1. 개요
'''원주율'''(
圓周率, $$\pi$$)은 '''
원의 지름에 대한
원주(원둘레)의
비율'''을 뜻하며, 그 값은 3.14159...
[1]이다. 원주율을 알고 있다면 원의 둘레의 길이를 구하기 위해 힘들게 줄자를 사용할 필요가 없다. 그냥 지름의 길이를 구해서 지름의 길이에 원주율을 곱하면 된다. 그래서 지름이 $$1\,\rm cm$$인 원의 둘레의 길이는 $$3.1415\cdots\cdots\,\rm cm$$이고 지름이 $$2\,\rm cm$$인 원의 둘레의 길이는 $$6.28\cdots\cdots\,\rm cm$$이다.
그리스 문자 $$\pi$$로 표시하는데, 한국 발음으로는
파이[2] 영어식으로 발음했을 때나 '파이'이지, 원어인 그리스어 발음으로는 '삐'(외래어 표기법으로는 '피')다.
이며, 그리스어로 '둘레'를 뜻하는 페리메트로스(περιμετρος)의 첫 글자 π에서 땄다고 한다. 최초로 원주율을 $$\pi$$로 표기한 사람은
웨일스의 수학자 윌리엄 존스로, 자신의 저서에 $$\pi$$를 사용하였다. 이후
레온하르트 오일러에 의해 대중화되었다.
원주율은 순환하지 않는 무한소수(무리수)이자
초월수이다. 원주율이 무리수라는 것은 고등학교 수준으로도 충분히 이해 가능한 증명이 있다.(아이반 니벤의 증명)
파인만 포인트 등에서 착각할 순 있지만... 그러나 원주율의 수열이 완전한 무작위성을 보이는지는 증명되지 않았다.
3. 상세
수학 교육과정에서 가장 먼저 만나게 되는 무리수다. 보통 초등학교에서는 6학년 때부터 근삿값으로 보통 '''$$3.14$$'''를 사용하며,
[math(3)], $$3.1$$, $$3.14$$, $$\dfrac{22}7$$ 같은 수도 사용하는데 중학교 이후로는 저런 거 없이 그냥 $$\pi$$를 붙이는 것으로 계산 끝. 사실 그냥 $$\pi$$를 쓰는 게 더 편하고 '''정확'''하다.
정수 2개의 비로 표현할 수 없는
무리수이기 때문에 자릿수가 무한하므로 각종 기록들을 양산하기도 한다. 가장 많은 수를 외운 사람이라든가 소수점 새로운 자릿수 계산이라든가 하는 등, 현재 기네스 북에서는 원주율에 관련된 기네스북 기록들이 더러 있다. 그 예로 소수점 이하 수백 자리까지 외우고 다니는 사람이 간혹 있을지도 모른다.
파인만 포인트는 애시당초 리처드 파인만이 자기는 762자리까지'''만''' 외운다면서 나온 수이고, 현재까지 인정된 기네스 공식 세계 기록은 중국인 차오 루의 6만 7890자리.
[4] 최근 EBS의 다큐프라임 넘버스 1부 '하늘의 수 - \pi'에 출현하여 당시 기록을 세웠을 때의 일화를 소개하였다.
일본인 하라구치 아키라의 기록으로는 8만 3431자리까지 외웠다고 하는데 이건 공식적으로 인정된 기록은 아니다.
하지만 실제로 소수점 이하 10자리 이상 쓰는 경우는 거의 없다.
[5] NASA가 우주선의 달 착륙에 관련된 계산을 할 때도 5자리 정도로 충분했고 10자리만 있어도 지구 지름의 오차를 1\,\rm mm이하로 측정할 수 있다.
디지털 시스템에서 무리수를 사용할 방법이 없기 때문이다. 이게 가능하려면 해당 시스템이 무한한 정밀도를 표현할 수 있어야 한다. 실제로 이공계에서는 $$3.14159$$까지 소수점 다섯째 자리까지 사용하는 것이 일반적이다. 천문, 우주항공, 전파 및 무선통신 분야라면 모를까, 일상 생활에서라면 대개 3.14만으로도 충분하다.
