유효 핵전하

 

1. 개요
2. 가려막기 효과
2.1. 원인
2.2. Slater's Rule
2.3. 하트리–폭 방법
2.3.1. 역사


1. 개요

유효 핵전하(effective nuclear charge)
전자가 실질적으로 원자핵의 양성자로부터 느낄 수 있는 인력을 의미한다.
단순히 원자핵이 띠고 있는 전하인 핵전하와는 다르게 전자들의 가리움 효과들을 모두 고려하여 원자핵에서 멀어질수록 인력이 약해지는 것을 반영한 것이다.

2. 가려막기 효과

가려막기 효과(screening effect)
다전자원자에서 전자 간의 반발력이 원자핵과 전자의 인력을 부분적으로 상쇄시키는 효과. 침투효과와 더불어 유효핵전하의 결정과 원소의 주기적 성질들의 양상에 큰 역할을 한다.

2.1. 원인

한 개의 전자만을 가진 수소 원자와는 다르게 더 많은 전자를 가진 원자에서 n번째 전자껍질에 위치한 전자는 원자핵과의 인력뿐 만 아니라 첫 번째부터 n번째 전자껍질에 위치한 전자들과 상호작용하여 반발력 또한 받는다. 따라서 바깥쪽 전자들에 작용하는 알짜힘이 매우 작아지고 원자핵에 비해 덜 속박된다. 이런 효과를 침투효과(Penetration Effect)라고 한다.
가리움 효과의 세기는 양자역학에 관련된 효과이기 때문에 정확한 계산이 어렵다.
따라서 다음 식의 근사치로 표현할 수 있다.
Zeff = Z - σ
여기서 는 원자핵에 있는 양성자의 수, 는 계산중인 전자와 원자핵 사이에 존재하는 전자의 평균 개수이다.
는 양자화학과 슈뢰딩거 방정식을 사용하거나 슬레이터 규칙을 사용하는 것이 일반적이다.

2.2. Slater's Rule

슬레이터 규칙
각 전자들이 가리움 상수에 미치는 정도를 근사적으로 계산하고 이를 규칙화한 것
1. 주양자수(n) 값을 오름차순으로 놓고 s와 p 오비탈을 같은 군으로, 그 이후의 오비탈을 각각 하나의 군으로 묶는다.
2. 유효 핵전하를 구하려고 하는 전자가 위치한 군보다 오른쪽 군에 있는 전자는 가리움 효과를 나타내지 않는다.
3. s와 p 오비탈에 대한 규칙
  1. 동일한 군에 있는 전자는 각각 다른 전자에 대하여 가려막기 상수 S값에 대해 0.35씩 기여한다.
  2. 예외 : 1s 오비탈의 전자는 다른 1s전자에 대해 0.3을 기여한다.
b. n-1군에 있는 전자들은 S값에 0.85씩 기여한다.
c. n-2군부터 그 군의 왼쪽에 위치한 전자는 S값에 1씩 기여한다.
4. d와 그 이후 오비탈에 대한 규칙
  1. 동일한 군에 있는 전자는 S값에 대해 0.35씩 기여한다.
b. n-1군부터 그보다 왼쪽에 위치한 모든 전자들은 S값에 1씩 기여한다.
예시) 아연(Zn)원자의 4s오비탈에 있는 전자의 유효핵전하
1. 아연 원자의 전자배치는 1s²2s²2p⁶3s²3p⁶4s²3d¹⁰이므로 각 오비탈을 군으로 묶으면 [1s²][2s²2p⁶][3s²3p⁶][3d¹⁰][4s²]이 된다.
2.[4s²]군에 있는 전자는 다른 전자에게 0.35씩 기여하므로 S에 0.35×1만큼 기여한다.
3.4s의 주양자수는 4이므로 [3s²3p⁶]와 [3d¹⁰] 군에 각각 0.85씩 기여하므로 S에 0.85×18만큼 기여한다.
4.그 외 군 [1s²]와 [2s²2p⁶]에게는 각각 1씩 기여하므로 S에 1×10만큼 기여한다.
5. 따라서 S의 값은 0.35+0.85×18+1×10= 25.65이므로 유효 핵전하량은 30-25.65=4.35이다.

2.3. 하트리–폭 방법

다전자계에서 바닥상태의 파동함수와 에너지를 구하는 방법인 하트리-폭 방법을 계산할 때도 가리움 효과를 이용한다.
하트리-폭 방법(Hartree-Fock Method)
하트리–폭 방법이란 다체 시스템에서 바닥 상태의 파동함수와 에너지를 구하는 근사 방법을 말한다.
슈뢰딩거 방정식을 수학적으로 푸는 것은 어렵기 때문에 변분법, WKB법과 마찬가지로 하트리–폭 방법 등의 근사법들을 이용한다. 하트리–폭 방법은 원자핵과 전자 1개를 고정시킨 후 다른 전자의 궤적의 평균값을 계산하여
슈뢰딩거 방정식을 결정한다. 계산마다 새로운 ψ값을 찾아 여러 개의 V를 대입해보며 슈뢰딩거 방정식을 푼다.
하트리-폭 방법은 다음과 같은 가정이 필요하다.
가정 1. 보른-오펜하이머 근사 – 핵과 전자는 그것들의 질량중심을 중심으로 회전이동을 한다. 그러나 핵의 무게는 전자에 비해 매우 무거우므로 핵은 고정되어있고 전자의 움직임만을 고려하여 파동함수를 설명한다는 것.
가정 2. 비상대론적 근사 – 아인슈타인의 상대성이론을 무시하고 뉴턴역학만을 이용하여 슈뢰딩거 방정식을 설명함.
가정 3. 유한한 수의 기저함수 – 위 식의 과 같이 기저함수로 만들어진 표현이 유한한 개수의 기저함수만을 이용한다고 가정함.
가정 4. 구별 불가능한 전자들 – 관심 전자 이외의 나머지 전자들의 효과를 동등하게 처리하기 위해 전자들이 구별 불가능하다고 가정함.
가정 5. 평균 장 근사 – 고려하는 전자 외에 다른 전자들은 대략적으로 주어진 파동함수를 이용하여 평균을 구하여 퍼텐셜 에너지를 정함.

2.3.1. 역사

하트리가 하트리 방법을 고안하기 이전 물리학자들은 전자의 파동함수를 구하기 위해서는 슈뢰딩거 방정식을 풀어야 했다.
슈뢰딩거 방정식은 수소 등의 일전자계 모형의 전자 파동함수는 정확히 구할 수 있었지만 전자가 2개 이상, 즉 고려할 입자가 3개 이상이 될 때는 해를 구할 수 없었다. 따라서 하트리는 평균 장 근사라는 방법을 고안하여 문제를 해결하도록 노력하였다. 하트리는 평균 장 근사법을 반복하여 사용할 때 퍼텐셜 에너지가 일정한 값에 수렴하게 되면 그 값을 해라고 결장하였다. 이 방법을 하트리는 자체일관성 장 근사법이라고 명명하였다. 이후 존 슬레이터와 블라디미르 폭이 전체 파동함수를 슬레이터 판별식을 이용해 하트리 방법을 개선하였는데 이것이 하트리 – 폭 방법이 된다.

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