 했으므로 C 입장에서는 A와 B의 모자의 색이 같다면 자신의 모자의 색을 바로 말할 수 있을 것이고, 색이 다르다면 자신의 모자의 색을 알 수 없으므로 섣불리 대답하지 못했을 것이다. 꽤 오랜 시간이 지났다고 했으니 C가 정답을 모른다는 것을 의미하고, 이는 A와 B의 모자의 색이 다르다는 것을 의미한다. 그러므로 B는 A가 쓰고있는 모자의 색에 반대되는 색을 말하면 된다.
[1] 예를 들어 죄수 A를 동쪽을 보도록 세워둔 뒤 B를 A의 등을 정면으로 보도록 세워두고(A의 바로 뒤에 B를 세워두고), C를 B의 등을 정면으로 보도록 세워둔다는 뜻이다.
7. 문제 5
| 빨간 스티커가 4개, 파란 스티커가 4개가 존재한다. A, B, C 3명에서 이 스티커를 무작위로 두개씩 붙인 다음 자기 머리에 있는 스티커를 맞히는 게임을 진행하였다. 자기 스티커가 무엇인지 말할 수 있는 기회는 A - B - C 순서대로 돌아간다. 참고로 남은 스티커가 무엇인지는 참가자들이 볼 수 없다. A : 모르겠습니다. B : 모르겠습니다. C : 저도 모릅니다. A : 지금도 모르겠습니다. B : 이제 알겠습니다. 과연 B에게 붙은 스티커는 무엇일까? |
[ 해답 ] 처음의 사이클에서는 '두 사람의 스티커 색이 전부 같은' 경우를 전부 배제할 수 있다. 예를 들어 A와 B의 스티커 색이 모두 (빨강,빨강)으로 같다면 C가 자기 머리에 있는 스티커 색을 알 수 있다. 그러나 C의 차례에서도 모른다고 했으니 이 경우는 전부 배제된다.
그러므로 C의 차례에서 스티커 색이 서로 다른 사람이 최소 1명 이상 있다는 사실을 알 수 있다. 여기서 A가 (빨강,빨강)이고 B가 (파랑,파랑)일 경우, 또는 그 반대로 A가 (파랑, 파랑)에 B가 (빨강,빨강)이면 C는 자기 차례에서 자신의 스티커 색이 (빨강,파랑)임을 알 수 있기 때문에 필경 A와 B에는 스티커 색이 서로 다른 사람이 한 명은 있게 된다.
다시 차례가 돌아온 A의 입장에서 살펴보면, B와 C가 각각 (빨강,빨강), (파랑,파랑) 이면 자기 스티커는 (빨강,파랑)임을 쉽게 알 수 있다. 또한 B의 스티커 색이 서로 같고 C의 스티커 색이 서로 다른 색이면 이 경우에도 C가 맞히지 못한 데에서 A는 자기 스티커 색이 서로 다른 색임을 알 수 있어야 한다. A의 스티커 색이 서로 같고 B의 스티커 색도 다른 색으로 서로 같다면 '스티커 색이 서로 다른 사람이 최소 1명 이상은 있다'에서 C가 맞췄어야 하나 못 맞혔기 때문이다.
그렇기 때문에 B의 스티커 색은 서로 다른 색이어야 한다. 또한 이때 차례가 B에게 돌아왔으므로 B는 자기 스티커 색이 (빨강,파랑)임을 맞힐 수 있다.