3월 14일의 진정한 의미라고 할 수 있겠다. 이 파이의 날을 기념해 진짜 '''
파이'''를 먹는 사람들도 있다. 이 날은 원주율을 기념하기 위한 기념일이다. 파이의 날은 원주율의 근삿값 $$3.14$$을 기준으로 하여 3월 14일에 치러진다. 보통 3.14159에 맞추기 위해 오후 1시 59분에 기념하는데, 오후 1시 59분은 엄밀히 말하면 13시 59분이기 때문에 오전 1시 59분 혹은 15시 9분(오후 3시 9분)에 치러야 한다고 주장하는 사람도 있다. 세계 각국의 수학과에서 기념행사를 연다. 3월 14일은 알베르트 아인슈타인의 생일이자 스티븐 호킹의 기일이기도 하다. 이 날은 여러 방법으로 기념된다. 사람들이 모여서 원주율이 그들의 생활에서 어떤 역할을 했는지 이야기하고 원주율이 없는 세상을 상상해 본다. 모임에서는 흔히들 상상하는 것처럼 보통 파이(pie)를 먹는다. 또한 많은 행사에서 원주율 외우기 대회가 열린다.
매사추세츠 공대(
MIT)의 경우는 매년 합격자 발표일이 3월 14일이다. 그리고
새원주율을 기념하여 6시 28분에 발표한다.
분수 7분의 22가 $$\pi$$의 근삿값이므로 파이 근삿값의 날은 7월 22일이다.
공대에서는 삼각함수와 엮어서 매우 다양하게 사용한다. 특히 전자나 통신 계열에서는 한 학기의 절반은 $$\pi$$와 함께 보낸다. 그리고 대부분의 시간을
자연로그의 밑 [math(e)]와 함께 보낸다. 그러다가,
오일러 공식인 $$e^{ix} = \cos x + i\sin x$$로 인해서 복소수, $$e$$, 삼각함수, 지수함수가 아예 세트로 묶여 다닌다. 예를 들어, 해석학 교재인 PMA에서는 지수함수를 무한급수로 정의한 후 $$ix$$를 대입한 실수/허수부를 각각 $$\cos x$$, $$\sin x$$로 정의하고 $$\cos x$$의 최소 양근의 2배를 $$\pi$$로 정의한다.
원주율 $$\pi$$ (또는 $$\tau$$)와
자연로그의 밑 [math(e)]와 허수단위 $$i$$ 간에는 $$e^{i\pi} + 1 = 0$$ (또는 $$e^{i\tau} = 1$$)의 관계가 성립한다. 이를
오일러 등식이라고 하며, 수학의 아름다움을 극명하게 나타내 주는 식으로 유명하다. 오일러의 공식에 $$x = \pi$$ 또는 $$\tau$$를 대입하면 나오는 결과다. 이를 이용해서 무작정 $$\pi = - i \ln\left(-1\right)$$라고 하는 경우가 많은데, 이는 '''틀린 표현'''이다.
[6] 이게 참이라면 2\pi = -2i\ln\left(-1\right) = -i\left\{\ln\left(-1\right)+\ln\left(-1\right)\right\} = -i\ln\left\{\left(-1\right)\left(-1\right)\right\} = -i\ln 1 = 0, 즉 2\pi = 0이라는 말도 안 되는 식이 나온다! 한편 e^{2\pi i} = 1이므로 2\pi i = \ln1 = 0에서도 유도할 수 있다.
엄밀히는 $$e^{\left(\pi+2n\pi\right)i}=-1$$, 즉 $$e^{i\theta} = -1$$을 만족하는 $$\theta$$가 $$\pi$$ 말고도 $$-\pi$$, $$3\pi$$, ……로 무수히 많아 하나로 특정되지 않기 때문에 복소수 $$z$$의 편각 $$\theta = \arg z$$가 $$-\pi<\arg z\le\pi$$라는 조건을 붙여야 하며
[7] 이를 '주요값(principal value)'이라고 한다.
, 이 조건에서의
복소로그함수 표기 $$\mathrm{Log}$$를 이용하여 $$\pi = -i\mathrm{Log}\,\left(-1\right)$$로 나타내야 한다.
정적분으로도 정의할 수 있다.
아크사인 $$\arcsin$$의 도함수 $$(\arcsin x)' = \dfrac1{\sqrt{1 - x^2}}$$에 대하여 다음이 성립한다.
$$\displaystyle \pi = \int^{1}_{-1} \frac{\mathrm dx}{\sqrt{1-x^2}} = 2 \int^1_0 (\arcsin x)'\mathrm dx$$
4. 원주율의 배수
원주율의 두 배의 값을 갖는 새로운 기준 상수를 정의해야 한다고 주장하는 수학자들이 있다. 자세한 내용은
타우(수학) 문서 참조.
원주율 파이의 정의는 본래 원의 둘레를 구한다는 문제를 해결하기 위해 등장한 것으로, 지름-둘레의 관계를 나타내고 있다. 그런데 지름을 기준으로 하는 이 상수는 반지름을 기준으로 여러 상호작용을 이루는 현대 수학과 과학에 있어 매우 부자연스럽고 불편하다. 때문에 매번 $$2\pi$$를 쓰는 대신, $$2\pi=6.2831\cdots\cdots$$의 값을 갖는 상수를 도입하여 사용하자는 것이다.
