베셀 함수

1. 개요

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'''베셀 함수(Bessel's function)'''는 베셀의 미분방정식

$$\displaystyle x^{2}\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}+x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+(x^2-n^{2})y=0 \quad (n \geq 0,\,n \in\mathbb{R})$$

을 만족시키는 함수로, 흔히 헬름홀츠 방정식을 원통 좌표계에서 변수분리할 때 반지름 성분에서 튀어나오게 된다.
이 함수는 베르누이(D. Bernoulli; 1700 - 1782)가 처음 발견하였으나 수학적으로 정립한 것이 베셀(F. W. Bessel; 1784 - 1846)이기 때문에 그의 이름이 붙었다.
이 문서는 초급적인 방법으로 베셀 함수를 다룬다. 심층적인 정보는 이곳(영어)을 참조하라.

2. 상세

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위 미분방정식을 다시 쓰면

$$\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}+\frac{1}{x} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+\frac{x^{2}-n^{2}}{x^{2}}y=0 $$

이 되므로 $$x=0$$에서 정칙 특이점을 갖는다. 따라서 이 미분방정식은 프로베니우스의 해법으로 풀 수 있으며, 해의 모양을

$$\displaystyle　y(x)=\sum_{m=0}^{\infty} a_{m}x^{m+r} $$

으로 쓸 수 있다. 이것을 방정식에 대입하면,

$$\displaystyle \sum_{m=0}^{\infty} a_{m}(m+r)(m+r-1) x^{m+r}+\sum_{m=0}^{\infty} a_{m} (m+r) x^{m+r}+\sum_{m=0}^{\infty} a_{m}x^{m+r+2}-\sum_{m=0}^{\infty} a_{m}n^{2}x^{m+r}=0 $$

이 되고, 최저차항의 계수를 비교함으로써 다음을 얻는다.

$$\displaystyle a_{0}[r(r-1)+r-n^{2}]=0$$

위 식이 일반적으로 성립하려면 $$r= \pm n$$이어야 한다. 원래 프로베니우스의 해법을 적용할 때는 이 $$r$$값들의 차의 유형을 조사해야 하나, 일단 이를 나중으로 미루고 우선 더 큰 값인 $$r=n$$을 대입하여 식을 정리하면 계수에 대한 점화식을 얻을 수 있다.

$$\displaystyle \sum_{m=0}^{\infty} a_{m} m(m+2n)x^{m+n}+\sum_{m=2}^{\infty} a_{m-2} x^{m+n}=0 $$

이에 $$a_{n}$$에 대한 점화식을 얻는다.

$$\displaystyle a_{m+2}=-\frac{1}{(m+2)(m+2n+2)}a_{m} $$

그러면 $$a_{1}$$에 대해선

$$\displaystyle a_{1}(1+2n) =0 $$

이 되고, $$n \geq 0$$임을 고려하면 $$a_{1}=0$$을 얻는다. 따라서 우리는 홀수 차수 항의 계수는 고려할 필요 없이 짝수 차수 항만 고려하면 되므로

$$\displaystyle m:= 2s \quad (s=0,\,1,\,2,\,3,\, \cdots) $$

로 쓰자. 그러면 위 점화식은

$$\displaystyle a_{2s+2}=-\frac{1}{2^{2}(s+1)(s+n+1)}a_{2s} $$

로 쓸 수 있고, 따라서 짝수차 계수에 대한 일반항

$$\displaystyle a_{2s}=\frac{(-1)^{s}}{2^{2s}s!\cdot(s+n)(s+n-1)(s+n-2) \cdots (n+1) }a_{0} $$

을 얻는다. 여기서 감마 함수의 성질 $$\Gamma(t+1)=t\Gamma(t)$$를 사용하면

$$\displaystyle \begin{aligned} \Gamma(s+n+1)&= (s+n)(s+n-1)(s+n-2) \cdots (n+1) \Gamma(n+1) \\ \therefore \frac{\Gamma(s+n+1)}{\Gamma(n+1)}&=(s+n)(s+n-1)(s+n-2) \cdots (n+1) \end{aligned} $$

을 얻는다. 따라서 위 일반항에 대입하면 다음과 같다.

$$\displaystyle a_{2s}=\frac{(-1)^{s} \Gamma(n+1)}{2^{2s}s!\cdot\Gamma(s+n+1) }a_{0} $$

이때 $$\displaystyle a_{0}=[{2^{n}\Gamma(n+1)}]^{-1} $$으로 택하면 다음을 얻는다.

$$\displaystyle y(x)=\sum_{s=0}^{\infty} \frac{(-1)^{s}}{s!\cdot\Gamma(s+n+1) } \left( \frac{x}{2} \right)^{2s+n} $$

으로 쓸 수 있는데, 이것을 $$y(x) := J_{n}(x)$$로 정의하고, 이를 '''$$\boldsymbol{n}$$차 제1종 베셀 함수(Bessel function of the first kind of order $$\boldsymbol{n}$$)'''라 한다. 참고로 $$n$$이 정수일 때 다음과 같이 적분 꼴로 나타낼 수 있다.

$$\displaystyle J_{n} (x) = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \cos (x \sin \theta - n\theta)\, \mathrm{d}\theta$$

또한, $$n=1/2$$일 때는

$$\displaystyle J_{1/2}(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\sin{x} $$

임을 쉽게 증명할 수 있다. $$n=k/2\,(k=1,\,2,\,3,\,\cdots)$$일 때의 제1종 베셀 함수는 아래의 재귀 관계 문단의 관계식을 이용하면 구할 수 있다.
다시 본론으로 돌아오자. 베셀의 미분방정식은 2계 선형 상미분방정식이기 때문에 선형 독립인 해는 2개이다. 따라서 $$r=-n$$일 때도 동일한 과정을 거치면

$$\displaystyle J_{-n}(x)=\sum_{s=N}^{\infty} \frac{(-1)^{s}}{s!\cdot\Gamma(s-n+1) } \left( \frac{x}{2} \right)^{2s-n} $$

임을 구할 수 있다. 여기서 $$N$$은 $$s-n+1>0$$을 만족시키는 최소의 $$s$$값이다. $$-n=-1/2$$일 때는

$$\displaystyle J_{-1/2}(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\cos{x} $$

임을 쉽게 증명할 수 있으며, $$-n=-k/2\,(k=1,\,2,\,3,\,\cdots)$$일 때의 제1종 베셀 함수는 마찬가지로 재귀 관계 문단을 참고하라.
따라서 베셀 미분방정식의 일반해를

$$\displaystyle y(x)=c_{1}J_{n}(x)+c_{2}J_{-n}(x) $$

로 쓸 수 있다. '''단, $$\boldsymbol{n}$$이 정수가 아닐 때'''만 위와 같이 표현 가능하다. 왜냐하면 $$n$$이 정수일 경우 $$N=n$$이 되고

