수학Ⅱ(2007)
1. 개요
2009학년도에 고등학교를 입학한 학생부터 2013학년도에 고등학교를 입학한 학생까지만 적용되는 교과 과정. 2016학년도 대학수학능력시험을 마지막으로 수학 B형에 30 문항 중 7~8 문항이 직접적으로 출제된다.
Ⅰ. 방정식과 부등식
Ⅱ. 삼각함수
Ⅲ. 함수의 극한과 연속
Ⅳ. 미분법
고등학교 2학년에 자연계열 진학자가 배우는 과목이다. 이과의 꽃인 수학 B형에서도 '미분'을 이해하기 위한 과목이라고 보면 된다. 옛날 교육 과정에서는 적분, 이차곡선, 공도·벡(공간도형과 공간벡터)이 포함되었으나 각각 적분과 통계와 기하와 벡터로 이설 되었다. 문과에 비해 전국 퍼센트가 많이 낮아도 같은 대학을 갈 수 있는 원인. 그만큼 수능에서 수학 Ⅱ 이후의 교과목은 어렵게 나오고, 잘하는 사람도 많다. 이과생도 못하는 사람은 A형으로 가기 때문에 응시자도 10만명대 정도로 적다. 비율은 수학 B형[1] 15만, 수학 A형[2] 55만 정도인데 원칙 주의자들은 문과 55만명, 이과 15만명으로 보기도 한다. 사탐/과탐으로 분류하는게 아니다.[3] 참고로 수능에서는 공통수학과 연계돼서 모르면 틀리거나 시간 걸리는 부분이 자주 나오곤 한다. 이과고 상위권을 목표로 한다면 공통수학도 좀 제대로 알 필요가 있다. 예컨대 역함수, 코사인 법칙[4], 부정방정식... 수시의 경우, 논술, 심층면접 등에서 본 단원의 내용들에 대한 증명문제가 나오는 편이다. 보통 미분 쪽에서 많이 나오는 편이다. 물론 본격적으로 해야 할 만큼 깊게 나오는 경우는 없고, 안 나오는 부분은 거의 안 나오니 알아서 공부할 것.[5]
2. 상세
3. 교과 내용
3.1. 방정식과 부등식
수학 Ⅱ에서 가장 쉬운 부분이다. 분수방정식, 무리방정식, 삼차부등식, 고차부등식, 분수부등식 등을 다뤘으며 혹시 이 부분이 이상하게 약하다면, 방정식과 부등식의 문제 푸는 과정에 차이를 알고 있나 스스로 점검해 보자. 그 둘은 풀이 공식이 비슷하나 풀이 방법은 확연히 달라 제대로 안해두면 헷갈릴 수도 있다. 이 부분에서 저 위의 방법도 아니다 하면, 거의 99% '''언어 영역이 달려서 그런 경우'''가 대부분이다. 문제를 이해 못해서 틀리면 상당히 억울한 부분. 무연근을 '''정말 조심해야 한다.''' 다른 단원과 연관된 문제의 경우 문제 풀 거 다 풀었는데 무연근의 존재를 실수로 까먹고 푸는 경우가 다반사. 무연근(無緣根, 방정식의 해처럼 보이지만, 실제로는 해가 아닌 것.)을 찾는 것 부터 시작한다. '''분모가 0이 되거나 근호 안이 음수가 되면 안 된다'''는 당연한 전제를 깔고, 양변을 통분하거나 약분하는 것이 핵심이다. 더 나아가 무리방정식 부분에서 무연근은 주로 '''$${f(x)}=g(x)$$ 꼴로 정리한 후에 $$g(x) \geq 0$$임을 이용해 찾는다.'''[6] $$\sqrt{f(x)}=g(x)$$ 꼴로 정리한 후 양변을 제곱한 후 다시 정리해서 근을 찾은 후 앞에서 찾은 범위를 벗어나는 무연근을 제외하면 된다.(물론 근의 개수가 몇개 안되고 계산이 간단한 경우 근을 모두 원래 식에 대입해서 무연근을 찾아도 된다.) 삼차부등식과 사차부등식에서는 주로 조립제법(인수정리)으로 인수분해한 후, 그래프(부호만 구별할 수 있으면 된다.)를 작도하여 해가 되는 범위를 찾아야 한다. '''조립제법을 다시 공부할 것'''[7] 마지막으로 분수부등식에서는 문자가 2개가 된다. 보통 간단하게 정리가 가능하며, 이후 그래프에서 해가 되는 영역을 찾는 문제가 주류. 각 영역에서 아무 점이나 찍어서 넣어보면 되며, 그래프의 경계 부분 포함여부, 무연근 찾기가 항상 함정으로 나온다. 2012학년도 수능 12번(3점)이 대표적인 예시. 간혹 2013학년도 9월 23번 소금물 문제처럼 실생활 문제가 나와 많은 학생들을 당황하게 할 때도 있다. 여담으로 이 내용은 본 교육과정을 끝으로 없어진다.
