전기 변위장/관련 예제

1. 개요

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이 문서에서는 전기 변위장과 관련된 예제를 실었다.

1.1. 예제 1

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'''[문제]''' - 그림과 같이 진공 중 $$ r_{1}<r<r_{2} $$ 영역에 유전율이 $$ \varepsilon $$인 유전 물질이 차있다. 이 영역에 전하 밀도 $$ \alpha r $$로 전하를 대전시켰을 때, $$ r_{1}<r<r_{2} $$ 영역에 대한 전기 변위장 $$ \mathbf{D} $$과 전기장 $$ \mathbf{E} $$, 편극 밀도 $$ \mathbf{P} $$, 속박 전하 밀도를 각각 구하시오.(단, $$ \alpha $$는 상수이며, 유전 물질은 선형적이고 등방적이다.)

[풀이 보기]

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문제가 구형으로 대칭을 가지고, 유전 물질이 선형적이고 등방적이므로 전기장과 변위장은 모두 $$ \hat{\mathbf{r}} $$방향이 된다.
가우스 면을 $$ r(r_{1}<r<r_{2}) $$인 구면으로 잡자. 이때, 자유 전하 밀도 $$ \rho_{f}(r ')=\alpha r' $$이므로, 가우스 면 안에 든 자유 전하

$$ \displaystyle \begin{aligned} Q_{f}&=\int \rho_{f}(r ') \,dV ' \\ &=\int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\pi} \int_{r_{1}}^{r} \alpha r' \cdot {r'}^{2} \sin{\theta '}\, dr' d \theta'd \phi' \\ &=3\alpha (r^{4}-r_{1}^{4})\pi \end{aligned} $$

이다. 가우스 법칙을 적용하면,

$$ \displaystyle \oint \mathbf{D} \cdot d \mathbf{a}=Q_{f} \rightarrow D\cdot 4 \pi r^{2}=3\alpha (r^{4}-r_{1}^{4})\pi $$

가 되어, 구하는 변위장은

$$ \displaystyle \mathbf{D} =\frac{3\alpha }{4}\frac{r^{4}-r_{1}^{4}}{r^2} \hat{\mathbf{r}} $$

이고, 변위장과 전기장의 관계 $$ \displaystyle \mathbf{D} =\varepsilon \mathbf{E} $$를 이용하면, 전기장 또한 결정된다.

$$ \displaystyle \mathbf{E} =\frac{3\alpha }{4 \varepsilon}\frac{r^{4}-r_{1}^{4}}{r^2} \hat{\mathbf{r}} $$

편극 밀도는

$$ \displaystyle \mathbf{P}=\mathbf{D}-\varepsilon_{0} \mathbf{E} $$

이므로

$$ \displaystyle \mathbf{P}=\frac{3\alpha}{4}\left ( 1-\frac{\varepsilon_{0}}{\varepsilon} \right )\left [ \frac{r^{4}-r_{1}^{4}}{r^2} \right ]\hat{\mathbf{r}} $$

가 된다.
마지막으로, 속박 전하 밀도를 구하자. 부피 속박 전하 밀도는

$$ \displaystyle \rho_{P}=-\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{P} $$

으로 주어지므로

$$ \displaystyle \rho_{P}=3\alpha r \left ( \frac{\varepsilon_{0}}{\varepsilon}-1 \right ) $$

이고, 표면 속박 전하 밀도는

$$ \displaystyle \sigma_{P}= \mathbf{P} \cdot \hat{\mathbf{n}} $$

으로 주어지므로

$$ \displaystyle \sigma_{P}(r=r_{1})=\left. \mathbf{P} \cdot (-\hat{\mathbf{r}}) \right|_{r=r_{1}}=0 $$

$$ \displaystyle \sigma_{P}(r=r_{2})=\left. \mathbf{P} \cdot (+\hat{\mathbf{r}}) \right|_{r=r_{2}}=\frac{3\alpha}{4}\left ( 1-\frac{\varepsilon_{0}}{\varepsilon} \right )\left [ \frac{r_{2}^{4}-r_{1}^{4}}{r_{2}^2} \right ] $$

이 된다.
참고로, 본래 유전물질은 중성이었고, 분극이 일어나기 때문에 속박 전하 분포가 생긴다는 점을 상기하면, 총 속박 전하량은 $$ 0 $$이 돼야한다. 이 문제에서 그것을 보이는 것은 적분을 이용하면, 쉽게 보일 수 있다. 더 나아가, 이런 변위장 문제를 풀 때, 검산하는 법 중 하나는 총 속박 전하량이 $$ 0 $$이 되는 것을 확인하는 것이다.

