불완전 베타 함수

1. 개요

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불완전 베타 함수(Incompete beta function)은 다음 적분을 의미한다.3변수 함수이다.
$$\displaystyle \Beta\left ( a,b,c \right )=\int_{0}^{a}{x}^{b-1}\left ( 1-x \right )^{c-1} \mathrm{d}x$$
베타 함수는 불완전 베타 함수에서 $$\displaystyle a=1$$인 경우이다.

2. 무한급수 표현

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우선 포흐하머 기호에 대해서 알아보자.
이 함수를 무한급수로 표현할 때 등장하는 식은 하강 계승이다.
따라서
$$\displaystyle \left ( a \right )_{b}=\frac{\Gamma\left ( a+b \right )}{\Gamma\left ( a \right )}$$이다.
$$\displaystyle \Beta\left ( a,b,c \right )={a}^{b}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{{a}^{n}\frac{\Gamma\left ( 1-b+n \right )}{\Gamma\left ( 1-b \right )}}{n!\left ( b+n \right )}$$
$$\displaystyle \Beta\left ( a,b,c \right )=\frac{{a}^{b}}{\Gamma\left ( 1-b \right )}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{{a}^{n}\Gamma\left ( n+1-b \right )}{n!\left ( b+n \right )}$$
단 위 식은 a의 절댓값이 1 이하일 때만 수렴하는 것으로 보인다.

3. 활용

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3.1. x^5의 0에서 5까지 곡선의 길이를 다르게 표현하기

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우선 위 함수의 도함수는 의문의 여지 없이 $$\displaystyle 5{x}^{4}$$이다.
따라서 우리는 $$\displaystyle \int_{0}^{5} \sqrt{1+25{x}^{8}}\,\mathrm{d}x$$를 구해줘야 한다.
$$\displaystyle \int_{0}^{5}\sqrt{1+25{x}^{8}}\,\mathrm{d}x$$
$$\displaystyle x={e}^{\frac{-i \pi}{8}}t=g\left ( t \right )$$
$$\displaystyle \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}={e}^{\frac{i \pi}{8}}$$
$$\displaystyle {e}^{\frac{-i \pi}{8}}\int_{0}^{5{e}^{-\frac{i \pi}{8}}}\sqrt{1-25{t}^{8}}\,\mathrm{d}t$$
$$\displaystyle {25}{t}^{8}=z$$
$$\displaystyle {t}^{8}=\frac{z}{25}$$
$$\displaystyle t=\sqrt[8]{\frac{z}{25}}$$
$$\displaystyle \frac{dt}{dz}={8}^{-1}{5}^{-\frac{1}{4}}{t}^{-\frac{7}{8}}$$
$$\displaystyle {8}^{-1}{5}^{-\frac{1}{4}}{e}^{-\frac{i \pi}{8}}\int_{0}^{-25\times{5}^{8}}\left ( 1-t \right )^{\frac{1}{2}}{t}^{-\frac{7}{8}}\,\mathrm{d}t$$
$$\displaystyle {8}^{-1}{5}^{-\frac{1}{4}}{e}^{-\frac{i \pi}{8}}\Beta\left ( -25\times{5}^{8},\frac{1}{8},\frac{3}{2} \right )$$
값은 대략 3125.673 정도이다.