[math(\displaystyle \begin{aligned} J_{-n}(x)&=\sum_{s=N}^{\infty}\frac{(-1)^{s}}{s!\cdot\Gamma(s-n+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2s-n}\\
&=\sum_{s=n}^{\infty}\frac{(-1)^{s}}{s!\cdot\Gamma(s-n+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2s-n}\\
&=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k+n}}{(k+n)!\cdot\Gamma(k+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+n}\\
&=(-1)^{n}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{k!\cdot\Gamma(k+n+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+n}\\
&=(-1)^{n}J_{n}(x) \end{aligned} )]

가 되어 더 이상 $$J_{-n}(x)$$가 선형 독립인 해가 아니기 때문이다. 즉, $$n$$이 정수일 때는 $$J_{-n}(x)$$를 두 번째 해로 쓸 수 없다. 그래서 수학에서는

$$\displaystyle Y_{n}(x)= \frac{ \cos{(n \pi)} J_{n}(x) -J_{-n}(x)}{\sin{(n \pi})} $$

라는 '''$$\boldsymbol{n}$$차 제2종 베셀 함수(Bessel function of the second kind of order $$\boldsymbol{n}$$)''' 혹은 '''$$\boldsymbol{n}$$차 노이먼 함수(Neumann function of order $$\boldsymbol{n}$$)'''를 정의하였다. 이 함수가 베셀 미분방정식의 두 번째 해가 됨이 알려져 있지만 증명이 만만치 않기 때문에 이 문서에서는 결과만을 기입했다. $$n$$이 정수일 때는 위 식이 $$Y_{n}(x)=0/0$$ 꼴을 갖기 때문에 아래의 극한

$$\displaystyle Y_{n}(x)=\lim_{\nu\to n}\frac{\cos{(\nu\pi)}J_{\nu}(x)-J_{-\nu}(x)}{\sin{(\nu\pi)}}$$

으로 정의한다는 것에 유의하라.[1][2] $$n$$이 정수인 경우, 복잡한 과정을 통해 제2종 베셀 함수를 아래와 같이 멱급수 꼴로 나타낼 수 있다.

$$\displaystyle Y_{n}(x)=\frac{2}{\pi}J_{n}(x)\ln\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{\pi}\sum_{s=0}^{n-1}\frac{\Gamma(n-s)}{s!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2s-n}-\frac{1}{\pi}\sum_{s=0}^{\infty}(-1)^{s}\frac{\psi(s+1)+\psi(s+n+1)}{s!\cdot\Gamma(s+n+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2s+n}$$

[1] $$n$$이 정수가 아닐 때 $$Y_{n}(x)$$가 해가 되는 이유는 곧 선형 독립인 두 해 $$J_{n}(x)$$와 $$J_{-n}(x)$$를 선형 결합한 형태를 띄기 때문이다.

[2] $$n$$이 정수일 경우에 해가 되는 이유에 대해선 수준상 생략한다. 증명은 여기에서 Preposition 2.2를 참고하라.

여기서 $$\psi$$는 디감마함수이다. 제2종 베셀 함수 또한 $$n$$이 정수일 때 다음과 같이 적분 꼴로 나타낼 수 있다.

$$\displaystyle Y_{n}(x)=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\cos(x\sin\theta-n\theta)\,\mathrm{d}\theta-\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\infty}(e^{nt}+(-1)^{n}e^{-nt})e^{-x\sinh{t}}\,\mathrm{d}t $$

따라서 베셀 미분방정식의 일반적인 해는 $$n$$의 종류를 불문하고 다음과 같다.

$$\displaystyle y(x)=c_{1}J_{n}(x)+c_{2}Y_{n}(x) $$

3. 분석

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가장 많이 사용되는 제1종 베셀 함수만을 기입하였다. 이 문단부터는 '베셀 함수'는 제1종 베셀 함수 $$J_{n}(x)$$를, '노이먼 함수'는 제2종 베셀 함수 $$Y_{n}(x)$$를 지칭한다.

3.1. 그래프

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위 그래프에서 베셀 함수의 특징을 살펴볼 수 있다.

• 어느 정도 주기성을 띠나, 점점 0으로 수렴하는 형태이다.[3]
• 함숫값이 0이 되는 점은 무수히 많으며, 값이 해석적인 형태를 띠지 않는다.

다만, 노이먼 함수는 위와 같이 어느 정도 주기성을 띠나 $$x \to 0$$에서 발산하는 경향이 있다.[4]

3.2. 베셀의 미분방정식의 다른 형태

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3.2.1. 형태 1

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베셀의 미분방정식

$$\displaystyle x^{2} \frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}+x \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+(x^2-n^{2})y=0 $$

[3] $$x>0$$ 범위에서 $${\sin{(x^n)}}/{x}$$와 개형이 비슷하다.

[4] $$x>0$$ 범위에서 삼각 적분 함수 중 $$\mathrm{Ci}(x)$$와 개형이 비슷하다.

이때,

$$\displaystyle x \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)=x^{2} \frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}+x \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} $$

의 사실을 이용하면 아래와 같은 꼴로 고칠 수 있다.

$$\displaystyle x \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \right)+(x^2-n^{2})y=0 $$

3.2.2. 형태 2

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이번엔 함수와 변수 치환

$$\displaystyle \begin{aligned} y(x)&=f(u) \\ u&=kx \end{aligned} $$

를 고려하자. 여기서 $$k$$는 상수이다. 이때, 미분방정식

$$\displaystyle \begin{aligned} k^{2}x^{2} \frac{\mathrm{d}^{2}f}{\mathrm{d}u^{2}}+kx \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}u}+(k^2 x^{2}-n^{2})f&=0 \\ u^{2} \frac{\mathrm{d}^{2}f}{\mathrm{d}u^{2}}+u \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}u}+(u^{2}-n^{2})f&=0 \end{aligned} $$

으로 쓸 수 있어 $$y(x)=A_{1}J_{n}(kx)+A_{2}Y_{n}(kx)$$를 해로 갖는다. 이것은 다시

$$\displaystyle \begin{aligned} k^{2}x^{2} \frac{\mathrm{d}^{2}y(x)}{\mathrm{d}(kx)^{2}}+kx \frac{\mathrm{d}y(x)}{\mathrm{d}(kx)}+(k^2 x^{2}-n^{2})y(x)&=0 \\ x^{2} \frac{\mathrm{d}^{2}y(x)}{\mathrm{d}x^{2}}+x\frac{\mathrm{d}y(x)}{\mathrm{d}x}+(k^2 x^{2}-n^{2})y(x)&=0 \end{aligned} $$