[8] 한 미국 물리학자의 파이 반박문, 우리나라 뉴스
실제로
원은 반지름으로 정의되기에 '''반지름 대 원주의 비'''로 정의되는 이 상수가 원주율로서 더 적합하다고 한다. 이들은 기념일도 3월 14일 대신 이의 2배인
6월 28일에 원주율을
기념한다. 그러면 원주의 길이는 $$\tau r$$, 원의 넓이는 $$\dfrac12 \tau r^2$$, 구의 겉면적은 $$2 \tau r^2$$, 구의 부피는 $$\dfrac23 \tau r^3$$이 된다. 매번 두 배를 곱할 필요가 없어지고 식이 깔끔해지는 모습을 볼 수 있다. 여기에서 출발하는 각종 응용 개념과 공식은 더욱 효과가 크게 나타날 것이다.
5. 값
- 원주율 소수점 이하 10000자리 [접기 · 펼치기]
3.
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679
8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196
4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273
7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094
3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912
9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132
0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235
4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859
5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303
5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989
3809525720 1065485863 2788659361 5338182796 8230301952 0353018529 6899577362 2599413891 2497217752 8347913151
5574857242 4541506959 5082953311 6861727855 8890750983 8175463746 4939319255 0604009277 0167113900 9848824012
8583616035 6370766010 4710181942 9555961989 4676783744 9448255379 7747268471 0404753464 6208046684 2590694912
9331367702 8989152104 7521620569 6602405803 8150193511 2533824300 3558764024 7496473263 9141992726 0426992279
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3211653449 8720275596 0236480665 4991198818 3479775356 6369807426 5425278625 5181841757 4672890977 7727938000
8164706001 6145249192 1732172147 7235014144 1973568548 1613611573 5255213347 5741849468 4385233239 0739414333
4547762416 8625189835 6948556209 9219222184 2725502542 5688767179 0494601653 4668049886 2723279178 6085784383
8279679766 8145410095 3883786360 9506800642 2512520511 7392984896 0841284886 2694560424 1965285022 2106611863
0674427862 2039194945 0471237137 8696095636 4371917287 4677646575 7396241389 0865832645 9958133904 7802759009
9465764078 9512694683 9835259570 9825822620 5224894077 2671947826 8482601476 9909026401 3639443745 5305068203
4962524517 4939965143 1429809190 6592509372 2169646151 5709858387 4105978859 5977297549 8930161753 9284681382
6868386894 2774155991 8559252459 5395943104 9972524680 8459872736 4469584865 3836736222 6260991246 0805124388
4390451244 1365497627 8079771569 1435997700 1296160894 4169486855 5848406353 4220722258 2848864815 8456028506
0168427394 5226746767 8895252138 5225499546 6672782398 6456596116 3548862305 7745649803 5593634568 1743241125
1507606947 9451096596 0940252288 7971089314 5669136867 2287489405 6010150330 8617928680 9208747609 1782493858
9009714909 6759852613 6554978189 3129784821 6829989487 2265880485 7564014270 4775551323 7964145152 3746234364
5428584447 9526586782 1051141354 7357395231 1342716610 2135969536 2314429524 8493718711 0145765403 5902799344
0374200731 0578539062 1983874478 0847848968 3321445713 8687519435 0643021845 3191048481 0053706146 8067491927
8191197939 9520614196 6342875444 0643745123 7181921799 9839101591 9561814675 1426912397 4894090718 6494231961
5679452080 9514655022 5231603881 9301420937 6213785595 6638937787 0830390697 9207734672 2182562599 6615014215
0306803844 7734549202 6054146659 2520149744 2850732518 6660021324 3408819071 0486331734 6496514539 0579626856
1005508106 6587969981 6357473638 4052571459 1028970641 4011097120 6280439039 7595156771 5770042033 7869936007
2305587631 7635942187 3125147120 5329281918 2618612586 7321579198 4148488291 6447060957 5270695722 0917567116
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6711136990 8658516398 3150197016 5151168517 1437657618 3515565088 4909989859 9823873455 2833163550 7647918535
