1. 개요
삼각함수의
역도함수(적분)를 설명하는 문서이다.
2. 기본
아래 식에서 $$\mathsf{const.}$$는 적분상수이다.
* $$\displaystyle \int \sin x\, \mathrm{d}x = -\cos x + \mathsf{const.}$$
* $$\displaystyle \int \cos x\, \mathrm{d}x = \sin x + \mathsf{const.}$$
* $$\displaystyle \int \tan x\, \mathrm{d}x = -\ln \left|\cos x\right| + \mathsf{const.} = \ln\left|\sec x\right| + \mathsf{const.}$$
* $$\displaystyle \int \sec x\, \mathrm{d}x = \ln \left|\sec x + \tan x\right| + \mathsf{const.} = \mathrm{igd}\,x + \mathsf{const.}$$
* $$\displaystyle \int \csc x\, \mathrm{d}x = -\ln \left|\csc x + \cot x\right| + \mathsf{const.} = \ln \left|\csc x - \cot x\right| + \mathsf{const.}$$
* $$\displaystyle \int \cot x\, \mathrm{d}x = \ln \left|\sin x\right| + \mathsf{const.}$$
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위 식에서 $$\mathrm{igd}$$는
구데르만 역함수(Inverse Gudermannian function)이다.
참고로, 교과서에서는 삼각함수의 부정적분을
미분 공식을 거꾸로 한 형태만 가르친다. 즉, 사인과 코사인의 적분을 제외하고는 엄밀하게 말하면 교육과정 외의 범위라서 교과서에서는 찾아볼 수 없는 공식들이다. 하지만 나머지 네 개 모두 치환적분을 이용하여 쉽게 증명할 수 있으니
미적분(2015 개정 교육과정)을 공부한다면 한 번 해보자.
기본적인 여섯 개의 삼각함수 적분법은 위와 같지만, 적분에서는 미분에서의
연쇄 법칙과 같은 정리가 존재하지 않기 때문에, 삼각함수를 적분하는 수많은 공식이 존재한다.
3. 거듭제곱꼴
하나의 삼각함수가 여러 번 거듭제곱된 식을 적분하는 공식. 일반적으로 적분 상수는 쓰지 않는데 차수를 낮춘 적분식에 포함된 것으로 간주하기 때문이다.
* $$\displaystyle \int \sin^nx\, \mathrm{d}x = -\frac{\cos x \sin^{n-1}x}n + \frac{n-1}n \int \sin^{n-2}x\, \mathrm{d}x,~n\ge1$$
* $$\displaystyle \int \cos^nx\, \mathrm{d}x = \frac{\sin x \cos^{n-1}x}n + \frac{n-1}n \int \cos^{n-2}x\, \mathrm{d}x,~n\ge1$$
* $$\displaystyle \int \tan^nx\, \mathrm{d}x = \frac{\tan^{n-1}x}{n-1} - \int \tan^{n-2}x\, \mathrm{d}x,~n>1$$
* $$\displaystyle \int \sec^nx\, \mathrm{d}x = \frac{\sin x \sec^{n-1}x}{n-1} + \frac{n-2}{n-1} \int \sec^{n-2}x\, \mathrm{d}x,~n>1$$
* $$\displaystyle \int \csc^nx\, \mathrm{d}x = -\frac{\cos x \csc^{n-1}x}{n-1} + \frac{n-2}{n-1} \int \csc^{n-2}x\, \mathrm{d}x,~n>1$$
* $$\displaystyle \int \cot^nx\, \mathrm{d}x = -\frac{\cot^{n-1}x}{n-1} - \int \cot^{n-2}x\, \mathrm{d}x,~n>1$$
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부분적분 공식을 이용하면 모두 증명 가능한 공식들이다.
사실 이 적분법은 삼각함수가 아니더라도 각종 함수의 거듭제곱 형태를 적분하는 모든 적분법에 적용 가능하며 이를 Reduction Formula라고 한다.
3.1. 거듭제곱근꼴
삼각함수의 $$n$$제곱근 꼴을 적분하는 공식이다. 하지만 이런 꼴을 보기 힘들고, 결과에
초기하함수가 나와서 유용하지 않다.
