미분과 적분(7차)
이 과목에 대해 한 줄로 요약하면 '''「초월함수 및 다양한 함수의 미적분을 다루는 과목」'''.
7차 교육 과정의 심화 선택 과목으로 2009 개정 교육과정의 미적분Ⅱ(이과 전용 교과목)와 내용 면에서 거의 똑같다. 2011 대수능까지 일반계 고등학교 이과학생들이 배우는 수학 선택 과목이었다. 명목상으로는 선택과목이었지만, 이 과목이 이공계 전공에서 차지하는 중요성이 매우 커서, 당시 학교 현장에서는 이과 학생들의 사실상 필수 과목 취급이었던 것으로 전해지고 있다.[1]
수학 Ⅱ(7차)에서는 다항함수의 미적분 및 공간도형, 벡터에 대해 배웠다면, 이 과목에서는 다항함수 이외에도 지수함수, 로그함수, 삼각함수의 도함수와 부정적분, 합성함수, 역함수, 음함수와 매개변수 함수의 미분 등 다양한 함수에 대한 미적분을 다룬다.
1. 단원과 내용
1.1. Ⅰ. 삼각함수
실제로 '삼각함수'의 내용이 워낙 방대한 양인 데다가 압축하기에는 하나 하나 모두 중요한 내용이기 때문에, 할 수 없이 이를 고1 공통 과정 삼각함수와 고2·3과정 삼각함수로 찢어놨다. 고1 과정(당시 수학 10-나 소속)에서는 삼각함수의 뜻과 그래프, 또 삼각함수를 삼각형에 활용하는 등[6] 기초적인 내용을 학습했다면, 미분과 적분(7차 심화 선택)의 삼각함수에서는 $$y=sinx$$, $$y=cosx$$의 도함수를 유도하기 위해 필요한 삼각함수의 덧셈정리라는 단원에서부터 시작한다.
1.1.1. 삼각함수의 덧셈 정리
- 단순하게 생각하면 sin(A+B) = sinA+sinB라는 식이 왠지 성립할 것 같으나 실제로는 성립하지 않는 등식이다. 삼각함수의 덧셈정리는 이를 해결하기 위해 발견됐다고 할 수 있다. 정답부터 말하자면, sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB이다. 암기를 지향하는 학생들은 싸코풀코싸로 외우기도 한다. 이 정리는 벡터의 내적이나 제이코사인법칙으로 유도한다.(증명 과정은 생략) 벡터의 내적으로 증명하는 것이 더 간단하다.
- 삼각함수의 덧셈 정리를 이용하여 두 삼각함수의 합차로 이루어진 식을 합성할 수도 있게 된다. 이를 이용하여 여러 가지 공식을 유도할 수 있게 되는데, 공식이 무려 20가지가 넘어간다. 암기를 복잡해 하고 두려워 하던 학생들(거의 대부분이 해당되므로) 대부분이 여기서 고배를 마시거나 포기를 하게 된다. 여기서 알아야 할 짧고 굵은 팁을 하나 주자면 「외우면 어렵다.」이다.
1.1.2. 삼각방정식·부등식의 일반해
- 고1 과정에서는 sinx+n=0와 같이 단순한 방정식 또는 ncos(x+θ)=sinx정도의 응용 문제로 나왔으나, 여기서는 식을 합성하거나 여러 가지 공식으로 풀어나가게끔 식을 꼬아서 낸다. tanx+tan³x=0 이라든지, 3sinx+4cosx=0등이 그러한 예이다.
- 식이 범위 안에서 정해지는 특수해[12], 말고도 일반해를 덧붙여 배우게 된다. 삼각함수가 일정 구간마다 종속 값이 반복되는 함수이다 보니, 이를 일반화한 것을 교육하기 위한 것이라 할 수 있다.
1.1.3. 삼각함수 : 여담
- 2007 개정 교육 과정에서 이과용 미적분을 다항함수, 초월함수 구분 없이 한꺼번에 배우게 되는 방향으로 바뀜에 따라 다시 수학Ⅱ로 쫓겨난다.
- 코사인(cosine), 사인(sine), 탄젠트(tangent)를 고1 과정에서 다루고, 시컨트(secant), 코시컨트(cosecant), 코탄젠트(cotangent)를 심화 과정으로 다루던 방식을, 2009 교육과정부터 합쳐서 배우게 된다. 여기에 cosecθ라고 표기했던 것을 cscθ로 줄여 쓰게 됐다.