8932261854 8963213293 3089857064 2046752590 7091548141 6549859461 6371802709 8199430992 4488957571 2828905923
2332609729 9712084433 5732654893 8239119325 9746366730 5836041428 1388303203 8249037589 8524374417 0291327656
1809377344 4030707469 2112019130 2033038019 7621101100 4492932151 6084244485 9637669838 9522868478 3123552658
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9389713111 7904297828 5647503203 1986915140 2870808599 0480109412 1472213179 4764777262 2414254854 5403321571
8530614228 8137585043 0633217518 2979866223 7172159160 7716692547 4873898665 4949450114 6540628433 6639379003
9769265672 1463853067 3609657120 9180763832 7166416274 8888007869 2560290228 4721040317 2118608204 1900042296
6171196377 9213375751 1495950156 6049631862 9472654736 4252308177 0367515906 7350235072 8354056704 0386743513
6222247715 8915049530 9844489333 0963408780 7693259939 7805419341 4473774418 4263129860 8099888687 4132604721
5695162396 5864573021 6315981931 9516735381 2974167729 4786724229 2465436680 0980676928 2382806899 6400482435
4037014163 1496589794 0924323789 6907069779 4223625082 2168895738 3798623001 5937764716 5122893578 6015881617
5578297352 3344604281 5126272037 3431465319 7777416031 9906655418 7639792933 4419521541 3418994854 4473456738
3162499341 9131814809 2777710386 3877343177 2075456545 3220777092 1201905166 0962804909 2636019759 8828161332
3166636528 6193266863 3606273567 6303544776 2803504507 7723554710 5859548702 7908143562 4014517180 6246436267
9456127531 8134078330 3362542327 8394497538 2437205835 3114771199 2606381334 6776879695 9703098339 1307710987
0408591337 4641442822 7726346594 7047458784 7787201927 7152807317 6790770715 7213444730 6057007334 9243693113
8350493163 1284042512 1925651798 0694113528 0131470130 4781643788 5185290928 5452011658 3934196562 1349143415
9562586586 5570552690 4965209858 0338507224 2648293972 8584783163 0577775606 8887644624 8246857926 0395352773
4803048029 0058760758 2510474709 1643961362 6760449256 2742042083 2085661190 6254543372 1315359584 5068772460
2901618766 7952406163 4252257719 5429162991 9306455377 9914037340 4328752628 8896399587 9475729174 6426357455
2540790914 5135711136 9410911939 3251910760 2082520261 8798531887 7058429725 9167781314 9699009019 2116971737
2784768472 6860849003 3770242429 1651300500 5168323364 3503895170 2989392233 4517220138 1280696501 1784408745
1960121228 5993716231 3017114448 4640903890 6449544400 6198690754 8516026327 5052983491 8740786680 8818338510
2283345085 0486082503 9302133219 7155184306 3545500766 8282949304 1377655279 3975175461 3953984683 3936383047
4611996653 8581538420 5685338621 8672523340 2830871123 2827892125 0771262946 3229563989 8989358211 6745627010
2183564622 0134967151 8819097303 8119800497 3407239610 3685406643 1939509790 1906996395 5245300545 0580685501
9567302292 1913933918 5680344903 9820595510 0226353536 1920419947 4553859381 0234395544 9597783779 0237421617
2711172364 3435439478 2218185286 2408514006 6604433258 8856986705 4315470696 5747458550 3323233421 0730154594
0516553790 6866273337 9958511562 5784322988 2737231989 8757141595 7811196358 3300594087 3068121602 8764962867
4460477464 9159950549 7374256269 0104903778 1986835938 1465741268 0492564879 8556145372 3478673303 9046883834
3634655379 4986419270 5638729317 4872332083 7601123029 9113679386 2708943879 9362016295 1541337142 4892830722
0126901475 4668476535 7616477379 4675200490 7571555278 1965362132 3926406160 1363581559 0742202020 3187277605
2772190055 6148425551 8792530343 5139844253 2234157623 3610642506 3904975008 6562710953 5919465897 5141310348
2276930624 7435363256 9160781547 8181152843 6679570611 0861533150 4452127473 9245449454 2368288606 1340841486
3776700961 2071512491 4043027253 8607648236 3414334623 5189757664 5216413767 9690314950 1910857598 4423919862