* $$\displaystyle \int \sqrt[n]{\sin x} \mathrm{d}x = \dfrac{n\sqrt{\cos^2 x}\sec x \sin^{1/n +1} {}_2 F_{1}({\frac{1}{2}, \frac{1}{2} (1+ n^{-1}); \frac{1}{2} (3+n^{-1}); \sin^2 x})}{n+1} +\sf const.$$
* $$\displaystyle \int \sqrt[n]{\sin x} \mathrm{d}x =- \dfrac{n\sqrt{\sin^2 x}\csc x \cos^{1/n +1} {}_2 F_{1}({\frac{1}{2}, \frac{1}{2} (1+ n^{-1}); \frac{1}{2} (3+n^{-1}); \cos^2 x})}{n+1} +\sf const.$$
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사인함수와 코사인함수를 자연수로 거듭제곱한 꼴의 식을 [math(0)]부터 $$\dfrac\pi2$$까지 정적분하는 공식. 계산량을 상당히 줄여준다. 학생들에게 도움이 될…지도? 이 식은
초구#s-2의 초부피를
초구면 좌표계 형식으로 구하는 방법에도 효과적으로 쓰인다. 아래 식에서 $$!!$$은
이중 계승으로서
$$\displaystyle n!! = \prod_{k=0}^{\left\lceil n/2 \right\rceil-1}\left(n-2k\right) = n\left(n-2\right)\left(n-4\right)\cdots$$
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즉 $$n$$부터 $$2$$씩 빼서 $$2$$ 혹은 $$1$$까지 차례로 곱하라는 기호이며, $$\delta$$는
크로네커 델타, $$\left\{\cdot\right\}$$는 톱니파 함수로 바닥함수 $$\left\lfloor\cdot\right\rfloor$$에 대해 $$\left\{x\right\} = x - \left\lfloor x\right\rfloor$$, 즉 $$x$$의 소수 부분만을 취하는 함수이다.
$$\displaystyle \int_0^{\pi/2} \sin^nx\, \mathrm{d}x = \int_0^{\pi/2} \cos^nx\, \mathrm{d}x = \dfrac{(n-1)!!}{n!!}\left(\dfrac\pi2\right)^{\delta_{0, \left\{\frac n2\right\}}}$$
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4. 절댓값 합성함수의 적분
아래 식에서 $$\mathrm{sgn}\,x$$는 $$x$$의
부호#s-1.2를 가져오는
부호 함수(Signum Function)이다.
4.1. 절댓값이 피합성함수인 경우
* $$\displaystyle \int \sin |x|\, \mathrm{d}x = (1- \cos x)\mathrm{sgn}\,x + \mathsf{const.}$$
* $$\displaystyle \int \cos |x|\, \mathrm{d}x = \sin x+ \mathsf{const.}$$
* $$\displaystyle \int \tan |x|\, \mathrm{d}x = (\ln | \sec x |) \mathrm{sgn}\,x + \mathsf{const.}$$
* $$\displaystyle \int \sec |x|\, \mathrm{d}x = \ln | \tan x + \sec x | + \mathsf{const.}$$
* $$\displaystyle \int \csc |x|\, \mathrm{d}x = (\ln | \cot x - \csc x |)\mathrm{sgn}\,x + \mathsf{const.}$$
* $$\displaystyle \int \cot |x|\, \mathrm{d}x = (\ln | \sin x |)\mathrm{sgn}\,x + \mathsf{const.}$$
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4.2. 삼각함수가 피합성함수인 경우
아래 식에서 $$\lfloor \cdot \rfloor$$는
바닥함수이다.
* $$\displaystyle \int \left|\sin x\right| \mathrm{d}x = 2\left\lfloor\frac x\pi\right\rfloor -\cos\left(x - \left\lfloor\frac x\pi \right\rfloor\pi\right) + \mathsf{const.}$$[1] 단순히 부호 함수를 이용해서 -\mathrm{sgn}\left(\sin x\right)\cos x + \mathsf{const.}로 나타낼 수도 있겠으나, 이럴 경우 x=n\pi에서 미분이 불가능하다는 문제가 생긴다(완전히 불가능한 건 아니다. 하지만...). 이는 아래 \left|\cos x\right|의 적분도 마찬가지.
* $$\displaystyle \int \left|\cos x\right| \mathrm{d}x = 2\left\lfloor\frac x\pi + \frac12\right\rfloor + \sin\left(x - \left\lfloor\frac x\pi + \frac12 \right\rfloor\pi\right) + \mathsf{const.}$$
* $$\displaystyle \int \left| \tan x \right| \mathrm{d}x = -(\mathrm{sgn} \circ \tan)(x) \ln \left| \cos x \right| + \mathsf{const.}$$ (단, $$|x| < n \pi - \dfrac{\pi}{2}$$ )
* $$\displaystyle \int \left| \sec x \right| \, \mathrm{d}x = \mathrm{sgn}\left(\sec x\right) \ln \left|\sec x + \tan x\right| + \mathsf{const.}$$
* $$\displaystyle \int \left| \csc x \right| \, \mathrm{d}x = -\mathrm{sgn}\left(\csc x\right) \ln \left|\csc x + \cot x\right| + \mathsf{const.} = \mathrm{sgn}\left(\csc x\right) \ln \left|\csc x - \cot x\right| + \mathsf{const.}$$
* $$\displaystyle \int \left| \cot x \right| \, \mathrm{d}x = \mathrm{sgn}\left(\cot x\right) \ln \left|\sin x\right| + \mathsf{const.}$$ (단, $$|x| < n \pi - \dfrac{\pi}{2}$$ )
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일부 형태는
초등함수로 적분이 불가능하다.