3.2. 삼각함수
삼각함수의 덧셈정리에서는 두 각도를 더한 각도의 삼각함수 값을 계산하는 공식, 서로 다른 $$\sin$$함수와 $$\cos$$함수를 합성하는 방법, 여기에서 파생되는 각종 아스트랄한 삼각함수 공식을 배운다. 곱을 합/차로 바꾸는 공식, 합/차를 곱으로 바꾸는 공식은 처음 배울 때 짜증나게 헷갈리고, 특수각의 삼각함수값을 머릿속으로 계산하다 보면 실수도 자주 난다. '''그래도 일단 공식만 제대로 익히면 별거없다.''' '''근데 이거 어렵게 나오면 수2에서 가장 어렵다.'''[8] 여기서 알아야 할 짧고 굵은 팁을 하나 주자면 「'''외우면 어렵다.'''」이다. 삼각함수의 덧셈정리라도 기억난다면, 유도하는 것도 할 만은 하다. 여기서 나오는 모든 공식을 제대로 알고 있지 못하면 앞으로 나오는 삼각함수의 극한, 미분법, 적분과 통계의 적분법에서 개고생하게 된다... 참고로 사인이나 코사인, 탄젠트의 배각, 반각, 합차공식은 모두 삼각함수의 덧셈정리로 증명 될수 있으니 덧셈정리만 기억난다면 매우 쉽게 유도가 가능하다. 회전변환을 안다면 그냥 행렬로 유도해도 된다. 삼각방정식은 '아낰ㅋㅋㅋ 삼각함수만 알면 끝임 ㅋㅋ'라고 하고 문제 풀다간 정신줄이 안드로메다로 갈 경우가 있다. 보통은 $$\sin$$이나 $$\cos$$만으로 나는 쉬운 문제도 있지만, $$\sin$$이나 $$\cos$$의 제곱이나 $$\tan$$의 연속이 나오는 극악의 난이도를 자랑하는 문제도 있다. 게다가 뭐 합 또는 차를 곱으로 바꾸는 공식, 곱을 합 또는 차로 바꾸는 공식, 반각 공식, $$n$$배 공식 등 수십 개의 공식을 다 외워야지 겨우 답이 나오는 방정식. 특히 배각 공식을 모르거나 몇 사분면이냐에 따라 부호가 달라지는 것을 모르면 그냥 끝장나는 형태가 많이 나온다. 특히 답은 다 맞았는데 부호가 틀려 몇 점 짜리를 그냥 깎아먹는 경우가 많다. 삼각부등식은 삼각방정식에서 떨어져 나왔다고 할 수 있을 정도로 비슷하다. 걍 등호대신 부등호 나오는 꼴. 근데 삼각방정식보다 어렵다. 특히 이, 삼차부등식+삼각함수 꼴이나 $$\sin{x}+\sin{3x}+\sin{5x}>0$$ 이런 배각 형태가 많이 나와 억수로 어렵다. 이것도 삼각방정식과 마찬가지로 공식 못 외우면 파탄나는 꼴. 현재는 미적분(2015)로 이동했다.
3.3. 함수의 극한과 연속
이 부분도 쉬운 부분이다. 유형보단 개념이 중요한 부분이다. 수학 Ⅰ에 나왔던 극한 개념을 함수에 적용하는 부분으로 "좌극한 우극한 값이 같으면 극한값 존재라고 부르고, 좌극한 우극한에 해당 지점 함수값까지 같으면 연속한다"라고 부른다. 2009, 2013 수능엔 제법 난이도 있게 출제된 적이 있으니 너무 소홀히 했다간 망하는 수가 있다. 수열의 극한과 살짝 다르고, 연속을 위한 준비과정. 함수의 극한의 정의는 다양한 형태로 외워두도록 한다. 함수의 극한을 이용해서 뻥 뚫린 부분을 메꾸는 문제도 볼 수 있다. 또한, 합성함수를 이용한 극한값과 연속성 검증, 함수의 극한과 도형과의 통합형 문제로 4점짜리 고난도 문제도 나온다. 여기에서 '''무리수 $$e$$와 자연로그 $$\ln$$을 처음 배운다.''' 이어 함수의 연속에서는 함수의 이어짐에 대한 정의를 하는 파트. '중간값의 정리'와 '최대·최소의 정리'라는 사소해 보이지만 심오한 정리와도 관계가 있다. 고등학교 과정에서는 사소하지만 대학 가면 정의부터 크게 피토할 파트.