으로 쓸 수 있다. 즉, $$\displaystyle y(x)=A_{1}J_{n}(kx)+A_{2}Y_{n}(kx) $$는 다음을 만족시킨다.

$$\displaystyle x^{2} \frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}+x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+(k^2 x^{2}-n^{2})y=0 $$

3.2.3. 형태 3

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$$\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}+\frac{1-2a}{x}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+\left[ (bcx^{c-1})^{2}+\frac{a^{2}-n^{2}c^{2}}{x^{2}} \right]y=0 $$

꼴의 미분방정식은

$$\displaystyle y=A_{1}x^{a}J_{n}(bx^{c})+A_{2}x^{a}Y_{n}(bx^{c}) $$

를 해로 갖는다. $$a \sim c$$는 상수이다. 자세한 증명은 생략하며, $$y=ux^{a}$$, $$z=bx^{c}$$의 치환을 통해 $$u$$, $$z$$의 베셀 미분방정식으로 만듦으로써 증명할 수 있다.

3.2.4. 형태 4

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$$\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}-2a\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+[(bce^{cx})^{2}+a^{2}-n^{2}c^{2}]y=0 $$

꼴의 미분방정식은

$$\displaystyle y=A_{1}e^{ax}J_{n}(be^{cx})+A_{2}e^{ax}Y_{n}(be^{cx}) $$

을 해로 갖는다. $$a \sim c$$는 상수이다. 자세한 증명은 생략하며, $$y=ue^{ax}$$, $$z=be^{cx}$$의 치환을 통해 $$u$$, $$z$$의 베셀 미분방정식으로 만듦으로써 증명할 수 있다.

3.3. 영점

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베셀 함수의 영점은 $$J_{n}(x)=0$$ 혹은 $$Y_{n}(x)=0$$을 만족시키는 $$x$$값이다. 그래프에서 볼 수 있듯이 베셀 함수의 영점은 무수히 많으나, 이 값을 해석적으로 구하기는 어렵다. 따라서 이를 다루는 대부분의 교재에서는 몇몇의 베셀 함수의 영점의 근삿값을 구해서 표로 정리한다.
우리는 이 영점들을 $$x := j_{n,k}$$, $$x := y_{n,k}$$로 정의할 것이며, 각각 $$J_{n}(x)$$, $$Y_{n}(x)$$의 $$k$$번째 영점이다.
다음은 베셀 함수의 몇몇 영점들을 나타낸 것이다.

$$\boldsymbol{n}$$	$$\boldsymbol{j_{n,1}}$$	$$\boldsymbol{j_{n,2}}$$	$$\boldsymbol{j_{n,3}}$$	$$\boldsymbol{j_{n,4}}$$	$$\boldsymbol{j_{n,5}}$$
'''1'''	2.4048	5.5201	8.6537	11.7915	14.9309
'''2'''	3.8317	7.0156	10.1735	13.3237	16.4706
'''3'''	6.3802	9.7610	13.0152	16.2235	19.4094
'''4'''	7.5883	11.0647	14.3725	17.6160	20.8269
'''5'''	8.7715	12.3386	15.7002	18.9801	22.2178

이외의 베셀 함수의 영점은 이곳을, 노이먼 함수의 영점은 이곳을 참고하라. 다만, $$n$$, $$k$$를 각각 대입해야 값이 보인다.

3.4. 생성함수

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베셀 함수에 대한 생성함수는 아래와 같다.

$$\displaystyle \exp{\left[ \frac{x}{2} \left( t-\frac{1}{t} \right) \right]} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} t^{n}J_{n}(x) $$

3.5. 미적분과 재귀 관계

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베셀 함수의 정의식을 사용하여 다음을 얻을 수 있다. (혹은 생성 함수를 통하여도 증명할 수 있다.)

1. $$\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[x^{n}J_{n}(x) ]=x^{n}J_{n-1}(x) \Leftrightarrow \int x^{n}J_{n-1}(x)\,\mathrm{d}x=x^{n}J_{n}(x)+C $$
2. $$\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[x^{-n}J_{n}(x) ]=-x^{-n}J_{n+1}(x) \Leftrightarrow \int x^{n}J_{n+1}(x)\,\mathrm{d}x=-x^{n}J_{n}(x)+C $$

위 식으로부터 아래를 얻을 수 있다.

1. $$\displaystyle nJ_{n}(x)+xJ_{n}'(x)=xJ_{n-1}(x) $$
2. $$\displaystyle nJ_{n}(x)-xJ_{n}'(x)=xJ_{n+1}(x) $$

이상의 결과를 종합함으로써 다음을 얻을 수 있다.

1. $$\displaystyle J_{n-1}(x)+J_{n+1}(x)=\frac{2n }{x}J_{n}(x) $$
2. $$\displaystyle J_{n-1}(x)-J_{n+1}(x)=2J_{n}'(x) $$
3. $$\displaystyle \begin{aligned} J_{n}'(x)&=-\frac{n}{x}J_{n}(x)+J_{n-1}(x) \end{aligned} $$
4. $$\displaystyle \begin{aligned} J_{n}'(x)= \frac{n}{x}J_{n}(x)-J_{n+1}(x) \end{aligned} $$

다음의 성질 또한 있다.

1. $$\displaystyle J_{n}(x)J_{-(n-1)}(x)+J_{-n}(x)J_{n-1}(x)=\frac{2 \sin{(n \pi)}}{\pi x} $$
2. $$\displaystyle J_{n}(x)J_{-(n+1)}(x)+J_{-n}(x)J_{n+1}(x)=-\frac{2 \sin{(n \pi)}}{\pi x} $$
3. $$\displaystyle J_{n}(x)Y'_{n}(x)-J'_{n}(x)Y_{n}(x)=\frac{2}{\pi x} $$
4. $$\displaystyle J_{n}(x)Y_{n+1}(x)-J_{n+1}(x)Y_{n}(x)=-\frac{2}{\pi x} $$

3.6. 점근 꼴

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$$\begin{cases}\begin{aligned}\displaystyle &J_{n}(x) \approx \frac{1}{\Gamma (n+1)} \left( \frac{x}{2} \right)^{n} \quad& (x \ll 1) \\ \\ \displaystyle &J_{n}(x) \sim \sqrt{\frac{2}{\pi x}} \cos{\left( x-\frac{2n+1}{4} \pi \right)} \quad& (x \gg 1) \end{aligned}\end{cases}$$