- 6차, 7차, 2007개정 교육과정까지 고1 과정의 삼각함수와 고2·3 심화 과정의 삼각함수로 분리·명명하던 방식을 2009 개정 교육과정에서 「미적분Ⅱ」라는 과목으로 통폐합됐다. 즉, 삼각함수의 처음과 끝을 미적분Ⅱ에서 배우게 된다.[13] 2015 개정 교육과정에서는 수학1과 미적분에서 배운다.
- 6차 교육과정 학생이나 2007 개정 교육과정 학생이라면, 삼각함수의 덧셈정리를 회전변환[14]으로 유도할 수도 있다. 확실히 이게 더 쉽게 이해할 수 있는 방법이다.
- 2009 개정 교육과정 문과 학생은 삼각함수를 배우지 않게 됐다. (미적분을 배우지 않은 문과생에 이어 2탄 시리즈 : 삼각함수를 배우지 않는 문과생 등장.[15]) 그러나 2015 개정 교육과정에서는 다시 부활하였다.
- 2009 개정 교육과정(미적분Ⅱ)부터는 삼각함수의 법칙(사인법칙, 제1, 2코사인법칙)이 통째로 삭제되는 아마겟돈이 일어나고 만다. 이는 수학을 포기하게 만드는 진범 공간도형 파트에서 자주 쓰이던 제이코사인법칙도 더 이상 Bye Bye라는 뜻. 자연과학 및 공학 대학에 진학할 학생에게는 어찌 보면 잘 된 일은 아니니 따로 알아 두는 것이 편하다. 그러나 2015 개정 교육과정에서 다시 부활한다.
1.2. Ⅱ. 함수의 극한과 연속
수학Ⅱ(7차)에서 배웠던 다항함수의 극한과 연속을 간단히 다루거나, 아예 생략해 버리기도 했다.[16] 주로 초월함수에 관련된 극한을 다루게 되는데, 내용은 별반 차이 없다. 단지 외울 게 많아졌다는 것이다. 연속에서는 수학Ⅱ에서 배우지 않던 연속에 관한 정리를 추가로 배우게 된다. 함수의 미분계수나 도함수를 정의하기 위해서는 극한이라는 도구가 필요한데, 그것에 대해 다루는 부분이다.
1.2.1. 함수의 극한
- 지수함수의 (특수한 패턴을 가진) 극한을 정의하기 위해 자연로그의 밑 $$e$$($$e = 2.718\ 181\ 828\ 459\ 045\ 235\ $$)라는 개념을 도입하게 되고, 로그함수의 (특수한 패턴을 가진) 극한을 정의하기 위해 자연로그 ln를 배우게 된다. 이를 배우게 되면 비로소 문과생 또는 미분과 적분을 심화 선택하지 않은 이과생을 얕볼 수 있게 된다.[21] 얼핏 보기에는 알파벳이나 문자 등이 섞여 초반에는 굉장히 어려워 보이지만, 그냥 별 거 아니다. 게다가 패턴이 존재하기 때문에 정의만 제대로 파악하면 쉽게 넘어갈 수 있는 부분이다. 솔직히 난이도로 치면 '확률과 통계'나 '수열' 쪽이 더 높을 것이다.
- 삼각함수의 (특수한 패턴을 가진) 극한을 정의한다. 그 특이한 패턴을 가진 함수는 y=(sinx)/x, y=(tanx)/x가 대표적이다. 이것도 지수함수와 로그함수의 미분처럼 패턴과 원리만 파악하면 문제는 중학교 수준으로 내려 간다.
- 그러나 주로 여기서 4점 짜리 기출 문제가 탄생했다. 문제는 이 내용 자체로 출제하지 않는다는 것이다. 초월함수의 극한 파트 내용은 그저 페이크 보스일뿐, 최종보스는 따로 존재한다.[22]
1.2.2. 함수의 연속
- 롤의 정리로 시작하여, 중간값의 정리, 평균값의 정리를 다루게 된다. 여기서는 특히 정리라는 단어 자체에 대한 관점을 바꾸는 것이 좋다. 이 정리를 어떻게 이용해야 하는 지를 논리적으로 생각해보고, 때마다 필요성을 판단해야 할 것이다. 정리라는 것이 굉장히 활용적인 개념이라 배우고 나면 뭔가 똥 싸고 안 닦은 느낌이다. 개념 문제도 되게 간단하고 '왜 배우지?'하는 느낌이 짙어서 대부분의 학생이 그냥 스킵하는 분위기가 짙다. 실제로 출제 빈도는 낮지만 몇몇 문제에서 꽁꽁 숨어 페이크 보스로 작용한 적이 많았다.