3.4. 미분법
함수의 극한개념을 바탕으로 다양한 함수의 미분법을 익힌다. 문과의 경우 다항함수의 미분법만 있지만 여기서는 역시 초월함수의 미분까지 다룬다. 역시 별거없지만 계산과정에서 수식이 쓸데없이 복잡해지는 경우가 많다. 가장 쓸만한 내용이라면 이계도함수를 활용한 함수의 개형파악 및 극대/극소/변곡점 구하기. 이전까지는 손도 못 대던 함수의 그래프를 대충이나마 쓱싹 그려 볼 수 있다. 고등학생에게 미분을 활용하는 방법이란 결국 그래프 그리는 것이다.(대학교 수학이나 물리에서는 물론 그 이상...) 처음에는 미분계수와 도함수의 정의를 익히는데, 이 둘의 차이를 정확히 짚고 넘어가자. 특히 평균변화율 → 미분계수 → 도함수로 이어지는 내용은 함수의 연속에서도, 미분계수의 정의 2가지는 바로 쓸 수 있도록 외워두도록 한다. 연속이 함수가 이어진다는 내용이라면, 미분 가능성은 함수의 그래프가 부드럽게 굽어 있다는 내용이다.[9] 여러 가지 함수의 미분법 파트에서는 미적분과 통계 기본과 달리 좀 더 이과용 미분에 들어간다고 보면 된다. 분수함수의 미분법(몫의 미분법), 합성함수의 미분법, 매개변수로 나타내어진 함수의 미분법, 음함수의 미분법, 역함수의 미분법, 삼각함수의 미분법, 지수함수와 로그함수의 미분법을 배운다. 삼각함수단원 뺨때리게 외울 공식이 많다. 그리고 이걸 안 외우면 문제를 절대 풀 수 없다. 그렇지만, 큰 핵심은 분수함수의 미분, 합성함수의 미분, 삼각함수/지수함수/로그함수의 미분이다. 나머지는 까먹어도 이건 기억하자. 특히 합성함수의 미분은 중요하다. 최종적으로 도함수의 활용에 대해 배우는데, 여기서는 미분을 응용하여 접선구하기, 평균값의 정리와 롤의 정리를 이용한 근의 판별, 식을 세운 뒤 증가와 감소, 극대/극소, 변곡점 등을 이용해서 최대/최소 구하기, 변화율 구하기등이 문제로 나온다. 이를 통해 미분 관련 몇 가지 내용을 증명할 수 있는데, 상위권(또는 최상위권?)을 노린다면 해 보는 것도 좋다. 현재는 다항함수가 수학II(2015), 초월함수는 미적분(2015)로 이동했다.
[1] 현 수학 가형[2] 현 수학 나형[3] 즉, 수학 A형 + 과탐 선택자는 문과로, 수학 B형 + 사탐 선택자는 이과로 분류한다는 소리.[4] 이 법칙은 2개를 익히는데, 삼각형을 풀 때(삼각형의 6요소를 구한다는 뜻이다. 삼각형의 6요소는 3변과 3각이다.) 미지수로서 구해야 할 하나를 제외하고 필요한 6요소의 개수는 각각 4개($$a = b\cos{C} + c\cos{B}$$), 3개($$c^2= a^2+b^2-2ab\cos{C}$$)이다. 후자를 보통 쓰곤 하는데, 조건이 하나 적어도 문제를 해결할 수 있기 때문이다. 피타고라스 정리에 $$-2ab\cos{C}$$가 붙었다고 생각하고 외우면 편하다. 피타고라스 정리는 이 법칙의 특수한 형태라 봐도 되며, 벡터의 내적과도 관계가 있다.[5] 오죽하면 학원 강좌들에 공통수학(2009 개정 기준 수학Ⅰ,수학Ⅱ)이 고3용으로 깔리는 것은 다 저것 때문이다.[6] 이전 버전에서 '근호의 안은 [math(0)]보다 크거나 같아야 한다.'를 이용해 무연근을 찾는다고 되어있었는데 잘못된 풀이이고 이렇게 푸는 게 맞다. 무리방정식에서 근호 안을 [math(0)]보다 작게 만드는 무연근은 애초에 존재하지 않는다.[7] 수학)을 참조하자. 당연하지만 조립제법을 하려면 인수분해도 필수[8] 다만 그 공식의 개수를 직접 세어보면 20개... 사인, 코사인, 탄젠트의 덧셈정리와 2배각 공식, 반각 공식, 합 또는 차를 곱으로 바꾸는 공식, 곱을 합 또는 차로 바꾸는 공식까지이다. 삼각함수 합성 공식은 덧셈정리를 쓰면 되고, 3배각 공식은 교과서에서 정식으로 다루고 있지 않기 때문에 제외.[9] 그래프가 부드럽게 이어져있다고 해도 미분불가능한 경우가 예외적으로 존재하긴 하다.) 또한, 미분 가능하면 연속이다.