소원과 기약원의 차이

소수를 정의 할 때 1과 자기 자신만을 약수로 갖는다는 irreducible의 방식으로 정의하는 경우가 많다. 그러나, 소수의 이름에서 알 수 있듯, 소수는 정수환에서의 prime element를 의미한다. 일반적으로, 정역에서 prime이면 irreducible이지만, 그 역은 성립하지 않는다(정수환과 같은 유일 인수분해 환에서는 성립한다) 정역에서는 다음과 같이 소원, 기약원을 정의한다.
소원의 정의는 다음과 같다.
$ p|ab→p|a or p|b $
반면, 기약원의 정의는 다음과 같다.
$ i=ab$이면 $a,b$중 하나는 가역원이다
UFD에서 irreducible이면 prime인 이유는 Euclid's Lemma 때문이다. 반례로는, UFD가 아닌 정역 Z의 $sqrt-5$ 확장에서 3이 있다.