9164219399 4907236234 6468441173 9403265918 4044378051 3338945257 4239950829 6591228508 5558215725 0310712570
1266830240 2929525220 1187267675 6220415420 5161841634 8475651699 9811614101 0029960783 8690929160 3028840026
9104140792 8862150784 2451670908 7000699282 1206604183 7180653556 7252532567 5328612910 4248776182 5829765157
9598470356 2226293486 0034158722 9805349896 5022629174 8788202734 2092222453 3985626476 6914905562 8425039127
5771028402 7998066365 8254889264 8802545661 0172967026 6407655904 2909945681 5065265305 3718294127 0336931378
5178609040 7086671149 6558343434 7693385781 7113864558 7367812301 4587687126 6034891390 9562009939 3610310291
6161528813 8437909904 2317473363 9480457593 1493140529 7634757481 1935670911 0137751721 0080315590 2485309066
9203767192 2033229094 3346768514 2214477379 3937517034 4366199104 0337511173 5471918550 4644902636 5512816228
8244625759 1633303910 7225383742 1821408835 0865739177 1509682887 4782656995 9957449066 1758344137 5223970968
3408005355 9849175417 3818839994 4697486762 6551658276 5848358845 3142775687 9002909517 0283529716 3445621296
4043523117 6006651012 4120065975 5851276178 5838292041 9748442360 8007193045 7618932349 2292796501 9875187212
7267507981 2554709589 0455635792 1221033346 6974992356 3025494780 2490114195 2123828153 0911407907 3860251522
7429958180 7247162591 6685451333 1239480494 7079119153 2673430282 4418604142 6363954800 0448002670 4962482017
9289647669 7583183271 3142517029 6923488962 7668440323 2609275249 6035799646 9256504936 8183609003 2380929345
9588970695 3653494060 3402166544 3755890045 6328822505 4525564056 4482465151 8754711962 1844396582 5337543885
6909411303 1509526179 3780029741 2076651479 3942590298 9695946995 5657612186 5619673378 6236256125 2163208628
6922210327 4889218654 3648022967 8070576561 5144632046 9279068212 0738837781 4233562823 6089632080 6822246801
2248261177 1858963814 0918390367 3672220888 3215137556 0037279839 4004152970 0287830766 7094447456 0134556417
2543709069 7939612257 1429894671 5435784687 8861444581 2314593571 9849225284 7160504922 1242470141 2147805734
5510500801 9086996033 0276347870 8108175450 1193071412 2339086639 3833952942 5786905076 4310063835 1983438934
1596131854 3475464955 6978103829 3097164651 4384070070 7360411237 3599843452 2516105070 2705623526 6012764848
3084076118 3013052793 2054274628 6540360367 4532865105 7065874882 2569815793 6789766974 2205750596 8344086973
5020141020 6723585020 0724522563 2651341055 9240190274 2162484391 4035998953 5394590944 0704691209 1409387001
2645600162 3742880210 9276457931 0657922955 2498872758 4610126483 6999892256 9596881592 0560010165 5256375678
| 출처
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이 사이트에서 특정 문자열이 원주율의 몇 번째 자리에서 등장하는지 검색할 수 있다. 2억 번째 자리까지 지원하므로,
파인만 포인트 찾으려고 999999 입력하는 것 정도는 순식간에 처리한다.
앱도 있고,
새 원주율(타우) 버전도 있다.
위의 수에서 뭔가 규칙을 찾아냈다면 높은 확률로 당신의 착각이다. 첫자리 3을 포함하여 359, '''360''', 361번째 수는 각각 '''3, 6, 0'''이고, 몇 십억 혹은 조 자리까지 뒤로 가면 '''0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0'''이 순서대로 나오는 등 흥미로운 숫자 조합이 많이 나오지만 이런 예들은 어디까지나 10진법 '''표기'''에 의해 일어난 현상일 뿐 전혀 수학적인 규칙이 아니다.
[9] 다른 예로, 초월수가 실존함을 보이기 위해 자연수를 일렬로 늘어놓고 앞에 소수점 하나 찍어서 (0.12345678910111213...) 초월수를 만들어내기도 했다.
만약 발견한 것이 '꽤 오래 반복되는' 순환소수 부분이라면 파이를 조금 더 근사치에 가까운 유리수처럼 표기할 방법이 생기므로 '''미미한''' 의미가 있다. 가장 유명한 예로 762번째부터 767번째까지 9가 연달아 나오며, 이 부분을
파인만 포인트라 부른다.
[10] 172,330,850 ~ 172,330,858번째까지 자리엔 0이 연속 8번이나 나오며, 24,658,601 ~ 24,658,609번째 자리엔 '''7이 무려 연속 9번 나온다.''' 이는 전체를 통틀어 가장 처음으로 9번 연속된 숫자다.
의 마지막 장면에선 우주의 창조자가 한 없이 긴 원주율의 소숫점 뒷자리에 숨겨놓은 규칙성과 메시지들을 발견했다.
더 지니어스:그랜드 파이널/5화 메인매치에서 4자리씩 120자리까지 제시되었다.
6. 계산법
원주율의 값을 계산하는 방법도 여러 가지가 있다. 보통 무한급수를 이용하는데, 원주율과 관련된 무한급수 또는 무한곱으로 다음과 같은 것들이 있다.