1.2. 예제 2

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'''[문제]''' - 진공 중에 그림과 같이 매우 얇고 넓은 두 금속판이 각각 $$ x=0 $$, $$ x=2d $$에 놓여져있고, 그 사이의 $$ 0<x<d $$에 유전 상수가 $$ \kappa $$인 유전 물질을 채웠다. 한 쪽 금속판은 접지돼있고, 다른 쪽은 퍼텐셜 $$ \Phi=V $$로 유지시킬 때, $$ 0<x<2d $$에 대한 전기 변위장 $$ \mathbf{D} $$과 전기장 $$ \mathbf{E} $$, 편극 밀도 $$ \mathbf{P} $$, 속박 전하 밀도를 각각 구하시오.(단, 유전 물질은 선형적이고 등방적이다.)

[풀이 보기]

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주어진 영역에 대한 자유 전하는 존재하지 않으므로

$$ \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{D}=0 $$

을 만족한다. 금속판이 충분히 크다면, $$ \mathbf{D} $$는 $$ \hat{\mathbf{x}} $$방향이다. 따라서

$$ \displaystyle \frac{\partial D_{x}}{\partial x}=0 $$

을 만족해야 한다. 편의성을 위해 유전 물질 부분에 아래 첨자 $$ 1 $$, 진공 부분에 아래 첨자 $$ 2 $$를 붙이면,

$$ \displaystyle \mathbf{D_{1}}=C_{1} \hat{\mathbf{x}}\,(0<x<d), \,\,\, \mathbf{D_{2}}=C_{2} \hat{\mathbf{x}}\,(d<x<2d) $$

로 쓸 수 있다. $$ C_{1} $$, $$ C_{2} $$는 상수이다. 변위장의 경계에는 자유 전하 밀도가 없으므로 경계 조건

$$ \displaystyle \mathbf{D_{1}} \cdot \hat{\mathbf{x}}=\mathbf{D_{2}} \cdot \hat{\mathbf{x}} $$

에서 $$ C_{1}=C_{2} \equiv C $$임을 알 수 있으므로

$$ \displaystyle \mathbf{D_{1}}=\mathbf{D_{2}}=C \hat{\mathbf{x}} $$

이다. 따라서 전기장은 쉽게 결정된다.

$$ \displaystyle \mathbf{E_{1}}=\frac{C}{\kappa \varepsilon_{0}} \hat{\mathbf{x}}\,(0<x<d), \,\,\, \mathbf{E_{2}}=\frac{C}{\varepsilon_{0}} \hat{\mathbf{x}}\,(d<x<2d) $$

또 하나의 조건으로 도체 판 사이의 전위차가 $$ V $$임을 이용한다.

$$ \displaystyle V=-\int_{0}^{2d} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{x}= -\int_{0}^{d}\frac{C}{\kappa \varepsilon_{0}} \,dx-\int_{d}^{2d}\frac{C}{ \varepsilon_{0}} \,dx $$

이상에서

$$ \displaystyle V=-\frac{Cd}{\varepsilon_{0}}\left(\frac{\kappa+1}{\kappa} \right) \rightarrow C=-\frac{\varepsilon_{0}V}{d}\left(\frac{\kappa}{\kappa+1} \right) $$

이므로 전기 변위장과 전기장은 아래와 같이 결정된다.

$$ \displaystyle \mathbf{D}=-\frac{\varepsilon_{0}V}{d}\left(\frac{\kappa}{\kappa+1} \right) \hat{\mathbf{x}} $$

$$ \displaystyle \mathbf{E}=\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle -\frac{V}{d}\left(\frac{1}{\kappa+1} \right)\hat{\mathbf{x}}\qquad(0<x<d)\\ \\ \displaystyle -\frac{V}{d}\left(\frac{\kappa}{\kappa+1} \right)\hat{\mathbf{x}}\qquad(d<x<2d)\end{array}\right. $$

