| A가 B에게 아무 자연수를 생각하도록 했다. 그리고 그 수에 2를 더하고, 거기에 2를 곱한다음, 6을 더하고, 2로 나눈다음 처음 생각한 수를 빼도록 했다. 그 다음 A가 맞힌 수는 무엇일까? |
| 간단하게 처음 생각한 수를 x라 하면 2를 더하면 x+2, 2를 곱하면 2x+4, 6을 더하면 2x+10, 2를 나누면 x+5, 처음 생각한 수를 빼면 5가 된다는 사실을 알 수 있다. 중간에 처음 생각한 수를 빼기 때문에 처음 생각한 수와는 결국 관계가 없이 일정한 수가 나오게 된다. 여기서는 가장 간단한 형태의 문제를 예로 들었지만 좀 복잡하게 할 경우 제곱이나 제곱근, 더 나아가 다른 계산기호를 쓰는 문제도 존재한다. 물론 대부분은 특정 숫자로 귀결되는 특징이 있다. |
| A는 이번에 다른 방법을 생각해냈다. 먼저 B에게 이렇게 말했다. "세 자리 자연수를 생각해주세요. 단, 각 자리 수는 모두 달라야 합니다." B는 267을 생각했고, A가 이어서 말했다. "생각하셨으면 그 수를 뒤집으세요. 예를들어 123이면 321처럼요. 그리고 큰 수에서 작은 수를 뺀 다음, 나온 수에서 0이 아닌 수를 하나 지우고 나머지 수를 더해서 저에게 알려주시면 제가 지운 수를 맞춰보겠습니다." B는 267을 뒤집은 762에 뺐고 나온 495에서 5를 지운 다음 13을 알려주었다. 그런데 A는 너무나도 간단히 지운 수가 5임을 알아냈고, 다른 수로 몇 차례 더 했지만 A는 백발백중으로 지운 수를 맞혔다. 어떻게 된 일일까? |
| 처음 생각한 수를 ABC라고 했을 때, 이 수를 수치적으로 나타내면 100A+10B+C가 됨을 알 수 있다. 이 수를 뒤집으면 A+10B+100C가 되고, 여기서 두 수를 빼면 99A-99C 또는 99C-99A가 된다는 사실을 얻는다. 따라서 뒤집은 두 수를 뺀 수는 무조건 9의 배수가 나오므로, 9의 배수의 각 자리수의 합은 9의 배수가 된다는 성질을 이용하여 하나의 수를 지워도 나머지 자리수의 합을 통해 지운 수를 알 수 있다. |
| 이번엔 B가 A를 골탕먹일 방법을 생각했다. 먼저 B는 A에게 1~999까지의 수 중 아무거나 생각하도록 한 뒤, 다음과 같이 말했다. "이번엔 생각한 수에 11을 곱하고 거기에 13을 곱해주세요. 그리고 처음 생각한 수의 자리수만큼 뒤의 자리수를 알려주세요. 예를 들어 나온 수가 12345이고, 처음 생각한 수가 두 자리수면 45를 알려주세요. 제가 처음 생각한 수를 맞춰보겠습니다." A는 583을 생각했으며, 13과 11을 곱해서 나온 83369의 뒤의 세 자리 수 369를 알려주었다. A는 계산한 수의 일부분만 알려줬으니 맞히기 어려울 것이라 생각했으나, B는 잠깐 생각하더니 583이라는 것을 바로 알았다. 어떻게 한 것일까? |
| 배수를 사용해서 같은 수가 나오게 유도하는 것을 이용한 것으로, 7×11×13=1001이 된다는 것을 알면 쉽다. 즉, 아무 세자리 수 abc에 1001을 곱하면 abcabc가 되므로 11과 13을 곱한 수에 7을 곱하면 abc를 알 수 있다는 것을 이용하면 된다. 구체적으로 알려준 수 369에 7을 곱하면 2583이고, 여기의 뒤의 세 자리 수 583이 처음 생각한 수가 된다는 것을 알 수 있다. 이 원리를 응용하여 67이나 667등 다른 수로도 수를 맞추는 데에 응용하는 것이 가능하다. 67은 3을 곱하면 201이 되므로 두 자리 수까지 맞힐 수 있고, 계산에 좀 더 자신이 있는 사람들은 뒤의 수가 11같은 수가 되게 함으로서도 구할 수 있다. |