수열의 귀납적 정의
1. 개요
$$n$$번째 항을 $$n$$보다 작은항들의 관계식으로서 '귀납적(歸納的)'으로 수열(數列)을 정의(定義)하는 것. 수열 자기 자신의 항들로 정의한다고 해서 '재귀적(再歸的) 정의'라고도 한다. 이렇게 나타낸 식을 '''점화식'''이라고 한다.
수열의 귀납적 정의에서는 한 수열의 여러 항이 동시에 등장하는데 수열의 모든 항을 유일하게 결정하려면, 처음 몇 개 항의 값을 밝혀주어야 한다. 예를 들어 수열 $$a_n$$을 $$a_n=a_{n-1}+2$$로 정의하고 싶다면, $$a_1$$에 값을 줘야 모든 항의 값을 결정할수 있다. 반면, $$a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2}$$의 경우에는 $$a_{1}$$과 $$a_{2}$$에 값을 줘야 한다.
점화식으로부터 일반항을 구하는 것은 경우에 따라서 매우 어렵다. 쉽게 말해 미적분학의 상미분방정식 위치에 있다고 보면 되지만, 난이도는 심지어 미분방정식보다 더 어렵다.
2. 점화식을 일반항으로 바꾸기
2.1. 기본
2.1.1. 등차수열
등차수열의 점화식은 $$a_{n+1}=a_n+d$$ 꼴이다. $$n$$에 $$1$$부터 $$n-1$$까지의 자연수를 차례로 대입하면
[math( \begin{aligned}
\cancel{a_2}&=a_1+d \\
\cancel{a_3}&=\cancel{a_2}+d \\
&\quad \; \; \vdots \\
\cancel{a_{n-1}}&=\cancel{a_{n-2}}+d \\+\qquad a_n&=\cancel{a_{n-1}}+d \\
\hline
\therefore a_n&=a_1+(n-1)d
\end{aligned})]
2.1.2. 등비수열
등비수열의 점화식은 $$a_{n+1}=ra_n$$ 꼴이다. $$n$$에 $$1$$부터 $$n-1$$까지의 자연수를 차례로 대입하면
[math( \begin{aligned}
\cancel{a_2}&=ra_{1} \\
\cancel{a_3}&=r\cancel{a_{2}} \\
& \; \; \vdots \\
\cancel{a_{n-1}}&=r\cancel{a_{n-2}} \\\times\qquad a_n&=r\cancel{a_{n-1}} \\
\hline
\therefore a_n&=a_1r^{n-1}
\end{aligned})]
2.2. 심화
2.2.1. 형태 1
$$pa_{n+2}+qa_{n+1}+ra_n=0$$(단, $$p+q+r=0$$)에서 $$a_n$$의 일반항을 도출해 보자.
$$\begin{aligned} pa_{n+2}-pa_{n+1}+ra_n-ra_{n+1}&=0 \\ p(a_{n+2}-a_{n+1})&=r(a_{n+1}-a_n) \\a_{n+2}-a_{n+1}&=\dfrac{r}{p}(a_{n+1}-a_n) \quad (\because q=-(p+r))\end{aligned}$$
이는 수열 $$b_n$$에 대한 귀납적 정의이다. 앞서 알아본 대로 $$b_n$$은 공비가 $$r/p$$인 등비수열이 되며 일반항은
$$b_n=b_1\left(\dfrac{r}{p}\right)^{n-1}=(a_2-a_1)\left(\dfrac{r}{p}\right)^{n-1}$$
[math( \begin{aligned}
b_1&=\cancel{a_2}-a_1 \\
b_2&=\cancel{a_3}-\cancel{a_2} \\
&\quad \; \; \vdots \\
b_{n-2}&=\cancel{a_{n-1}}-\cancel{a_{n-2}}\\+\qquad b_{n-1}&=a_{n}-\cancel{a_{n-1}} \\
\hline
\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} b_k&=a_n-a_1 \quad \to \quad a_n=\sum_{k=1}^{n-1} b_k+a_1
\end{aligned})]
2.2.2. 형태 2
$$a_{n+1}=pa_n+q$$(단, $$p \neq 0$$, $$p \neq 1$$, $$q \neq 0$$)에서 $$a_n$$의 일반항을 도출해 보자. 우선 적당한 $$\alpha$$를 찾아,
의 꼴로 변환한다.
로 놓으면 $$b_{n+1}=pb_n$$이므로 $$b_n$$은 공비가 $$p$$인 등비수열이다. 이에 따라 $$a_n$$의 일반항은
$$\begin{aligned} b_n &=b_1⋅p^{n-1}\\a_n-\alpha&=(a_1-\alpha)p^{n-1}\\ \\ \therefore a_n&=(a_1-\alpha)p^{n-1}+\alpha \end{aligned}$$
2.2.3. 형태 3
$$a_{n+1}={pa_n}/{(qa_n+r)}$$의 일반항을 도출해 보자. 양변에 역수를 취하면
$$\dfrac{1}{a_{n+1}}=\dfrac{qa_n+r}{pa_n} \quad \to \quad \dfrac{1}{a_{n+1}}=\dfrac{q}{p}+\dfrac{r}{p}⋅\dfrac{1}{a_n}$$
이 형태는 $$q\neq 0$$이면 앞서 설명한 $$a_{n+1}=pa_n+q$$(단, $$p \neq 0$$, $$p \neq 1$$, $$q \neq 0$$)와 같으며, $$q=0$$이면 $$b_n$$은 공비가 $$r/p$$인 등비수열이 된다.
3. 일반항을 구하기 어려운 경우
앞서 설명한 것들은 그래도 풀이가 매우 단순하고 정형화된 축에 속하며, 점화식이 교육과정에서는 삭제되었을지언정 고등학생들도 내신과 수능을 위해 공부하면 좋을 내용이다. 그러나 수열을 귀납적으로 정의하는 방법은 얼마든지 다양하며, 그 한없이 다양한 정의에 대하여 정형화된 일반항 도출 방법을 얼른 얻어낼 수가 없기 때문에, 비슷한 특성이 있는 미분방정식과 함께 종종 거론된다.
단적인 예로 피보나치 수열이 있다. 피보나치 수열은 두 개의 $$1$$로 시작하여 앞 두 항을 더하여 새로운 항을 계속 얻어내는 수열이므로 점화식 도출이야 일도 아니다. 그러나 피보나치 수열의 일반항을 구하기란 쉽지 않은데, 상당히 일반항이 복잡하다. 자세한 사항은 피보나치 수열 문서를 참고하라.
그 외에, 완전순열도 점화식까지는 어느 정도 머리를 쓰면 도출해낼 수 있지만 그를 바탕으로 일반항을 구하기란 역시 까다롭다. 완전순열 참고.
[각주]