염주순열

1. 개요

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'''염주순열'''(念珠順列)은 원순열을 그대로 뒤집었을 때 같은 것은 하나로 보는 순열을 말한다. 곧, 회전하는 것뿐 아니라 뒤집어서 나오는 모양까지 모두 같은 것으로 보아 경우의 수를 세는 순열이다. '''목걸이 순열'''이라고도 하는데, 염주, 목걸이, 팔찌 등은 뒤집는다고 하여 그 대상의 본질이 변하지는 않으므로 이러한 이름이 붙었다.

2. 공식

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어떤 원순열을 뒤집으면 '''하나의 새로운 모양'''이 나온다. 다시 말해 원래 모양과 뒤집은 모양이 '''쌍'''을 이룬다. 곧, 뒤집어서 나오는 모양을 모두 같은 것으로 보는 염주순열에서는 '''한 쌍이 한 가지 경우의 수'''가 되므로 경우의 수는 '''원순열의 절반'''이다.

$$n$$개의 서로 다른 구슬로 염주를 만드는 경우의 수는 $$\dfrac{(n-1)!}2\;(n\geq 3)$$이다.

그러나 위 식대로라면 $$n=1$$, $$n=2$$인 경우에는 염주순열의 값이 $$\boldsymbol{1/2}$$이 되어 버리는 이상한 상황이 나온다. 실제로는 한 개 혹은 두 개의 구슬로 염주를 만드는 경우의 수는 $$1$$임을 직관적으로 알 수 있는데, $$1/2$$보다 크거나 같은 정수의 최솟값은 $$1$$이기에 위 식에 최소 정수 함수를 취하면 하나의 예외도 없이 일반화되어 이 문제는 해결된다.

$$n$$개의 서로 다른 구슬로 염주를 만드는 경우의 수는 $$\left\lceil\dfrac{(n-1)!}2\right\rceil$$이다.

3. 예제

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〈교육부 고시 제2015-74호 [별책 8] 수학과 교육과정〉 p. 97에서 '''''염주순열'과 '같은 것이 있는 원순열'은 다루지 않는다.''''로 명시하고 있으나 '간접적으로'는 다루고 있다. 그 대표적인 예는 '정(직)육면체에 숫자 쓰기(색칠하기)'이다. 일부 참고서와 교과서를 제외하면 해당 유형 문제는 거의 보이지 않는다.

3.1. 정육면체에 숫자 쓰기

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'''[문제]''' 정육면체의 각 면에 1, 2, 3, 4, 5를 적어도 한 번 쓰는 경우의 수를 구하시오.

[풀이 보기]

다섯 개의 숫자를 적어도 한 번 쓴다면 어느 한 숫자는 두 번 써야 한다. 그렇다면 1을 두 번 쓰는 경우의 수를 구하고 5배를 하면 된다.
'''[1] 두 밑면에 1을 쓰는 경우'''
위아래로 뒤집어도 같으므로 '''염주순열'''로 간주하면 $${(4-1)!}/2=3$$
'''[2] 인접한 두 면에 1을 쓰는 경우'''
1을 쓴 뒤 2를 쓰는 경우의 수는 1을 쓴 두 면과 '''모서리 하나'''를 공유하는 면에 쓰는 경우와 '''모서리 둘'''을 공유하는 면에 쓰는 경우 '''두 가지'''이다. 각 경우마다 나머지 숫자 3개를 배치하는 경우의 수 $$3!$$이 있으므로 총 $$2\times 3!=12$$
따라서 1을 두 번 쓰는 경우의 수는 $$3+12=15$$이므로 구하는 전체 경우의 수는 $$15\times 5=75$$

따라서 1을 두 번 쓰는 경우의 수는 $$3+12=15$$이므로 구하는 전체 경우의 수는 $$15\times 5=75$$}}}

3.2. 직육면체에 숫자 쓰기

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'''[문제]''' 두 밑면만이 정사각형인 직육면체의 각 면에 1부터 6까지의 숫자를 쓰는 경우의 수를 구하시오.

[풀이 보기]

예를 들어 두 밑면에 1과 2를 쓰고 위아래로 뒤집으면 같으므로 '''염주순열'''이 된다.
따라서 한 밑면 경우의 수 $$\times$$ 다른 밑면 경우의 수 $$\times$$ 옆면 경우의 수(원순열) $$\times 1/2$$
구하는 전체 경우의 수는 $$6\times 5\times(4-1)!\times 1/2=90$$

구하는 전체 경우의 수는 $$6\times 5\times(4-1)!\times 1/2=90$$}}}