3.7. 직교성

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베셀 함수는 가중 함수(weight function) $$f(x)=x$$와의 구간 $$[0,\,1]$$의 내적에 대하여 다음이 성립한다.

$$\displaystyle \int_{0}^{1} x J_{n}(j_{n,\alpha}x) J_{n}(j_{n,\beta}x)\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}J_{n}'^{2}(j_{n,\alpha})\delta_{\alpha \beta} $$

이때, $$\delta_{\alpha \beta}$$는 크로네커 델타이고, $$j_{k,m}$$은 $$J_{k}(x)$$의 $$m$$번째 영점이다.
이를 증명해 보자. $$u := J_{n}(j_{n,\alpha}x)$$, $$v := J_{n}(j_{n,\beta}x)$$(단, $$\alpha \neq \beta$$)는 각각 다음을 만족시킨다.

$$\displaystyle\begin{aligned} x \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left( x \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} \right)+(j_{n,\alpha}^{2}x^2-n^{2})u&=0 \\ x \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left( x \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x} \right)+(j_{n,\beta}^{2}x^2-n^{2})v&=0 \end{aligned}$$

이때 위 식과 아래 식에 각각 $$v$$, $$u$$를 곱하여 서로 뺀 뒤 정리해주면 다음과 같다.

$$\displaystyle \begin{aligned} v\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left( x \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} \right) -u \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left( x \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x} \right)+ (j_{n,\alpha}^{2}-j_{n,\beta}^{2})xuv&=0 \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left[ vx \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}-ux \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x} \right] + (j_{n,\alpha}^{2}-j_{n,\beta}^{2})xuv&=0 \end{aligned} $$

양변을 구간 $$[0,\,1]$$에 대하여 적분하면

$$\displaystyle\left[ vx \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}-ux \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x} \right]_{0}^{1} + (j_{n,\alpha}^{2}-j_{n,\beta}^{2}) \int_{0}^{1}\,\mathrm{d}x=0 $$

이 된다. $$u(1)=v(1)=0$$일 때 좌변의 첫째 항은 [math(0)]이 되고, $$\alpha \neq \beta$$이면 위 등식을 만족시키기 위해선 다음을 만족시켜야 한다.

$$\displaystyle \int_{0}^{1} x J_{n}(j_{n,\alpha}x) J_{n}(j_{n,\beta}x)\,\mathrm{d}x=0 \quad (\alpha \neq \beta)$$

이제 $$\alpha=\beta$$인 경우를 증명하자. 다음의 적분

$$\displaystyle \int_{0}^{1} x J_{n}(j_{n,\alpha}x) J_{n}(kx)\,\mathrm{d}x $$

을 고려하도록 하자. 중요한 것은, 이제 $$k$$는 베셀 함수의 영점이 아닌 임의의 수라는 것이다. 위와 유사하게 베셀의 미분방정식을 이용하면

$$\displaystyle \int_{0}^{1} x J_{n}(j_{n,\alpha}x) J_{n}(kx)\,\mathrm{d}x=-\frac{J_{n}(k) j_{n,\alpha} J_{n}'(j_{n,\alpha})}{j_{n,\alpha}^{2} -k^{2}} $$

의 결과가 나온다. 여기에 극한을 취하면 다음과 같다.

$$\displaystyle \int_{0}^{1} x J_{n}^{2}(j_{n,\alpha}x)\mathrm{d}x=-\lim_{k \to j_{n,\alpha}}\frac{J_{n}(k) j_{n,\alpha} J_{n}'(j_{n,\alpha})}{j_{n,\alpha}^{2} -k^{2}} $$

위 극한은 $$0/0$$ 꼴이 되기 때문에 로피탈의 정리를 사용해야 한다.

$$\displaystyle -\lim_{k \to j_{n,\alpha}}\frac{J_{n}(k) j_{n,\alpha} J_{n}'(j_{n,\alpha})}{j_{n,\alpha}^{2} -k^{2}}\overset{\mathsf{l'H\hat{o}pital}}{=}-\lim_{k \to j_{n,\alpha}} \frac{J_{n}'(k)j_{n,\alpha}J_{n}'(j_{n,\alpha})}{-2k}=\frac{1}{2}J_{n}'^{2}(j_{n,\alpha}) $$

그런데 베셀 함수의 성질 중

$$\displaystyle nJ_{n}(j_{n,\alpha}x)-j_{n,\alpha} xJ_{n}'(j_{n,\alpha}x)=j_{n,\alpha}xJ_{n+1}(j_{n,\alpha}x) $$

로부터 $$x=1$$을 대입하면 $$\displaystyle J_{n}'^{2}(j_{n,\alpha})=J_{n+1}^{2}(j_{n,\alpha}) $$이고, 마찬가지의 방법으로

$$\displaystyle nJ_{n}(j_{n,\alpha}x)+j_{n,\alpha} xJ_{n}'(j_{n,\alpha}x)=j_{n,\alpha}xJ_{n-1}(j_{n,\alpha}x) $$

를 이용하면 $$\displaystyle J_{n}'^{2}(j_{n,\alpha})=J_{n-1}^{2}(j_{n,\alpha}) $$를 얻는다. 이상에서 위 결과를

$$\displaystyle \begin{aligned} \int_{0}^{1} x J_{n}(j_{n,\alpha}x) J_{n}(j_{n,\beta}x)\,\mathrm{d}x &=\frac{1}{2}J_{n}'^{2}(j_{n,\alpha})\delta_{\alpha \beta} \\ &=\frac{1}{2}J_{n+1}^{2}(j_{n,\alpha})\delta_{\alpha \beta} \\ &=\frac{1}{2}J_{n-1}^{2}(j_{n,\alpha})\delta_{\alpha \beta} \end{aligned} $$

으로 쓸 수 있고, 치환적분을 이용하면 다음을 증명할 수 있다.

$$\displaystyle \begin{aligned} \int_{0}^{b} x J_{n}\left( \frac{j_{n,\alpha}x}{b} \right) J_{n}\left( \frac{j_{n,\beta}x}{b} \right)\,\mathrm{d}x &=\frac{b^{2}}{2}J_{n}'^{2}(j_{n,\alpha})\delta_{\alpha \beta} \\ &=\frac{b^{2}}{2}J_{n+1}^{2}(j_{n,\alpha})\delta_{\alpha \beta} \\ &=\frac{b^{2}}{2}J_{n-1}^{2}(j_{n,\alpha})\delta_{\alpha \beta} \end{aligned} $$