* $$\displaystyle \int \frac{\sin x}x\, \mathrm{d}x = \mathrm{Si}(x) + \mathsf{const.} = \int_0^x \frac{\sin t}t\,\mathrm{d}t + \mathsf{const.}$$
* $$\displaystyle \int \frac{\cos x}x\, \mathrm{d}x = \mathrm{Ci}(x) + \mathsf{const.} = -\int_x^\infty \frac{\cos t}t\,\mathrm{d}t + \mathsf{const.}$$
* $$\displaystyle \int \sin e^x\,\mathrm{d}x = \mathrm{Si}(e^x) + \mathsf{const.}$$
* $$\displaystyle \int \cos e^x\,\mathrm{d}x = \mathrm{Ci}(e^x) + \mathsf{const.}$$
* $$\displaystyle \int \sin x \ln x\,\mathrm{d}x = \mathrm{Ci}(x) - \cos x \ln x + \mathsf{const.}$$
* $$\displaystyle \int \cos x \ln x\,\mathrm{d}x = -\mathrm{Si}(x)+ \sin x \ln x + \mathsf{const.}$$
* $$\displaystyle \int \sin(x^{-1}) = -\mathrm{Ci}(x^{-1}) + x \sin(x^{-1}) + \mathsf{const.}$$
* $$\displaystyle \int \cos(x^{-1}) = \mathrm{Si}(x^{-1}) + x \cos(x^{-1}) + \mathsf{const.}$$
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* $$\displaystyle \int \sin x^2 \, \mathrm{d}x = S(x) + \mathsf{const.} = \int_0^x \sin t^2\,\mathrm{d}t + \mathsf{const.}$$
* $$\displaystyle \int \cos x^2 \, \mathrm{d}x = C(x) + \mathsf{const.} = \int_0^x \cos t^2\,\mathrm{d}t + \mathsf{const.}$$
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프레넬 적분 함수를 $$\sin t^2 ,\, \cos t^2$$의 적분이 아닌 $$\sin^2 \dfrac{\pi}{2} t ,\, \cos^2 \dfrac{\pi}{2} t$$의 적분으로 정의하기도 하는데 이때는 다음과 같다.
* $$\displaystyle \int \sin x^2 \, \mathrm{d}x = \sqrt{\dfrac{\pi}{2}}S\biggl(\sqrt{\dfrac{2}{\pi}}x\biggr) + \mathsf{const.} =\sqrt{\dfrac{\pi}{2}} \int_0^x \sin^2 \sqrt{\dfrac{\pi}{2}} t\,\mathrm{d}t + \mathsf{const.}$$
* $$\displaystyle \int \cos x^2 \, \mathrm{d}x = \sqrt{\dfrac{\pi}{2}}C\biggl(\sqrt{\dfrac{2}{\pi}}x\biggr) + \mathsf{const.} =\sqrt{\dfrac{\pi}{2}} \int_0^x \cos^2 \sqrt{\dfrac{\pi}{2}} t\,\mathrm{d}t + \mathsf{const.}$$
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- $$\displaystyle \int x \tan x\,\mathrm{d}x = \frac i2[\mathrm{Li}_2(-e^{2ix})+x\{x+2i \ln(1+e^{2ix})\}]+ \mathsf{const.}$$
- $$\displaystyle \int x \csc x\,\mathrm{d}x = -2i\,\mathrm{Li}_2(e^{ix}) + \frac i2\mathrm{Li}_2(e^{2ix}) - 2x\,\mathrm{artanh}\,e^{ix} + \mathsf{const.}$$
- $$\displaystyle \int x \sec x\,\mathrm{d}x = i\{\mathrm{Li}_2(-ie^{ix}) - \mathrm{Li}_2(ie^{ix}) - 2x\arctan e^{ix}\} + \mathsf{const.}$$
- $$\displaystyle \int x \cot x\,\mathrm{d}x = x\ln(1-e^{2ix}) - \frac12i\{x^2+\mathrm{Li}_2(e^{2ix})\}+ \mathsf{const.}$$
- $$\displaystyle \int e^x \tan x\,\mathrm{d}x = ie^x{}_2F_1\left(-\frac i2,~1;~1-\frac i2;~-e^{2ix}\right) - \frac{2 + i}5 e^{\left(1+2i\right)x}{}_2F_1\left(1,~1-\frac i2;~2-\frac i2;~-e^{2ix}\right) + \mathsf{const.}$$
- $$\displaystyle \int e^x \csc x\,\mathrm{d}x = -\left(1+i\right) e^{\left(1+i\right)x} {}_2F_1\left(\frac{1-i}2,~1;~\frac{3-i}2;~e^{2ix}\right) + \mathsf{const.}$$
- $$\displaystyle \int e^x \sec x\,\mathrm{d}x = \left(1-i\right) e^{\left(1+i\right)x} {}_2F_1\left(\frac{1-i}2,~1;~\frac{3-i}2;~-e^{2ix}\right) + \mathsf{const.}$$
- $$\displaystyle \int e^x \cot x\,\mathrm{d}x = -ie^x {}_2F_1\left(-\frac i2,~1;~1-\frac i2;~e^{2ix}\right) - \frac{2+i}5 e^{\left(1+2i\right)x} {}_2 F_1\left(1,~1-\frac i2;~2-\frac i2;~e^{2ix}\right) + \mathsf{const.}$$
6. 관련 문서