비탈리 집합

1. 개요

2. 상세

2.1. 증명

1. 개요

비탈리 집합(Vitali set)은 르베그 불가측 집합의 예시이다.

$$E$$를 양의 르베그측도를 갖는 $$\mathbb{R}$$의 임의의 유계 부분집합이라고 하고, $$E$$에 동치관계 $$\sim$$를 아래와 같이 정의하자.

$$x\sim y \iff x-y \in \mathbb{Q}$$

그러면, 선택공리에 의해서, 각 동치류에서 대표 원소를 1개씩 뽑을 수 있다. 이렇게 뽑은 대표 원소들의 집합을 $$V$$라고 하자. 그러면, $$V$$는 르베그 불가측 집합이다.

서로 다른 임의의 $$q_{1},q_{2}\in\mathbb{Q}$$에 대해 $$(V+q_{1})\cap (V+q_{2})=\emptyset$$인 것에 주목하자. $$E$$가 유계이므로,

$$V \subset E \subset [-a,a]$$

인 양수 $$a$$가 존재한다. $$I=[-2a,2a]\cap \mathbb{Q}$$라고 하자. 그러면, 임의의 $$x\in E$$에 대해서, 적당한 유리수 $$q\in I$$가 존재해서, $$x\in V+q$$이 성립한다. 즉,

$$E\subset \displaystyle\bigcup _{q\in I}(V+q)$$.

이제, $$V$$가 르베그 가측집합이라고 가정하면 르베그 측도의 이동불변성에 의하여 $$V+q$$도 가측이고, $$m(V+q)=m(V)$$가 성립하여,

$$m(E)\leq m\left(\displaystyle\bigcup_{q\in I}(V+q)\right)= \displaystyle\sum_{q\in I } m(V+q) =\sum_{n=1}^{\infty}m(V)$$

이다. 그런데, $$\cup_{q\in I}(V+q)$$는 유계이므로, $$0<m(\cup_{q\in I}(V+q))<\infty$$인데, $$\sum_{n=1}^{\infty}m(V)<\infty$$이려면, $$m(V)=0$$이여야 하므로, 모순이다.