- 교과 과정 외로 로피탈의 정리가 참고서나 교과서 속 심화 과정으로 등장하게 되는데, 몇몇 문제는 정말 간단히 풀 수 있는 도구(도구를 떠나 그냥 모든 극한 문제를 초토화 시킬 수 있는...)이다. 학원 강사들은 쓰지 말라는데, 실제로 대학 가서는 이거 없으면 시체다. 너무 활용도가 높은 나머지, 몇몇 문제에서는 이것을 쓰지 못하도록 극한 문제를 업그레이드 해버리기도 한다. 실제로 2013학년도 6월 모의고사 29번 문제는 로피탈의 정리를 쓰면 2줄만에 끝나지만, 쓰지 않는다면 식이 매우 길어진다. 이러한 것들은 그냥 도박을 통해 경험하길 바란다.
1.2.3. 함수의 극한과 연속 : 여담
- 2007 개정 교육 과정에서 미적분을 다항함수, 초월함수 구분 없이 한꺼번에 배우게 되는 방향으로 바뀜에 따라 삼각함수와 함께 수학Ⅱ(2007 개정)로 쫓겨나게 된다.
- 2009 개정 교육 과정에서 미적분을 다시 다항함수와 초월함수로 구분해서 배우게 되므로, 삼각함수와 지수함수와 로그함수는 덤으로 미적분Ⅱ로 또다시 독립하게 된다.
1.3. Ⅲ. 미분법
수학Ⅱ(7차)에서 배웠던 다항함수의 미분법을 초월함수로 확장한다. 그동안 다항함수의 도함수를 구하는 공식 「 $$y=x^n$$를 미분하면 $$y=nx^{n-1}$$이지! 」와 같은 통념을 여기서 빨리 잊고 시작하는 게 신상에 이롭다. y=cosx을 미분하면 y'=-sinx인데, 왜 -가 붙는지 모른 채 외우기도 한다. 이를 외우는 것은 응용 문제에서나 간단히 써먹을 때 요긴하게 쓰이지만, 미분계수나 도함수의 정의 문제 자체로 나올 경우 난이도가 호락호락하지가 않다. 미분계수나 도함수의 정의가 왜 중요한지 깨닫게 되는 부분이기도 하다.
1.3.1. 여러 가지 함수의 미분법
- 이 장의 삼각함수에서 배웠던 삼각함수의 덧셈정리와 여러 가지 공식을 사용한다.[24]
- 몫의 미분법을 통해 분수함수를 미분할 수 있고, 합성함수의 미분을 통해 사인, 코사인의 미분을 활용하여 여러 가지 삼각함수의 도함수를 유도할 수 있게 됐다. 그 밖에 원의 방정식과 같이 하나의 변수에 대해서만 미분할 수 있다는 관념을 음함수를 미분하면서 깨게 된다. 그 외에 역함수도 미분할 수 있게 된다.
1.3.2. 도함수의 활용
- 도함수의 활용 파트는 수학Ⅱ(7차)에서 다루던 내용과 비슷하고, 그 함수가 초월함수로 바뀌었을 뿐이다.
- 이계도함수를 활용한 함수의 개형 파악 및 극대/극소/변곡점 구하는 것이 가능해진다. 이전까지는 손도 못 대던 함수의 그래프를 대충 그려 볼 수도 있다.
1.3.3. 미분법 : 여담
- 2007 개정 교육 과정에서 미적분을 다항함수, 초월함수 구분 없이 한꺼번에 배우게 되는 방향으로 바뀜에 따라 삼각함수와 함께 수학Ⅱ(2007 개정)로 쫓겨나게 된다.
- 2009 개정 교육 과정에서 미적분을 다시 다항함수와 초월함수로 구분해서 배우게 되므로, 삼각함수와 지수함수와 로그함수는 덤으로 미적분Ⅱ로 또다시 독립하게 된다.
- 2009 개정 교육 과정에서는 '음함수의 미분법, 매개변수 함수의 미분법'이 기하와 벡터(2009 개정)라는 과목으로 이동하게 됐다. 이는 이차곡선의 접선을 증명하기 위해 미분이라는 도구를 통해 증명하기 위한 것으로 보인다. 2015 개정 교육 과정에서는 본거지인 미적분으로 회귀했다.
