비에타 정리

1. 개요

---

'''비에타 정리'''(Vieta's formula) 체 $$F$$ 위에서 차수 $$n$$의 다항식 $$\displaystyle f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_{1} x + a_0$$ 의 근이 중복을 포함하여 $$\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$$으로 나타난다고 했을 때, 각각의 계수 $$a_k$$는 다음의 식으로 나타낼 수 있다. ($$0 \le k \le n$$) $$\displaystyle (-1)^k \frac{a_{n-k}}{a_n} = \sum_{1 \le i_1 < i_2 < \cdots < i_k \le n} \alpha_{i_1} \cdots \alpha_{i_k}$$ 위 식의 우변은 n개의 수 $$\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$$ 중 서로 다른 $$k$$개를 선택해서 더한 것으로, 보통 '''기본 대칭다항식'''(elementary symmetric polynomial)이라고 하고 $$s_k(\alpha_1, \cdots, \alpha_n)$$으로 표기한다.

비에타 정리의 특별한 경우로 n차방정식의 모든 근의 합은 $$-a_{n-1}/a_n$$, 모든 근의 곱은 $$(-1)^n a_0/a_n$$이 된다.
정리의 증명은 방정식의 인수분해 형태

$$\displaystyle f(x) = \sum_{k=0}^{n} a_k x^k = a_n (x- \alpha_1)(x-\alpha_2) \cdots (x - \alpha_n)$$

에서 양변의 $$x^{n-k}$$의 계수를 비교하면 된다. 우변을 전개했을 때의 곱에서는 $$x$$가 $$(n-k)$$번 선택되어야 하므로 근 $$\alpha_i$$ 중에서 $$k$$개가 선택되고, 이들 중 서로 다른 것을 선택해 곱하므로 대칭다항식이 등장하는 것. 부호 $$(-1)^k$$ 부분은 $$(-\alpha_i)$$들을 $$k$$번 곱하게 되는 과정에서 등장한다. 어떻게 보면 이항정리의 증명과 상당히 유사한 점이 있다. ($$\alpha_1 = \cdots = \alpha_n$$이면 실제로 이항정리가 되기는 한다.)
비에타 정리에서 등장하는 기본 대칭다항식은 대칭다항식 연구에서 매우 중요한 역할을 하는데, 근들에 대한 모든 대칭다항식은 기본 대칭다항식에 대한 다항식으로 나타낼 수 있기 때문이다. 이차방정식의 경우 두 근 $$\alpha, \beta$$에 대한 다항식 중 $$\alpha \leftrightarrow \beta$$ 치환에 대해 동일한 모든 다항식은 $$\alpha+\beta, \alpha \beta$$의 다항식으로 나타낼 수 있다. 이 근과 계수들로 근 $$\alpha_k$$의 $$m$$제곱의 합을 구하는 뉴턴 항등식(Newton's identity) 등의 다양한 공식들도 존재하고, 한편으로는 갈루아 이론을 이러한 대칭다항식 관점에서 생각하는 방법도 있다. 비에타 정리는 이외에도 행렬의 특성다항식 등등 $$n$$차방정식을 다루는 많은 상황에 쓰인다.
[각주]