다음으로 편극 밀도를 구하자. 편극 밀도가 구해지는 것은 유전 물질이 있는 영역($$ 0<x<d $$)이다.

$$ \displaystyle \mathbf{P_{1}}=\mathbf{D_{1}}-\varepsilon_{0} \mathbf{E_{1}} $$

이므로

$$ \displaystyle \mathbf{P_{1}}=-\frac{\varepsilon_{0}V}{d}\left(\frac{\kappa-1}{\kappa+1} \right)\hat{\mathbf{x}} $$

으로 구해진다.
마지막으로 속박 전하 밀도를 구하자. 부피 속박 전하 밀도는

$$ \displaystyle \rho_{P}=-\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{P_{1}} $$

이므로

$$ \displaystyle \rho_{P}=0 $$

또한, 표면 속박 전하 밀도는

$$ \displaystyle \sigma_{P}= \mathbf{P_{1}} \cdot \hat{\mathbf{n}} $$

이므로

$$ \displaystyle \sigma_{P}(x=0)=\left. \mathbf{P_{1}} \cdot (-\hat{\mathbf{x}}) \right|_{x=0}=\frac{\varepsilon_{0}V}{d}\left(\frac{\kappa-1}{\kappa+1} \right) $$

$$ \displaystyle \sigma_{P}(x=d)=\left. \mathbf{P_{1}} \cdot (-\hat{\mathbf{x}}) \right|_{x=d}=-\frac{\varepsilon_{0}V}{d}\left(\frac{\kappa-1}{\kappa+1} \right) $$

가 된다.

'''[추가 문제]''' - 두 금속판 안쪽에 유도된 전하 밀도와 이 축전기의 전기 용량을 각각 구하시오.

변위장의 경계 조건 중

$$ \displaystyle \mathbf{D_{m}} \cdot \hat{\mathbf{n}}- \mathbf{D_{b}} \cdot \hat{\mathbf{n}}={ \sigma_{f} } $$

를 이용하자. 위에서 $$ \displaystyle \mathbf{D_{m}} $$, $$ \displaystyle \mathbf{D_{b}} $$는 각각 금속판 내, 두 금속판 사이의 변위장이다. 그런데, 금속판 내에선 전기장이 존재하지 않음에 따라 $$ \displaystyle \mathbf{D_{m}}=0 $$이 되므로

$$ { \sigma_{f} }=- \mathbf{D_{b}} \cdot \hat{\mathbf{n}} $$

임을 이용하면 된다.
따라서 $$ x=0 $$의 금속판에서

$$ { \sigma_{f} }(x=0)=\left. - \mathbf{D} \cdot (-\hat{\mathbf{x}}) \right|_{x=0} $$

이므로

$$ \displaystyle { \sigma_{f} }(x=0)=-\frac{\varepsilon_{0}V}{d}\left(\frac{\kappa}{\kappa+1} \right) $$

$$ x=2d $$의 금속판에서

$$ { \sigma_{f} }(x=2d)=\left. - \mathbf{D} \cdot (+\hat{\mathbf{x}}) \right|_{x=2d} $$

이므로

$$ \displaystyle { \sigma_{f} }(x=2d)=\frac{\varepsilon_{0}V}{d}\left(\frac{\kappa}{\kappa+1} \right) $$

가 된다.
따라서 금속판의 면적을 $$A$$라 놓는다면, 이 문제 상황에서 축전기에 충전된 전하량은

$$ \displaystyle Q=\frac{\varepsilon_{0}V}{d}\left(\frac{\kappa}{\kappa+1} \right)A $$

임을 알 수 있고, 두 판 사이의 전위차는 $$\Delta \Phi = V$$임을 안다. 따라서 전기 용량의 정의에 따라

$$ \displaystyle \begin{aligned} C & \equiv \frac{Q}{\Delta \Phi } \\ &=\varepsilon_{0} \frac{ A}{d}\left(\frac{\kappa}{\kappa+1} \right) \\&=\left[ \left( \varepsilon_{0} \frac{ A}{d} \right)^{-1}+\left( \kappa \varepsilon_{0} \frac{ A}{d} \right)^{-1} \right]^{-1} \end{aligned} $$

따라서 길이가 $$d$$이고, 진공인 축전기와 유전 상수가 $$\kappa$$인 유전체가 안에 채워진 축전기가 직렬 연결된 상태와 동치인 것을 결과로써 얻는다.