발견 년도
| 발견자
| 수식
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1593
| 프랑수아 비에트
| $$\dfrac2{\pi}=\dfrac{\sqrt2}2\cdot\dfrac{\sqrt{2+\sqrt2}}2\cdot\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2\cdot\cdots\cdots$$
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1655
| 존 월리스
| $$\displaystyle \frac{\pi}2=\prod_{n=1}^\infty\left(\frac{2n}{2n-1}\cdot\frac{2n}{2n+1}\right) \\ =\frac21\cdot\frac23\cdot\frac43\cdot\frac45\cdot\frac65\cdot\frac67\cdot\cdots\cdots$$
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1671(1674)
| 제임스 그레고리(라이프니츠)[11] 제임스 그리고리는 Madhava of Sangamagrama가 발견한 \displaystyle \arctan x=\sum_{n=0}^\infty\frac{\left(-1\right)^n x^{2n+1}}{2n+1} =x-\frac{x^3}3+\frac{x^5}5-\frac{x^7}7+\frac{x^9}9-\cdots\cdots 꼴의 아크탄젠트 급수를 재발견했는데, 라이프니츠가 여기에 x=1을 대입하여 위 식을 얻었다. 근데 이걸로 근사값 구하기가 좀 거시기한 게 이녀석 수렴 속도가 느려터져서 '''십만''' 개의 항을 계산해야 3.1415\mathbf8\cdots\cdots이 된다.
| $$\displaystyle \frac\pi4=\sum_{n=0}^\infty\frac{\left(-1\right)^n}{2n+1} \\ =1-\frac13+\frac15-\frac17+\frac19-\cdots\cdots$$
|
1706
| 존 마틴
| $$\displaystyle \frac\pi4=4\tan^{-1}\left(\frac15\right)-\tan^{-1}\left(\frac1{239}\right) \\ =\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{4(-1)^{k-1}}{2k-1}\left(\frac15\right)^{2k-1}-\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}\left(\frac1{239}\right)^{2k-1}\right)$$
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1735
| 오일러
| $$\displaystyle \frac{\pi^2}6=\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2} \\ =1+\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\frac1{4^2}+\cdots\cdots$$[13] 바젤 문제라는 빛의 세기에 관한 문제를 해결하면서 우연히 발견. 즉, '''자연수 제곱의 역수들의 합(우변)을 계산하려고 하니 우연치 않게 원주율(좌변)이 나왔던 것.'''
|
|
| $$\displaystyle \frac{\pi^2}8=\sum_{n=0}^\infty\frac1{\left(1+2n\right)^2} \\ =1+\frac1{3^2}+\frac1{5^2}+\frac1{7^2}+\cdots\cdots$$[14] 기하학적인 의미로 따졌을 때 바로 위의 공식보다 더 근본적인 공식으로, 이 식을 이용하여 위의 식을 곧바로 유도 할 수 있다.
|
|
| $$\displaystyle \frac{\pi^2}{12}=\sum_{n=1}^\infty\frac{\left(-1\right)^{n+1}}{n^2} \\ =1-\frac1{2^2}+\frac1{3^2}-\frac1{4^2}+\cdots\cdots$$
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1914
| 스리니바사 라마누잔
| $$\displaystyle \frac1\pi=\frac{2\sqrt2}{99^2} \sum_ {n=0}^\infty \frac{(4n)!}{\left(n!\right)^4}\cdot\frac{26390n+1103}{396^{4n}}$$
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테일러 시리즈를 이용한 기계적인 증명이 아니라, 기하학적인 증명은 다음 영상을 참고.
1의 거듭제곱근에 대한 성질과 인수정리 등을 이용한다.
복소수에 대한 이해가 필요하다.
원의 면적과 복소평면에서의 소수의 규칙성을 이용하여 유도/증명한다.
소수와 복소수에 대한 이해가 필요하다.
우변의 무한급수를 등대에서 나오는 빛의 세기로 비유하여 설명한다. 15:31까지는 $$\dfrac{\pi^2}8$$로 시작하는 6번째 공식을 유도하고, 그 이후로는 이 공식에서 원래 공식을 유도한다.
7. 원주율 근삿값 계산의 역사
몇 가지 외우는 방법이 나와 있지만, 사실 그냥 외우는게 더 빠르기 때문에
기억술이라고 하기는 애매하다. 원주율의 숫자를 이용한 재밌는(?) 장난이라고 보는게 좋을 듯.
원주율을 소수점 아래 열네 자리까지 암기할 수 있는 다음 영어 문장이 가장 유명하다. 각 단어의 철자 수에 주목.