3.7.1. 푸리에-베셀 급수

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푸리에 급수로 주기 $$[0,\,L]$$인 함수 $$f(x)$$를 해당 구간에서 직교하는 삼각함수를 이용하여

$$\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} \sin{\frac{n\pi x}{L}}+b_{n} \cos{\frac{n \pi x}{L}} $$

로 전개할 수 있었고 각 계수는 이들의 함수의 직교성으로 구할 수 있었다. 유사한 방법으로 이 베셀 함수의 경우에도 구간 $$[0,\,b]$$에 있는 함수를

$$\displaystyle f(x)=\sum_{k=1}^{\infty} a_{k} J_{n}\left( \frac{j_{n,k}x}{b} \right) $$

로 전개할 수 있는데, 이것을 '''푸리에-베셀 급수(Fourier-Bessel series)'''라 한다. 각 항의 계수를 구하기 위해 양변에 $$x J_{n}(j_{n,m}x/b)$$를 곱하고, 구간에 대해 적분한다.

$$\displaystyle \begin{aligned} \int_{0}^{b} x f(x) J_{n}\left( \frac{j_{n,m}x}{b} \right)\,\mathrm{d}x&=\sum_{k=1}^{\infty} a_{k} \int_{0}^{b}x J_{n}\left( \frac{j_{n,k}x}{b} \right)J_{m}\left( \frac{j_{n,m}x}{b} \right)\,\mathrm{d}x \\ &=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{b^2 a_{k} \delta_{km}}{2} J_{n+1}^{2}(j_{n,m}) \\&=\frac{b^2 a_{m}}{2} J_{n+1}^{2}(j_{n,m}) \end{aligned} $$

따라서 다음의 결과를 얻는다.

$$\displaystyle a_{n}=\frac{2}{b^2 J_{n+1}^{2}(j_{n,m})} \int_{0}^{b} x f(x) J_{n}\left( \frac{j_{n,m}x}{b} \right)\,\mathrm{d}x $$

4. 연관된 함수

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4.1. 한켈 함수

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'''한켈 함수(Hankel function)'''는 다음과 같이 정의된 함수이다.

$$\displaystyle \begin{aligned} H_{n}^{(1)}(x) &:= J_{n}(x)+i Y_{n}(x) \\ H_{n}^{(2)}(x) &:= J_{n}(x)-i Y_{n}(x) \end{aligned} $$

간혹 제3종 베셀 함수라고 부르기도 하며, $$H_{n}^{(1)}(x)$$와 $$H_{n}^{(2)}(x)$$는 선형 독립이다.

4.2. 수정 베셀 함수

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'''수정 베셀 함수(modified Bessel function)'''는 다음의 미분방정식을 만족시키는 함수이다.

$$\displaystyle x^{2} \frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}+x \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}-(x^2+n^{2})y=0 $$

다음을 각각 '''제1종 수정 베셀 함수''', '''제2종 수정 베셀 함수'''라 한다.

$$\displaystyle \begin{aligned} I_{n}(x) &:= i^{-n}J_{n}(ix) \\ K_{n}(x) &:= \frac{\pi}{2} \frac{I_{-n}(x)-I_{n}(x)}{\sin{(n \pi)}} \end{aligned} $$

베셀 함수는 어느 정도 주기성을 띠면서 0으로 수렴하나, 이 수정 베셀 함수는 주기성이 완전히 없으며, 수렴하지도 않고 발산한다.
아래는 수정 베셀 함수의 그래프를 나타낸 것이다.

4.3. 구면 베셀 함수

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'''구면 베셀 함수(spherical Bessel function)'''는 구면 좌표계에서 라플라시안이 포함된 미분방정식을 풀었을 때, 반지름 성분에서 나오는 미분방정식

$$\displaystyle x^{2} \frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}+2x \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+[x^{2}-n(n+1) ]y=0 $$

을 만족시키는 함수이다. 적절한 치환 $$y(x) := Y(x)/\sqrt{x}$$를 사용하면 위 미분방정식은 다음과 같이 정리할 수 있다.

$$\displaystyle \begin{aligned} x^{2}\left( \frac{3Y}{4x^{2}}-\frac{1}{x} \frac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}x}+\frac{\mathrm{d}^{2}Y}{\mathrm{d}x^{2}} \right)+2x \left( \frac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}x}-\frac{Y}{2x} \right) +[x^{2}-n(n+1) ]Y&=0 \\ x^{2}\frac{\mathrm{d}^{2}Y}{\mathrm{d}x^{2}}+x\frac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}x}+\left[ x^{2} - \left( n+\frac{1}{2} \right)^{2} \right]Y&=0\end{aligned} $$

여기서 $$k=n+1/2$$으로 둔다면, 위 미분방정식의 해는

$$\displaystyle y(x)=C_{1} \frac{J_{k}(x)}{\sqrt{x}}+C_{2}\frac{Y_{k}(x)}{\sqrt{x}} $$

가 된다. 여기서 나온 두 함수에 규격화를 목적으로 특정한 상수를 붙인 함수를

$$\displaystyle \begin{aligned} j_{n}(x) & := \sqrt{\frac{\pi}{2x}}J_{n+1/2}(x) \\ y_{n}(x) & := \sqrt{\frac{\pi}{2x}}Y_{n+1/2}(x) \end{aligned} $$

로 정의하고 각각 '''제1종 구면 베셀 함수''', '''제2종 구면 베셀 함수'''라 한다. 그런데 $$k=n+1/2$$일 때는 $$J_{k}(x)$$와 $$J_{-k}(x)$$는 선형 독립으로써

$$\displaystyle Y_{n+1/2}(x) \to J_{-(n+1/2)}(x) $$

로 대치하여도 상관없다. 따라서 제2종 구면 베셀 함수는 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$\displaystyle y_{n}(x) = {j}_{-n}(x) $$

$$n$$이 정수일 때는 더욱 간단한 표현으로 나타낼 수 있다.

$$\displaystyle J_{k+1}(x)=-x^{k} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[x^{-k}J_{k}(x) ] $$

의 관계식을 이용하자. 구면 베셀 함수와 베셀 함수와의 관계를 이용하면,

$$\displaystyle \begin{aligned} \frac{J_{n+3/2}(x)}{\sqrt{x}}&=-x^{n} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left[ \frac{x^{-n}J_{1+n/2}(x)}{\sqrt{x}} \right] \\ \therefore {j_{n+1}(x)}&=-x^{n} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} [ x^{-n}j_{n}(x) ] \end{aligned} $$