1.3. 예제 3 : 영상법

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위와 같이 반 무한하고, 유전율이 다른 물질이 $$ x=0 $$을 경계로 하여 있고, 전하 하나가 있을 때, 퍼텐셜이 어떻게 분포하는지 알아보자. 단, 편극성 물질은 선형적인 물질이라 가정한다.
$$ \varepsilon_{1} $$의 $$ (-d,\,0,\,0) $$에 전하 $$ q $$가 있다고 해보자. $$ \varepsilon_{1} $$ 입장에서 $$ \varepsilon_{2} $$를 대체할 영상 전하 $$ q ' $$를 $$ (d,\,0,\,0) $$에 놓자.
또, $$ \varepsilon_{2} $$의 입장에서 보면, 전하가 속박 전하에 가로막혀 본래의 전하량이 아닌 다른 전하량으로 관측하게 될 것이다. 이것에 대한 영상 전하를 $$ q\mathbf{''} $$이라 두고, 본래 있던 전하의 위치에 놓자.
이렇게 하면, 점 $$ \textrm{P} $$가 $$ x<0 $$ 영역 즉, $$ \varepsilon_{1} $$에 있을 때,

$$ \displaystyle \Phi_{1}(x, \, y, \, z)= \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{1}} \left[ \frac{q}{r}+\frac{q '}{r'} \right] $$

이고, $$ x>0 $$ 영역 즉, $$ \varepsilon_{2} $$에 있을 때,

$$ \displaystyle \Phi_{2}(x, \, y, \, z) =\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{2}}\frac{q \mathbf{''}}{r} $$

이다. 이때, $$ r=\sqrt{(x+d)^{2}+y^{2}+z^{2}} $$, $$ r '=\sqrt{(x-d)^{2}+y^{2}+z^{2}} $$이다.
경계 조건으로, 경계면($$ x=0 $$)에서 전위는 연속된 값을 가져야 하므로

$$ \displaystyle \Phi_{1}(0, \, y, \, z) =\Phi_{2}(0, \, y, \, z) $$

을 만족해야 한다. 이 조건에서

$$ \displaystyle \frac{q+q'}{\varepsilon_{1}} = \frac{q\mathbf{''}}{\varepsilon_{2}} $$

을 얻는다.
두 번째 경계 조건으로 경계에 자유 전하가 없으므로, 변위장의 수직 성분은 연속이다. 즉,

$$ \displaystyle \varepsilon_{1} \cdot \left. \frac{\partial \Phi_{1}}{\partial x} \right|_{x=0}=\varepsilon_{2} \cdot \left. \frac{\partial \Phi_{2}}{\partial x} \right|_{x=0} $$

이 성립한다. 이 조건에서

$$ \displaystyle q\mathbf{''}=q-q' $$

을 얻는다.
위에서 얻은 두 조건을 연립하면, 두 영상 전하의 값이 결정된다.

$$ \displaystyle q '=-\frac{\varepsilon_{2}-\varepsilon_{1}}{\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}}q, \,\,\, q \mathbf{''}=\frac{2 \varepsilon_{2}}{\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}}q $$

이상에서 구하는 퍼텐셜 분포는

$$ \displaystyle \Phi(x,\,y,\,z)=\left\{ \begin{aligned} &\displaystyle \, \frac{q}{4 \pi \varepsilon_{1}}\left [ \frac{1}{\sqrt{(x+d)^{2}+y^{2}+z^{2} } }-\left ( \frac{\varepsilon_{2}-\varepsilon_{1}}{\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}} \right )\frac{1}{\sqrt{(x-d)^{2}+y^{2}+z^{2} } } \right ] & \quad (x<0) \\ & \displaystyle \frac{1}{4 \pi(\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}) }\frac{2q}{\sqrt{(x+d)^{2}+y^{2}+z^{2} } } & \quad (x>0)\end{aligned}\right. $$

가 된다.