How I want a drink, alcoholic of course after the heavy lectures involving quantum mechanics!
(양자역학을 포함한 어려운 강의 후에는 얼마나 한 잔이 하고 싶은지!)
위 문장의 철자 수를 배열해보면 3.14159 26535 8979가 된다.
오르(A. C. Or)라는 사람이 만든 시도 있다.
Now I, even I, would celebrate
In rhymes unapt, the great
Immortal Syracusan, rivaled nevermore,
Who in his wondrous lore,
Passed on before,
Left men his guidance
How to circles mensurate...
심지어 나 같은 이라도, 서툰 운율로라도,
더 이상 견줄 사람 없을
영원불멸의 시라쿠사인을 찬양하리다.
우리에게 전승되었던
훌륭한 이야기 속에
사람들에게 방법을 남겨 주었지
어떻게 측정을 원[15]
원문의 마지막 줄은 'How to '''mensurate circles'''(어떻게 '''원을 측정'''하는지를)'이 되어야 맞다.
이 역시 철자 수를 환산하면 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279(30자리)이 된다.
과학쟁이라는 과학 잡지는 이러한 문장을 만들었다.
"돌고래가 모직 남방 만들며 아침 산책 도는 동안 럭비나 봐라."
이건 다음과 같이 글자의 초성을 숫자로 바꾼다.
ㄱ
| ㄴ
| ㄷ
| ㄹ
| ㅁ
| ㅂ
| ㅅ
| ㅇ
| ㅈ/ㅊ
|
1
| 2
| 3
| 4
| 5
| 6
| 7
| 8
| 9
|
숫자로 환산하면 3.14159 26535 89793 23846 264(23자리)가 된다.
다행히(?) 원주율의 소수점 32자리 숫자는 0이므로, 각 자릿수를 하나의 단어로 대용하는 규칙을 사용하면서 문장을 32단어 이상으로 확장할 수 없다. 물론 위 한글 버전처럼 0에 대응하는 문자를 배당해 사용하거나, 혹은 10자리 단어를 0으로 계산한다면 가능하다.
9. 유의미한 원주율?
NASA
제트추진연구소의 엔지니어인 Marc Rayman에 따르면, 관측 가능한 우주를 기준으로 원주율을 통해 우주의 둘레를 계산할 때, 약 1nm 수준의 오차 이내로 계산하려면 원주율 '''소숫점 39~40자리까지만''' 계산해도 된다고 한다.
JPL - How many decimals of Pi do we really need? 또한 NASA에서 실제로 로켓, 인공위성 등을 개발할 때 원주율 15자리
[16]만 사용한다고 전하였다.
따라서, 실제 물리학에서 원주율이 사용되는 연산을 할 때 '''대부분의 경우'''에는 20자리 이상의 원주율을 사용하는 것은
거의 의미가 없다고 봐도 무방
[17] 만약 우리가 일상에서 볼 수 있는 구형 물체의 둘레를 구할 때 100자리 쯤 되는 원주율을 사용한다면, 오차 범위는 원자핵 보다도 훨씬 작아지게 된다(..)
할 것이다.
- 원주율을 12진법으로 표시한 후 0부터 B까지 반음 음계를 붙여서 멜로디로 연주하면 이렇게 된다. 조성은 C minor.
- 연애 서큘레이션으로 원주율을 불러보았다[21]
40초 쯤에 '...5105820974944...'가 맞으나 '...51058204944...'라고 나와있다.
- 영어로 부른 노래도 있다[우회필요]
- 일본 가수 KOKIA의 노래인 Clap your hands!에서는 가사 중간에 소수점 아래 100자리까지 나온다. 즉, 이 노래의 가사를 완벽하게 외우려면 파이를 소수점 아래 100자리까지 외워야 한다는 소리. 그것도 일본어로. 비슷한 노래로 테니스의 왕자에 나오는 이누이 사다하루의 캐릭터송 중 $$\pi$$가 있다.
- 디트로이트 메탈 시티의 음수전이라는 노래에선 슴가는 원주율과 같다고 한다. 이런 사상을 갖고 있는 주인공이 나오는 만화도 있다.
- PIE를 거울에 비춰보면 3.14와 비슷한 형태가 된다고 한다.참고
- 셜록 셰린포드는 원주율을 3으로 친다고 한다. 실제로 일본의 초등학교에서는 원주율의 근사값을 3으로 쳤다는 소문이 있었고(실제로는 거짓) 유토리 교육 비판자들이 "유토리 교육 때문에 아이들이 멍청해진다"라고 주장하는 데 써먹은 레퍼토리 중 하나였다.