- 2009 개정 교육 과정에서 '평면 위의 운동' 파트가 '평면 벡터'의 개념과 함께 다루기 위해 빠지게 됐다.
1.4. Ⅳ. 적분법
수학Ⅱ(7차)에서 배웠던 다항함수의 적분법을 초월함수로 확장한다. 그동안 다항함수의 부정적분을 구하는 공식도 여기서 빨리 잊고 출발하는 게 신상에 이롭다. 초월함수의 부정적분을 구하는 방법도 어마어마하게 복잡하기 때문이다. 부분적분법과 치환적분법이 학생들을 괴롭히는 주범이 되었는데, 유도되는 이유를 아는 것이 중요하다. 고교 과정에서는 리만적분(정적분)만 다루고, 이상적분은 대학가서 다룬다. 고등학교 수학 역사상 가장 복잡한 연산을 써먹어야 될 단원이기도 하다.
1.4.1. 여러 가지 함수의 부정적분
- 미분의 역연산이지만, 여기서는 치환적분과 부분적분이라는 것이 도입되어 초월함수의 적분 과정이 매우 복잡한 계산[27]이 되어 버린다.
1.4.2. 정적분과 정적분의 활용
- 수학Ⅱ(7차)에 다루던 정적분의 활용에 '회전체의 부피'가 추가됐을 뿐이다.
1.4.3. 적분법 : 여담
- 2007 개정 교육 과정에서 미적분을 다항함수, 초월함수 구분 없이 한꺼번에 배우게 되는 방향으로 바뀌게 되었는데, 이 미분과 적분을 한 권에 담지 못하여 어쩔 수 없이 미분법과 찢어져야 했다. 그 결과가 적분과 통계(2007 개정)라는 교과서의 탄생 비하인드인데, 미분과 적분에서 다루던 적분법과 수학Ⅱ에서 다루던 다항함수의 적분이 합쳐져 한 교과서로 신설 이동하게 돼버렸다. 덕분에 1단원에 적분이 나오는 아이러니한 교과서가 등장하게 됐다.
- 2009 개정 교육 과정에서 미적분을 다시 다항함수와 초월함수로 구분해서 배우게 되므로, 미적분Ⅱ로 또다시 독립하게 된다.
- 2009 개정 교육 과정에서 '평면 위의 운동' 파트가 '평면 벡터'의 개념과 함께 다루기 위해 기하와 벡터로 빠지게 됐다. 2015 개정 교육 과정에서는 본거지인 미적분으로 회귀했다.
- 2009 개정 교육 과정에서는 회전체의 부피가 고급 수학 Ⅱ로 빠진다.
2. 수능 선택 과목
2.1. 2011학년도 이전의 수능
수리 가형은 수학Ⅰ에서 12문제, 수학Ⅱ에서 13문제였고, 심화 선택 과목(미분과 적분 / 확률과 통계 / 이산수학)에서 추가로 5문제였다. 당시만 해도 필수가 아닌 선택이었으나 확률과 통계나 이산수학을 선택하면, 그냥 동아시아 기준으로 치면 그들은 문과생이나 다름없었다(...).[28] 선택과목 중 가장 선택 비율이 절대적으로 높기 때문에 거의 필수로 여겨지고 있었다.[29] 어차피 이공계 학과로 진학하면 미적분은 필수요소이기 때문에... 확률과 통계는 수학Ⅰ에 있던 확률과 통계 단원과 다를 바가 없고[30], 이산수학은 컴퓨터 공학도가 아니면 거의 필요 없는 잉여 과목으로 여겨졌다.
2.2. 2012학년도 이후의 수능
수학Ⅱ와 적분과 통계 또는(미적분1(간접 출제)) ,미적분2, 기하와 벡터 또는 수학1,(수학2(간접 출제)),미적분[31]이 수리 가형(수학 B형)의 범위에 포함되어 사실상 필수 과목이 돼버렸다. 그래서 모든 이과생들은 심화 미적분을 도피할 수 없게 됐다. 실제로 그러한 것이 모든 자연계열에서 필수를 넘어 거의 알파벳이나 다름없는 기초 중의 기초 미적분학을 다루기 때문에, 선택하고 자시고 할 것도 없이 배우는 것이 미래를 위해서라도 바람직하다. 그러나 2022학년도 수능부터 기하와 미적분, 확률과 통계가 다시 선택과목이 되었다.
