모자를 쓴 손님들
| 10명의 손님이 식당에 들어가기 전 모자를 하나씩 카운터에 맡겨놨다. 나중에 다시 카운터에 찾아가 모자를 찾았는데, 점원은 똑같이 생긴 모자들을 보고 아무렇게나 나눠주었다. 그런데 모자를 살펴보던 손님들은 전부 자기 모자가 아니라고 하였다. 이렇게 될 확률은 얼마나 될까? |
| 위와 같은 상황에서, n명의 사람들이 n개의 모자를 전부 잘못 받을 경우의 수($$\displaystyle a_n$$)는 다음과 같다. $$\displaystyle a_n =n! \sum_{k=2}^{n} (-1)^{k} \frac{1}{k!}=n!(\frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} \cdot \cdot \cdot + (-1)^{n} \frac{1}{n!})$$ 10명일 때 모자를 나눠주는 경우의 수는 총 10!이므로 확률은 앞의 n!을 떼고 계산하면 된다. 계산하면 확률은 36.787946%이다. 또 사람이 무한이 많아질 경우 확률이 1/e로 수렴하는 것으로도 유명하다. 자세한 것은 순열 문서의 '완전순열' 부분 참조. 참고로 위 문제에서 가장 많이 나오는 오답이 10%다. 처음 사람이 잘못 받을 확률은 9/10, 두 번째 사람이 잘못 받을 확률은 8/9.. 이런식으로 계산해서 10%가 나오는 것. 다만 이 계산은 모자를 받는 사람의 순서가 확실하게 정해져 있을 때 성립이 가능하며, 지금의 경우에서는 적용하기 어렵다. |