- 무려 원주율 100만 자리를 적은 책이 있다!
- 오일러는 규칙이 없어보이는 소수를 관찰하면서 소수로만 이뤄진 식을 하나 만들었다. 소수의 제곱을 소수의 제곱에서 1을 뺀 수로 나눈 뒤 끊임없이 곱하는 식으로 정리했더니 파이(원주율)가 나타났다.
- 영화 라이프 오브 파이에서 주인공이 학교에서 이상한 이름을 가졌다는 이유로 피싱(오줌싸다)이라는 별명으로 놀림받자 자신을 다른 이름으로 부르게 하기 위해 원주율을 외워 별명이 파이로 바뀌었다.
- 비밀번호 유출 확인 사이트에 확인해본 결과, 원주율 소숫점 아래 25번째 자리까지 비밀번호로 쓰는 사람이 있다는 게 확인되었다.
- 아동 수학 학습만화에서 빠지지 않고 나오는 것이 바로 이 $$\pi$$의 기원에 대한 농담이다. 앗! 시리즈의 '수학이 또 수군수군'에서도 다음과 같이 나온다.
>수학자 1: 그러면 그것(원주율)을 '3과 조금 더'라고 부릅시다.
>수학자 2: 별로 좋은 이름 같진 않은데요.
>수학자 3: '파이'라고 부르는 게 어떨까요?
>수학자 1,2: 파이요? 왜요?
[22] 원문에서는 Pi? Why?라고 운율이 만들어지는 것도 소소한 포인트.
>수학자 3: (쩝쩝거리며 파이를 먹는다.) 왜라니요? 원도 둥글고
파이도 둥그니까, 파이라고 하면 되지요!
>해설: 대략 이런 과정을 통해 $$\pi$$가 생겨났을 것이다.
원래는
그리스 문자의 '피(π)'를 '파이'라고 발음하는 영어권 나라에서나 먹히는 농담이지만, 한국에서도 π의 발음을 '파이'라고 규정한 관계로 한국에서도 먹히는
개드립이 되었다.
- 한자 兀(우뚝할 올)과 기호가 비슷하다.
- 질량이 $$1\,\rm kg$$인 물체 $$A$$가 마찰이 없는 평면 위에 벽면을 바라보고 정지하여 있을 때, 질량이 $$100^{n-1}\,\rm kg$$인 물체 $$B$$가 벽면과 수직인 방향으로 $$A$$를 향해 일직선으로 다가와 탄성 충돌하면, 물체 $$A$$는 원주율의 정수부와 소수점 이하 $$n$$자리까지의 숫자로 표기되는 정수만큼 충돌한다. 물리엔진 구현 수학적인 증명
물론 위 방법을 실제로 원주율 값을 계산하는 데에는 쓸 수 없다. 고작 원주율 $$20$$자리 구하는데 물체 하나의 질량이 $$1\,\rm kg$$이라면 다른 하나의 물체로 놔 두어야 하는 물체의 질량은 무려 $$\mathbf{10^{38}\, kg}$$으로 이는
우리 은하 중심에 있는 초대질량 블랙홀 질량의 10배와 맞먹는다! $$1\,\rm kg$$의 물체와 충돌해도 미동도 하지 않을 벽과, $$\mathbf{10^{38}\, kg}$$의 물체에 의한 중력을 무시할 수 있는 $$1\,\rm kg$$의 물체가 필요하다. 게다가, 충돌 횟수를 일일이 세어줘야 하기 때문에 20자리 구할 때만 해도 3141경이 넘는 충돌 횟수를 다 세어야 하고, 그것마저도 천천히 충돌하는 것도 아니라 1초에 엄청 많은 충돌을 일으키기 때문에...
[23] 첫 번째 충돌 후 두 번째 충돌까지의 시간을 100초로 두면, 200초 정도가 경과한 시점에서 무려 1초에 5\times10^{35}회 정도의 충돌이 일어난다. 또한, 작은 물체의 속력은 초기 큰 물체 속력의 1000경 배가 되기 때문에, 아무리 큰 물체의 초기 속력이 나노미터 단위여도 나중에는 특수 상대성 이론을 고려해야 할 시기가 온다.
- 매년 3월 14일은 원주율의 날(Pi day)이다. 참고로 3월 14일은 화이트데이이기도 하다.
- 원주율을 천자문을 이용해서 외운 어르신도 있다.
- 원주율의 제곱은 m/s2의 단위로 나타낸 지구 지표면에서 중력가속도의 크기와 상당히 비슷하다. 우연이 아니라 미터법 초기 미터를 진자로 정의하려던 시도의 흔적이다.