[1] 이산수학은 별 쓰잘 데 없었고, 확률과 통계는 사실상 수학Ⅰ의 확률과 통계 단원의 중복이었다. 심지어는 이 과목을 선택해야 받아 주는 대학도 있었다.[2] 문과가 미적분을 배우지 않던 유일한 교육 과정. 자세한 내용은 미적분을 배우지 않은 문과생 참조.[3] 이전 7차 교육과정에서는 인문계열 학생들의 대학수학능력시험 수학 범위에 '수학Ⅰ'만 반영됐었다. 지금의 수학Ⅰ 내용이 아니고 그 때에는 수학10-가·나라는 명칭이 현재의 고1 내용이었고, 2·3학년 때 수학Ⅰ을 배웠다. (쉽게 말해 명칭만 옮겨 왔을 뿐이고 배우는 수준은 2·3학년 수준이라고 생각하면 된다. 덧붙이자면, 그 때 수학Ⅰ의 내용은 지수와 로그, 수열, 수열의 극한, 통계, 행렬 등으로 이루어져 있었다.) 아무튼 그 때의 수학Ⅰ은 현재와 달리 '미적분'이 빠져있었는데, 상경계열 교수들이 이에 대해 클레임을 걸었다. 실제로 상경 계열에서는 미적분이 없어서 안 될 도구다. (근데 그럴 거면 차라리 걔네만 따로 이과용 수학 시험에 응시하게 하지 그랬냐.) 그래서 미적분을 다시 부활시키려고 만든 문과 전용 교과서가 '미적분과 통계 기본'이다. 단, 이과는 이 교과서를 쓰지 않고, '수학Ⅱ'라는 교과서를 사용했다. 이 둘의 차이가 뭐냐면, '미적분과 통계 기본'이 다항함수의 미적분만 다룬다면, '수학Ⅱ'에는 다항함수 및 초월함수, 기타 여러 가지 함수 등의 미적분을 다루려 했다. 그랬는데(...) 결국 이러다 보니 이과용 미분의 훨씬 내용량이 방대해졌고, 이를 수학Ⅱ 한 권에 넣기에는 감당할 수 없었는지 '적분' 내용을 '적분과 통계'로 배치해 버리는 충공깽을 시전해 버렸다. 이렇게 생이별을 해야 하던 미분과 적분은 어른의 사정에 따라 각각 '수학Ⅱ'와 '적분과 통계'로 떨어져야 했다. 그러나 2009 개정 교육과정에서 다시 상봉하였다! 자세한 내용은 미적분Ⅰ, 미적분Ⅱ 참조.[4] 결국 7차 교육과정으로 회귀. 단, 이전 7차나 2007 개정 교육과정보다 훨씬 더 실증적이고, 연계가 강해졌다는 특징이 있다. 평면 위의 속도, 가속도, 거리에 대한 미적분 활용 내용을 '기하와 벡터'로 옮겨 '평면 벡터'와 융합해서 설명하고 있고 (진짜로 대학가서 이렇게 한다.), 음함수의 미분도 그 의의를 강조하기 위해 이차곡선의 접선의 방정식을 유도할 수 있게 단원을 붙였다. 이 외에도 많지만 생략한다. 단, 이렇게 실증적인 것을 지나치게 지향하다 보니 오직 이 개념이 저 개념에, 그 개념이 저 개념에만 사용될 수 있겠다는 오해를 불러 일으키기도 한다. 한편 미적분Ⅱ 과목에서 지수함수와 로그함수, 삼각함수 자체를 다루어서 이 점을 비판하는 경우가 있다.[5] 지금 상황으로 봤을 때는 망한 교육 과정? 이전에 호평 받던 벡터와 평면 운동을 다시 분리시키거나 음함수와 이차곡선의 접선 연계를 다시 없앴다(...). 또, 2007 개정 때처럼 과목 명칭에 대해서도 말이 많을 것 같다. 노골적으로 미적분이라는 명칭임에도 불구하고 7차때 처럼 초월함수, 기타 여러 함수의 미적분으로 시작하고 있으며, 다항함수 미적분은 수학Ⅱ에 배치되어 있다.[6] 여기서 사인법칙 및 코사인법칙을 배운다.[7] 문·이과 공통 과정으로 고등학교 1학년 학생이라면 누구나 배워야 한다.[8] 문·이과 고등학교 1학년 공통 과정으로 주로 2학기에 배운다. 삼각함수는 가장 마지막 단원에 있었다.[9] 문·이과 고등학교 1학년 공통 과정. 