1.4. 예제 4: 유전 물질을 채운 구형 축전기

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'''[문제]''' - 그림과 같이 외경이 $$b$$이고, 내경이 $$a$$인 구형 축전기 안에 각각 반구 형태의 유전 상수가 $$\varepsilon_{1}$$, $$\varepsilon_{2}$$인 유전 물질을 채웠다. 이 축전기에 $$q$$의 전하량을 충전시켰을 때, 다음 물음에 답하시오. '''(a)''' 유전 물질이 있는 곳($$a<r<b$$) 각각의 변위장과 전기장을 각각 구하시오. '''(b)''' 유전 물질에 대한 표면 속박 전하 밀도를 각각 구하시오. '''(c)''' 이 축전기의 전기 용량을 구하시오. (단, $$\mathrm{O}$$는 축전기의 중심이고, 유전 물질은 단순한 물질이다.)

[풀이 보기]

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'''(a)'''
위 그림과 같이 $$z$$축을 두 유전체의 경계면과 수직하게 잡자.
도체 표면 위의 전위는 등전위이기 때문에 이 문제 상황에서 전기 퍼텐셜은 $$\theta$$, $$\phi$$에 의존하지 않고, $$r$$에만 의존한다. 또한 전기장은 퍼텐셜의 음의 그레이디언트이기 때문에 전기장은 $$\hat{\mathbf{r} }$$방향이고, $$r$$에만 의존하게 된다.
$$\varepsilon_{1}$$에서 변위장을 $$\mathbf{D}_{1}=D_{1} \hat{\mathbf{r}}$$, $$\varepsilon_{2}$$에서 변위장을 $$\mathbf{D}_{2}=D_{2} \hat{\mathbf{r}}$$라 놓으며, 반지름 $$r(a<r<b) $$인 구면을 가우스 면이라 잡고, 가우스 법칙을 적용하면,

$$\displaystyle \begin{aligned} (D_{1}+D_{2}) \cdot 2 \pi r^{2} &= q \\ \therefore D_{1}+D_{2}&= \frac{q}{2 \pi r^{2}} \end{aligned} $$

임을 알 수 있다. 전기장이 $$\theta$$에 의존하지 않기 때문에 두 영역에서 전기장은 같아야 한다.

$$\displaystyle \frac{D_{1}}{\varepsilon_{1}}=\frac{D_{2}}{\varepsilon_{2}} $$

이 성립한다. 이에 위 두 식을 연립하면, 변위장은

$$\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{D}_{1}&=\frac{\varepsilon_{1}}{2 \pi(\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2})} \frac{q}{r^{2}} \hat{\mathbf{r}} \\ \mathbf{D}_{2}&=\frac{\varepsilon_{2}}{2 \pi(\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2})} \frac{q}{r^{2}} \hat{\mathbf{r}} \end{aligned} $$

으로 결정되고, 전기장은 두 유전 물질 영역에서

$$\displaystyle \mathbf{E}=\frac{1}{2 \pi(\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2})} \frac{q}{r^{2}} \hat{\mathbf{r}} $$

임을 알 수 있다.
'''(b)'''
속박 전하 밀도와 관련된 것을 알기 위해 편극 밀도를 알아야 한다. $$\varepsilon_{0}\mathbf{E} + \mathbf{P} = \mathbf{D}$$관계로 부터 $$\varepsilon_{i}$$에서의 편극 밀도는 각각

$$\displaystyle \frac{\varepsilon_{i}-\varepsilon_{0}}{2 \pi(\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2})} \frac{q}{r^{2}} \hat{\mathbf{r}} $$

따라서 $$\varepsilon_{1}$$일 때, $$r=a$$에서 표면 속박 전하 밀도는

$$\displaystyle \left. \frac{\varepsilon_{1}-\varepsilon_{0}}{2 \pi(\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2})} \frac{q}{r^{2}} \hat{\mathbf{r}} \cdot (-\hat{\mathbf{r}}) \right|_{r=a} = -\frac{q(\varepsilon_{1}-\varepsilon_{0})}{2 \pi a^{2}(\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2} )} $$

$$r=b$$에서 표면 속박 전하 밀도는

$$\displaystyle \left. \frac{\varepsilon_{1}-\varepsilon_{0}}{2 \pi(\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2})} \frac{q}{r^{2}} \hat{\mathbf{r}} \cdot (+\hat{\mathbf{r}}) \right|_{r=b} = \frac{q(\varepsilon_{1}-\varepsilon_{0})}{2 \pi b^{2}(\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2} )} $$

