벨의 부등식

1. 설명

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1: Bell's Theorem: The Quantum Venn Diagram Paradox
2: Some light quantum mechanics (with minutephysics)
편광을 이용해 벨의 부등식과 그 결론에 대해 간략하게 알아볼 수 있는 영상이므로 아래 설명이 잘 이해가 가지 않는다면 참고하기 좋다.
1964년 존 스튜어트 벨(John Stewart Bell, 1928 – 1990)이 발표한 부등식. 국소적(local) 숨은 변수 이론이 존재한다면 이들의 관측값이 만족해야 할 부등식이다. EPR에서 논의된 내용을 확장해서 연구하는 중에 발견되었다. 원래의 벨의 논문[1]에 따르면 다음과 같다.

$$\left | \bar{P} (a, b) - \bar{P}(a, c) \right | \le 1+ \bar{P}(b, c) +\epsilon +\delta$$

이때 $$\bar{P}$$는 두 특정 사이의 상관함수이고 a, b, 그리고 c는 임의의 측정 세팅을 결정하는 변수이다. 일반적으로, 두 스핀을 가지고 실험할 때는 에서는 스핀의 측정 방향이라고 생각하면 된다.
확률적으로는 다음과 같이 이해 가능하다. 동일한 스핀을 갖도록 설계한 두 개의 전자를 생각하자. 스핀은 3차원 공간의 어떤 방향으로 표현되는데, 예를 들어 Z축 방향으로 스핀을 측정한다고 하면, 어떤 전자의 스핀 방향이 Z축에 대해 위쪽인지 아래쪽인지 알 수 있다. 즉, 스핀 방향과 Z축 방향의 두 벡터의 내적값이 양수인지 음수인지 알 수 있다. (이론적으로 수직 방향에 대해서는 절반의 확률로 위인지 아래인지 임의로 측정된다. 빛의 편광과는 다르다.) 이제, Z축 방향의 스핀 측정 결과를 기준으로 잡고 이를 c라고 하고, Z-X평면상에서 x각도만큼 반시계 방향의 측정결과를 a, 시계방향의 측정결과를 b라고 해보자. 하나의 전자쌍을 측정함으로써 a, b, c 중 두 방향은 동시에 측정가능하고, 이를 반복함으로써 a와 b가 동일하게 측정될 확률을 구할 수 있다. a와 b가 다르게 나올 확률을 $$err(a,b)$$라고 표현하면 위에서 제시한 부등식에서는 $$\bar{P} (a, b) = 2err(a,b)-1$$임을 알 수 있고, 오차항을 무시하면 다음과 같이 표현된다.

$$ err(a,b) \le err(a,c) + err(b,c) $$

EPR의 실재성 가정에 따라, 전자 스핀 방향이 우리의 측정과 관계없이 3차원의 어떤 방향으로 각자 정해져있다고 생각해보자. 실제로 a, b, c를 동시에 측정할 수 있는 방법은 없지만, 상식적으로 a와 b가 다르게 나오는 경우에는 a와 c가 다르게 나오거나 b와 c가 다르게 나왔을 것이다. 따라서 위의 부등식은 숨은 변수 이론하에서 성립한다.
문제는 양자역학 이론에서의 예측이 이 부등식을 어기기 때문에 일어난다. 이론적으로는 각도가 x만큼 차이나는 두 측정 a, c에 대해 $$ \bar{P}(a,c) = cos(x) $$, 즉, 두 측정결과가 일치할 확률은 $$ \frac{1}{2}(1-cos(x)) $$로 주어진다. 따라서

$$ err(a,b) - err(a,c) - err(b,c) = cos(x)-\frac{1}{2}cos(2x)-\frac{1}{2} $$

이고, 이 값은 x가 90도보다 작을 때 항상 양수가 되어 벨의 부등식이 성립하지 않는다. 실제로는 완전하게 얽힌 두 전자를 설정하고 스핀 방향을 정확히 측정하는 것이 실험적으로 불가능하기 때문에, 벨의 부등식을 그대로 실험하는 일은 아주 어렵다.
1969년 존 클라우저(John Clauser) 등이 이를 더욱 일반화한 버전으로 다시 표현하고 벨 부등식을 검증할 실험을 설계했다. 그들의 논문[2]에 따르면 벨의 부등식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$\left | R (a,b) - R(a,c) \right | \le 1+R(b^\prime, b)+R(b^\prime,c)-R_1-R_2\le 0$$

여기서도 a, b, a' 그리고 b'은 측정에 관련된 변수이다. 가장 일반적으로 많이 쓰이는 부등식이다.
베르너와 볼프[3], 그리고 그와 독립적으로 주코브스키와 브루크너[4]는 벨의 부등식을 2개의 검출기 대신 N개의 검출기로 일반화한 다음의 부등식을 유도했다.

$$\displaystyle \left | \sum_{s_{1},...,s_{N}=-1,1} S(s_1,...,s_N) \sum_{k_1,...,k_N=1,2} s_1^{k_1-1}\cdots s_N^{k_N-1}E(k_1,...,k_N)\right | \le 2^N$$

이뿐만 아니라 많은 확장된 벨 부등식이 발견되고 있다. 일반적으로 고전적으로 측정결과를 기술 할 수 있는 분리가능한(separable) 양자상태들은 만족시키지만, 그 외의 양자상태는 깰 수 있는 선형 부등식의 형태를 벨 부등식이라고 한다.
일반적으로 얽혀있는 상태와 비국소적인 상태를 동의어로 쓰는 경우가 많지만, 이는 잘못된 것이다. 비국소적인 상태, 즉 벨 부등식을 어기는 상태는 모두 얽혀 있지만, 얽혀있는 모든 상태가 벨 부등식을 어기는 건 아니기 때문이다. 현대 양자 이론에서 많이 논의되고 있는 문제 중 하나가 이러한 벨 부등식을 깨는 상태와 얽혀있는 상태가 얼마나 다른지 알아보는 것이다. 더 자세하게 알고 싶은 전공자는 RMP 리뷰논문을 참고.

[1] J. S. Bell, ''Physics 1, 195 (1964)''.

[2] J. F. Clauser, M. A. Horne, A. Shimony and R. Holt, ''Phys. Rev. Lett. 23, 880 (1969)''.

[3] R. F. Werner and M. M. Wolf, ''Phys. Rev. A 64, 032112 (2001)''.

[4] M. Zukowski, C. Brukner, ''Phys. Rev. Lett. 88 210401 (2002)''.