의 관계를 얻는다. 이 관계는 임의의 $$n$$에 대해서 성립하므로

$$\displaystyle \begin{aligned} {j_{n+1}(x)}&=-x^{n} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left[ -\frac{x^{n-1}}{x^{n}} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left[ x^{-(n-1)} J_{n-1}(x) \right] \right] \\&=-x^{n} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left[ \left( -\frac{x^{n-1}}{x^{n}} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \right) -\frac{x^{n-2}}{x^{n-1}} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left[ x^{-(n-2)} J_{n-2}(x) \right] \right] \\ &=\cdots \\&=x^{n} \left( -\frac{1}{x}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \right)^{n} J_{0}(x) \\ \\ \therefore\;\displaystyle j_{n}(x)&=x^{n} \left( -\frac{1}{x}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \right)^{n} \frac{\sin{x}}{x}\;\left(\because j_{0}=\sqrt{\frac{\pi}{2 x}}J_{1/2}(x)=\frac{\sin{x}}{x}\right) \end{aligned} $$

아래는 몇몇의 제1종 구면 베셀 함수를 기입한 것이다.

[math(\displaystyle \begin{aligned}
j_{0}(x)&=\frac{\sin{x}}{x} \\
j_{1}(x)&=\frac{\sin{x}}{x^2}-\frac{\cos{x}}{x} \\
j_{2}(x)&=\left( \frac{3}{x^{2}}-1 \right) \frac{\sin{x}}{x}-\frac{3\cos{x}}{x^{2}} \\
j_{3}(x)&=\left( \frac{15}{x^{3}}-\frac{6}{x} \right) \frac{\sin{x}}{x}-\left( \frac{15}{x^{2}}-1 \right )\frac{\cos{x}}{x} \end{aligned} )]

또한, $$\displaystyle J_{-1/2}(x)={\cos{x}}/{x} $$임을 이용하고, 베셀 함수의 재귀 관계를 이용하면,

$$\displaystyle y_{n}(x)=-x^{n} \left( -\frac{1}{x}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \right)^{n} \frac{\cos{x}}{x} $$

로 쓸 수 있다. 아래는 몇몇의 제2종 구면 베셀 함수를 기입한 것이다.

[math(\displaystyle \begin{aligned}
y_{1}(x)&=-\frac{\cos{x}}{x} \\
y_{2}(x)&=-\frac{\cos{x}}{x^2}-\frac{\sin{x}}{x} \\
y_{3}(x)&=\left( 1-\frac{3}{x^{2}} \right ) \frac{\cos{x}}{x}-\frac{3\sin{x}}{x^{2}} \\
y_{4}(x)&=\left( \frac{6}{x}- \frac{15}{x^{3}} \right)\frac{\cos{x}}{x}-\left( \frac{15}{x^{2}}-1 \right ) \frac{\sin{x}}{x}
\end{aligned} )]

아래는 구면 베셀 함수의 그래프를 나타낸 것이다.

4.3.1. 구면 한켈 함수

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'''구면 한켈 함수(spherical Hankel function)'''은 한켈 함수와 마찬가지로 구면 베셀 함수들의 선형 결합을 통해 만들어진 함수이다. 아래와 같이 '''제1종 구면 한켈 함수'''와 '''제2종 구면 한켈 함수'''를 정의한다.

$$\displaystyle \begin{aligned} h_{n}^{(1)}(x) &:= j_{n}(x)+i y_{n}(x) \\ h_{n}^{(2)}(x) &:= j_{n}(x)-i y_{n}(x) \end{aligned} $$

4.4. 슈트루페 함수

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'''슈트루페 함수(Struve function)'''는 수정 베셀 함수와 노이먼 함수의 합으로 정의된다.

$$\displaystyle \bold{H}_n(x) := K_n(x) + Y_n(x)$$

4.5. 켈빈 함수

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'''켈빈 함수(Kelvin function)'''는 베셀 함수에 복소 지수함수를 합성해서 실수부・허수부를 취한 함수이다. 이름이 뭔가 낯이 익은데, 다름아닌 절대온도를 정의한 그 켈빈이 만든 함수이다.

$$\displaystyle \begin{aligned} \mathrm{ber}_n(x) &:= (\Re \circ J_n)(xe^{3 \pi i/4}) \\ \mathrm{bei}_n(x) &:= (\Im \circ J_n)(xe^{3 \pi i/4}) \\ \mathrm{ker}_n(x) &:= (\Re \circ K_n)(xe^{\pi i/4}) \\ \mathrm{kei}_n(x) &:= (\Im \circ K_n)(xe^{\pi i/4}) \end{aligned} $$

5. 활용

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5.1. 물리학적 활용

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이 문단에서는 물리학적으로 베셀 함수가 사용되는 예를 실었다. 물리학과 학생이면 수리물리학을 통해 급수해를 공부하면서 한 번쯤은 보고 가게 되는 문제들이다.

• 원형막의 진동: 원형막의 끝을 고정시킨 상태에서 고유 진동 모드를 찾는 문제.
• 줄의 길이가 변하는 진자: 단진자 문제와 흡사하나, 줄의 길이가 시간에 따라 변하는 차이점이 있는 문제.
• 원형 무한 퍼텐셜 우물에 갇힌 입자: 양자역학에서 원형 무한 퍼텐셜 우물에 갇힌 입자의 고유 상태의 고유 함수를 결정하는 문제.

5.1.1. 원형막의 진동

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5.1.2. 줄의 길이가 변하는 진자

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줄의 길이가 $$l=l_{0} \pm |v|t$$ ($$l_{0}$$는 $$t=0$$에서의 줄의 길이이고, $$|v|$$는 줄 길이의 변화 속력이다.)이고, 평형 위치로부터 $$\theta$$의 회전각을 갖는 단진자의 물체의 좌표는 아래와 같이 표현할 수 있다.

$$ \displaystyle \begin{aligned} x&=l\cos{\theta} \\ y&=-l\sin{\theta} \end{aligned} $$

이 물체의 퍼텐셜 에너지와 운동 에너지는 각각 아래와 같이 주어진다.