이전의 수학 10-가, 10-나를 한 권으로 합쳐 놓은 것으로, 삼각함수가 마지막 단원이 될 뻔했으나, '순열과 조합'이 뜬금없이 배치되어 사상 최초로 마지막에서 두 번째 단원으로 밀려났다.[10] 이과 전용 과정으로 지수함수와 로그함수를 배운 뒤에 미분까지 한꺼번에 다루는 식으로 교과과정이 개편되었다. 간단히 말하자면, '삼각함수'라는 단원 전체에 '극한과 미분'이 소단원으로 들어가 있는 상황(...) 역시 선배들은 이를 보고 어이없어 했다.[11] 이과 전용 과정[12] 고1 삼각함수에서의 방정식과 부등식 문제는 변역(x값의 범위)가 주어진다. 예를 들어 0[13] 이 때문에 홍성대의 책(수학의 정석)과 이홍섭의 책(개념원리)이 매우 두꺼워졌다.[14] 기하와 벡터(2007)의 대단원 행렬과 일차변환의 내용중 하나.[15] 그나마 다행스러운 것은 경제학에서는 미적분이 이과 못지않게 중요한 반면에, 삼각함수는 상경계 수학에서 차지하는 비중이 행렬보다도 낮다는 점이다.[16] 대한민국과 일본 교육의 고질병. 이전에 배웠다는 이유로 굉장히 단순히 다루고 가거나 아예 빼 버리는 행위를 외국에서 매번 까임의 대상으로 서고 있다.[17] 기본적인 극한과 미분은 미적분Ⅰ에서 배우고, 미적분Ⅱ에서는 초월함수(지수/로그/삼각함수)의 뜻, 응용, 극한, 미분을 한꺼번에 다루고, 바로 미분으로 넘어가는 전개를 펼친다.[18] 2009 개정 교육과정에서는 '사잇값의 정리'로 명칭이 바뀌었다.[19] 단, 중간값의 정리 한정이다. 평균값의 정리와 롤의 정리는 이과 전용 부분이다.[20] 문·이과 공통으로 배워야 하는 과목이다. 원래 평균값의 정리와 롤의 정리는 이과 전용 부분이었으나, 교과 과정 개편에 따라 문·이과 공통 과목인 미적분Ⅰ에 배치되었다.[21] 문·이과 공통과목에서 수학Ⅰ만 수능 범위였던 문과생들은 '지수와 로그'에 대한 간단한 정의와 함수만 다루고 넘어가기 때문.[22] 거의 중학교 도형이나 고1 도형의 방정식, 수열 등이 속한다.[23] 음함수의 미분과 매개변수 함수의 미분을 이차 곡선의 접선의 방정식을 유도하기 위해 이동했다. 또 평면 위의 속도와 가속도에 대한 도함수의 활용파트가 평면 벡터의 소단원으로 편입됐다.[24] 위에서 말했듯이 sine, cosine의 도함수를 유도 하기 위해서는 필요가 없다. 오히려 복잡하다. 이를 감지한 건지 2009 개정 교육과정에서부터는 삼각함수의 덧셈정리나 공식을 사용하지 않고 도함수를 유도한다.[25] 다항함수와 초월함수의 미분을 한꺼번에 다루게 되면서, 수학Ⅱ의 끝단원이 미분이 돼버리고, 그 뒤의 단원에 적분을 넣기에는 교과서의 양이 충당치 못해 '적분과 통계'라는 책 하나를 더 만들어 버렸다. 통계는 그냥 어디로 넣을지 몰라서 여기다가 짜깁기한듯.[26] 평면 위의 속도와 거리가 평면 벡터 및 속도와 가속도의 미분과 합쳐졌다.[27] 그래도 대학교 기초 수학과 비교하면 훨씬 깔끔하다.[28] 실제로 확률과 통계는 인문 계열에서 내신 과목으로 많이 채택되었으며, 이산수학은 이 과목에만 있었던 일부 내용이 교육과정이 개편되면서 수학Ⅰ과 미적분과 통계 기본으로 이동되면서 인문계 학생들도 배웠다.[29] 실제로 서울대학교 공대처럼 미분과 적분을 택한 학생만 지원할 수 있는 곳도 있었다.[30] 이때 중복조합, 모비율, 집합의 분할 등이 고유의 내용이었지만 현재 2009 개정 교육과정의 확률과 통계는 필수 수능 과목이 돼버렸다. 그러나, 2022학년도 수능부터 다시 선택과목이 되었다.[31] 2021학년도 수능 한정