사교수

 



1. 개요
2. 성질
3. 사교수 목록


1. 개요

社交数, 群居性數 / sociable Numbers, aliquot cycle
친화수를 일반화한 개념이다. 군거성수(群居性數)라고도 한다.
서로 다른 여러 자연수 $$n_1, n_2, n_3, ... , n_k $$가 있을 때, $$n_1$$의 진약수들의 합이 $$n_2$$이 되고, $$n_2$$의 진약수들의 합이 $$n_3$$이 되고, 이것이 계속되다가 $$n_k$$의 진약수들의 합이 다시 $$n_1$$이 되면, 이 수들을 사교수라고 한다.
일반적으로 주기(k)가 3 이상인 경우에 사교수라고 부르며, k=2인 경우는 친화수이고, k=1인 경우는 완전수가 된다. 다만, 경우에 따라서는 k가 1 이상인 모든 경우(완전수, 친화수 포함)를 다 묶어서 사교수라고 부르기도 한다.

2. 성질

어떤 수 n의 약수 함수(divisor function) $$\sigma\left(n\right)$$는 n의 모든 약수의 합을 나타낸다. Aliquot sum이라고 부르는 함수 s(n)은 'n의 모든 진약수의 합'을 의미한다. 이를 약수 함수로 쓰면 $$s\left(n\right) = \sigma\left(n\right) - n$$이 된다.
Aliquot sequence는 이 Aliquot sum을 반복 계산해서 나오는 수열이다. 그런데, 이 수열이 어떤 주기로 반복될 경우 Aliquot cycle이라고 부른다. 그리고, 이 Aliquot cycle은 정의상 '사교수'와 동일하다. 엄밀하게 따지면 '''Aliquot cycle = { 완전수 } ∪ { 친화수 } ∪ { 사교수 }'''이다.

3. 사교수 목록

2017년 기준으로 주기가 3이상 사교수는 총 5410개가 발견되었다.
보러가기
  • 4, 5, 6, 8, 9, 28의 주기를 가지는 사교수가 확인되었다. 다른 주기가 있는지 여부는 알려지지 않았다.
  • 발견된 사교수의 99%[1]는 4의 주기를 가지고 있다.
  • 가장 작은 수로 시작하는 사교수는 {12496, 14288, 15472, 14536, 14264}이며 유일하게 발견된 5의 주기 사교수이다.
  • 두번째로 작은 수로 시작하는 사교수는 14316으로 시작하고 유일하게 발견된 28의 주기 사교수이다.
  • 805984760으로 시작하는 사교수는 유일하게 발견된 9의 주기 사교수이다.
  • 6의 주기를 가지는 사교수는 5가지, 8의 주기를 가지는 사교수는 2가지 발견되었다. 또한, 5개, 9개, 28개로 이루어진 사교수는 상술하였듯이 각각 1가지씩 발견되었다.
  • 3의 주기를 가지는 사교수는 아직 없으며, 정말로 존재하진 않는지 아닌지도 잘 알려져 있지 않다. 또한 3개의 자연수로 이루어진 사교수가 존재하지 않는다는 명제도 아직 증명이 되지는 않았다. 홀수 완전수의 존재성의 문제와 비슷하게, 사교수는 무한히 많은지, n개의 자연수로 이루어진 사교수가 얼마나 존재할 수 있는지, 아직 발견되지 않은 다른 주기의 자연수로 이루어진 사교수가 존재할 수 있는지와 같은 문제는 아직까지 해결하지 못하고 있다.

[1] 5410개 중 5398개

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