$$ \displaystyle \begin{aligned} U&=-mgl\cos{\theta} \\ T&=\frac{1}{2}m[(\dot{l}\cos{\theta}-l\sin{\theta} \dot{\theta})^{2}+(-\dot{l}\sin{\theta}-l\cos{\theta} \dot{\theta})^{2}] \\&=\frac{1}{2}m (\dot{l}^{2}+l^{2} \dot{\theta}^{2}) \end{aligned} $$

$$l=l_{0} \pm |v|t$$, $$\dot{l}=\pm |v|$$임을 이용하면,

$$ \displaystyle \begin{aligned} U&=-mg(l_{0}+vt)\cos{\theta} \\ T&=\frac{1}{2}m[(\dot{l}\cos{\theta}-l\sin{\theta} \dot{\theta})^{2}+(-\dot{l}\sin{\theta}-l\cos{\theta} \dot{\theta})^{2}] \\&=\frac{1}{2}m (|v|^{2}+(l_{0} \pm |v|t)^{2} \dot{\theta}^{2}) \end{aligned} $$

이상에서 우리가 논하는 진자의 라그랑지안은 다음과 같다.

$$ \displaystyle \mathscr{L}=m\left[ \frac{1}{2}[|v|^{2}+(l_{0}\pm|v|t)^{2} \dot{\theta}^{2}]+(l_{0}\pm |v|t)g \cos{\theta} \right] $$

따라서 $$\theta$$에 대하여 오일러-라그랑주 방정식

$$ \displaystyle \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \theta}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{\theta}} $$

을 통하여 운동 방정식을 구할 수 있다.

$$ \displaystyle \begin{aligned} -(l_{0} \pm |v|t)g \sin{\theta}&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} [(l_{0} \pm |v| t)^{2} \dot{\theta}] \\&=\pm 2(l_{0} \pm |v|t)|v| \dot{\theta}+(l_{0} \pm |v|t)^{2} \ddot{\theta} \end{aligned} $$

미소진동 $$\sin{\theta} \approx \theta$$를 고려하면

$$ \displaystyle l\ddot{\theta} \pm 2|v| \dot{\theta}+g\theta=0 $$

이 된다. 주의해야 할 것은 $$l$$이 $$t$$에 대한 함수이기 때문에 위 방정식을 감쇠 조화 진동자와 비슷한 방정식으로 생각하면 안 된다는 것이다. 즉,

$$ \displaystyle (l_{0} \pm |v|t)\ddot{\theta} \pm 2|v| \dot{\theta}+g\theta=0 $$

이기 때문에 이 방정식을 풀기 위해 다른 방법을 찾아야 한다.
먼저 아래의 연쇄 법칙을 활용한다.

$$ \displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}l}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}l}=\pm |v|\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}l} $$

을 고려하고, 변수를 $$t \to l$$로 교체하고 적절한 함수 치환

$$ \displaystyle \theta(l) = \frac{f(u)}{\sqrt{l}} \qquad \qquad u := \frac{2\sqrt{gl}}{|v|} $$

을 고려하면

$$ \displaystyle \begin{aligned} u^{2} \frac{\mathrm{d}^{2}f}{\mathrm{d}u^{2}}+u \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}u}+(u^{2}-1^{2})f&=0 \end{aligned} $$

으로 바꿀 수 있고, 이는 베셀의 미분 방정식이다. 따라서

$$ \displaystyle \theta(l)=\frac{A'}{\sqrt{l}}J_{1}\left( \frac{2\sqrt{gl}}{|v|} \right)+\frac{B'}{\sqrt{l}}Y_{1}\left( \frac{2\sqrt{gl}}{|v|} \right) $$

을 해로 갖는다. 따라서 해는

$$ \displaystyle \theta(t)=\frac{A'}{\sqrt{l_{0} \pm |v|t}}J_{1}\left( \frac{2\sqrt{g(l_{0} \pm |v|t)}}{|v|} \right)+\frac{B'}{\sqrt{l_{0} \pm |v|t}}Y_{1}\left( \frac{2\sqrt{g(l_{0} \pm |v|t)}}{|v|} \right) $$

의 꼴로 주어지고, $$A'$$, $$B'$$는 초기 조건으로 결정되는 상수이다.
가장 간단한 형태인 $$\theta(0)=\theta_{0}$$, $$\dot\theta(0)=0$$일 때만 알아보도록 하겠다. 쉬운 분석을 위해 변수를 아래와 같이 바꾼다.

$$ \displaystyle \theta(u)=\frac{A}{u}J_{1}(u)+\frac{B}{u}Y_{1}(u) $$

형태로 고칠 수 있다. 이때, $$\theta(t=0)=\theta(u=u_{0})=\theta_{0}$$, $$\dot\theta(t=0)=\dot\theta(u=u_{0})=0$$이고, 다음이 성립한다.

$$ \displaystyle \begin{aligned} \theta_{0}&=\frac{A}{u_{0}}J_{1}(u_{0})+\frac{B}{u_{0}}Y_{1}(u_{0}) \\ 0&=-\left[ \frac{A}{u_{0}}J_{2}(u_{0})+\frac{B}{u_{0}}Y_{2}(u_{0}) \right] \quad \left(u_{0} := \frac{2\sqrt{gl_{0} }}{ |v|} \right) \end{aligned}$$

베셀함수의 미분에는 베셀함수의 미적분 관련 공식을 활용하였다. 위 식을 연립하면,

$$ \displaystyle \begin{aligned} A&=-\frac{\pi u_{0}^{2} \theta_{0}}{2}Y_{2}(u_{0}) \\ B&=-\frac{\pi u_{0}^{2} \theta_{0}}{2}J_{2}(u_{0}) \end{aligned} $$

더욱 간단한 형태의 해를 얻기 위해 $$u_{0}$$에 제약을 건다. $$u_{0}$$가 $$J_{2}(u)$$의 영점이라면, $$B=0$$을 얻고, 해는

$$ \displaystyle \theta(u)=-\frac{\pi u_{0}^{2} \theta_{0}}{2u}Y_{2}(u_{0})J_{1}(u) $$

그런데

$$ \displaystyle J_{1}(u_{0})Y_{2}(u_{0})-J_{2}(u_{0})Y_{1}(u_{0})=-\frac{2}{\pi u_{0}} $$

이 성립하고, 좌변의 제2항은 상쇄[5]되므로

$$ \displaystyle Y_{2}(u_{0})=-\frac{2}{\pi u_{0}J_{1}(u_{0})} $$

[5] $$u_{0}$$를 $$J_{2}(u)$$의 영점이라 놓은 것을 상기하라.

따라서

$$\displaystyle \theta(u)=\frac{u_{0} \theta_{0}}{u J_{1}(u_{0})}J_{1}(u) \, \to \, \theta(l)= \theta_{0}\sqrt{\frac{l_{0}}{l} } \frac{1}{J_{1}(u_{0})} J_{1} \left( u_{0} \sqrt{\frac{l}{l_{0}} }\right) $$

이고, 시간에 따른 각변위는 아래와 같음을 얻는다.

$$ \displaystyle \theta(t)= \theta_{0}\sqrt{\frac{l_{0}}{l_{0} \pm |v|t} } \frac{1}{J_{1}(u_{0})} J_{1} \Biggl(u_{0} \sqrt{\frac{l_{0} \pm |v| t}{l_{0}} }\Biggr) $$

아래는 같은 $$\theta_{0}$$에 대해 $$v>0$$(줄의 길이가 늘어나는 상황)와 $$v<0$$(줄의 길이가 줄어드는 상황)에 대하여 시각에 대한 회전각을 나타낸 그래프이다.(단, 그 외의 조건은 임의대로 설정)

보다시피 다음의 결과를 얻는다.

• $$v>0$$인 경우는 시간이 지남에 따라 회전각의 최댓값은 감소하고, 진동수 또한 작아진다.
• $$v<0$$인 경우는 시간이 지남에 따라 회전각의 최댓값은 증가하고, 진동수 또한 커진다.

참고로 진동수는 인접한 $$\theta(t)$$의 영점 사이의 간격으로 판단할 수 있다.

5.1.3. 원형 무한 퍼텐셜 우물에 갇힌 입자

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다음과 같은 원형 무한 퍼텐셜 우물에 갇힌 입자를 고려하자.

$$ \displaystyle V(\rho)=\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle 0 &\quad (\rho<R)\\ \displaystyle \infty &\quad (\rho>R)\end{array}\right. $$

$$0<\rho<R$$ 영역에 대한 슈뢰딩거 방정식은

$$ \displaystyle -\frac{\hbar^{2}}{2m}\nabla^{2} \psi=E \psi $$

로 표현될 것이며, 분석하기 가장 유용한 극좌표계로 설정하면 다음과 같이 표현된다.

$$ \displaystyle \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}\left(\rho \frac{\partial \psi}{\partial \rho} \right)+\frac{1}{\rho^{2}}\frac{\partial^{2} \psi}{\partial \phi^{2}} +\frac{2mE}{\hbar^{2}}\psi=0 $$

파동함수가 반지름 성분 $$\Rho(\rho)$$와 각도 성분 $$\Phi(\phi)$$의 곱으로 이루어져 있다고 가정하자. $$\psi = \Rho \Phi$$를 위 방정식에 대입하고 $$k^{2} := 2mE/\hbar^{2}$$으로 두고 정리하면 다음과 같다.

$$ \displaystyle \frac{\rho}{\Rho}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\rho}\left(\rho \frac{\mathrm{d}\Rho}{\mathrm{d}\rho} \right)+\frac{1}{\Phi}\frac{\mathrm{d}^{2}\Phi}{\mathrm{d}\phi^{2}}+k^{2} \rho^{2}=0 $$

아래와 같이 두면,

$$ \displaystyle \frac{1}{\Phi}\frac{\mathrm{d}^{2}\Phi}{\mathrm{d}\phi^{2}} := -m^{2} $$

해의 형태는 $$\Phi \propto e^{im\phi}$$가 되고, $$\Phi(\phi)=\Phi(\phi+2n\pi)$$의 조건을 만족시키기 위해 $$m$$은 정수여야 한다. 반지름 성분의 미분방정식은

$$\begin{aligned} \displaystyle \rho\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\rho}\left(\rho \frac{\mathrm{d}\Rho}{\mathrm{d}\rho} \right)+(k^{2}\rho^{2}-m^{2}) \Rho&=0 \\ \displaystyle \rho^{2} \frac{\mathrm{d}^{2}\Rho}{\mathrm{d}\rho^{2}}+\rho \frac{\mathrm{d}\Rho}{\mathrm{d}\rho}+(k^{2}\rho^{2}-m^{2}) \Rho&=0 \end{aligned}$$

이것은 위에서 보았던 베셀 미분방정식이다. 이 방정식의 해는

$$ \displaystyle \rho=\begin{Bmatrix} J_{m}(k \rho)\\ Y_{m}(k \rho) \end{Bmatrix} $$

인데 노이먼 함수는 $$Y_{m}(x \to 0) \to -\infty$$이기에 지금 다루는 물리적 상황과 거리가 머므로 제외해야 하고, 반지름 성분에 해당하는 해는 $$\Rho \propto J_{m}(k \rho)$$를 얻는다.
경계조건으로 $$\psi(\rho=R)=0$$을 만족시켜야 하므로

$$ \displaystyle kR=j_{m,n} $$

를 만족시켜야 한다. 따라서 $$(m,n)$$번째 고유상태의 고유함수는 다음과 같다.

$$ \displaystyle \varphi_{m,n}=A_{m,n} J_{m}\left( \frac{j_{m,n}\rho}{R} \right)e^{im\phi} $$

또한 그 고유상태의 고윳값 즉, 에너지는 다음과 같다.

$$ \displaystyle E_{m,n}=\frac{j_{m,n} \hbar^{2}}{2mR} $$

참고로 상수 $$A_{m,n}$$은 적분

$$ \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R} \varphi^{\ast}_{m,n} \varphi_{m,n} \rho \, \mathrm{d}\rho \mathrm{d}\phi=1 $$

을 이용하면 결정할 수 있는데,

$$ \displaystyle |A_{mn}|^{2} \int_{0}^{2 \pi} \mathrm{d}\phi \int_{0}^{R} \rho J_{m}^{2}\left( \frac{j_{m,n}\rho}{R} \right)\mathrm{d}\rho=\pi |A_{mn}|^{2} J_{m}'^{2}(j_{m,n}) $$

가 된다. 이상에서 규격화된 고유 함수는 다음과 같다.

$$ \displaystyle \varphi_{m,n}=\frac{1}{\sqrt{\pi} |J_{n}'(j_{m,n})|} J_{m} \left( \frac{j_{m,n}\rho}{R} \right)e^{im\phi} $$

아래는 한 예로 $$(n,\,m)=(1,\,2)$$일 때 반지름이 $$R$$인 원형 무한 퍼텐셜 우물에 갇힌 입자의 발견 확률 밀도를 나타낸 것이다. 입자가 발견될 확률은 범례의 $$-$$에 가까울수록 0에, $$+$$에 가까울수록 최댓값에 가까워진다.

6. 관련 문서

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• 수학 관련 정보
• 물리학 관련 정보
• 특수함수
  • 르장드르 함수
  • 에르미트 함수
  • 라게르 함수