마찬가지의 방법으로 $$\varepsilon_{2}$$일 때, $$r=a$$에서 표면 속박 전하 밀도는

$$\displaystyle -\frac{q(\varepsilon_{2}-\varepsilon_{0})}{2 \pi a^{2}(\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2} )} $$

이고, $$r=b$$에서 표면 속박 전하 밀도는

$$\displaystyle \frac{q(\varepsilon_{2}-\varepsilon_{0})}{2 \pi b^{2}(\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2} )} $$

임을 얻는다.
'''(c)'''
축전기의 전기 용량 $$C=Q/|\Delta V|$$로 구할 수 있다. 이 축전기에 충전된 전하량 $$Q=q$$이고, $$r=a,\,b$$의 전위차

$$\displaystyle \Delta V=-\int_{r=a}^{r=b} E\,dr $$

임을 이용하면,

$$\displaystyle |\Delta V|=\frac{q}{2 \pi (\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2})} \left( \frac{1}{a}-\frac{1}{b} \right) $$

이므로 이 축전기의 전기 용량은

$$\displaystyle C=2 \pi (\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}) \left( \frac{1}{a}-\frac{1}{b} \right)^{-1} $$

이 된다. $$\langle \varepsilon \rangle=(\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2})/2$$로 놓으면

$$\displaystyle C=4\pi \langle \varepsilon \rangle \left( \frac{1}{a}-\frac{1}{b} \right)^{-1} $$

인데, 이는 해당 문제 상황을 두 유전체의 유전율의 평균값의 유전율을 가지는 유전체를 안에 채운 상황으로 간주할 수 있음을 얻는다.

1.5. 예제 5: 편미분 방정식을 이용하여 원통 축전기의 전기 용량 결정하기

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'''[문제]''' - 외경이 $$a$$이고, 내경이 $$b$$인 원통 축전기 안에 유전율이 $$\varepsilon=\alpha \varepsilon_{0} (\rho-1/\rho)$$인 유전체를 채웠다. 이 축전기의 단위 길이당 전기 용량을 편미분 방정식을 풀어 결정하시오.(단, $$\alpha$$는 양의 상수이다.)

[풀이 보기]

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편미분 방정식을 푸는 영역인 축전기 내부엔 자유 전하가 없다. 따라서 풀어야 하는 편미분 방정식은

$$\displaystyle \varepsilon \nabla^{2} \Phi+\boldsymbol{\nabla} \varepsilon \cdot \boldsymbol{\nabla} \Phi =0 $$

편극성 물질의 유전율이 $$\rho$$에 의존하는 함수임에 유의하여야 한다. 원통 대칭이 있으므로 $$\Phi$$는 $$\rho$$에만 의존할 것으로 기대되므로

$$\displaystyle (\rho^{2}-1) \frac{\partial }{\partial \rho} \left( \rho \frac{\partial \Phi}{\partial \rho} \right)+( \rho^{2}+1 ) \frac{\partial \Phi}{\partial \rho}=0 $$

경계 조건으로 $$\Phi(a)=V$$, $$\Phi(b)=0$$으로 둔다면, 이 방정식의 해는

$$\displaystyle \Phi= \frac{\displaystyle V \ln{\left[ \frac{(1-\rho)(b+1)}{(\rho+1)(1-b)} \right]} }{ \displaystyle \ln{\left[ \frac{(1-a)(b+1)}{(a+1)(1-b)} \right] } } $$

따라서 전기장은

$$\displaystyle \mathbf{E}= - \frac{\displaystyle 2V}{ \displaystyle (\rho^{2}-1) \ln{\left[ \frac{(1-a)(b+1)}{(a+1)(1-b)} \right] } }\hat{\boldsymbol{\rho}} $$

따라서 변위장은

$$\displaystyle \mathbf{D}= - \frac{\displaystyle 2\alpha \varepsilon_{0} V}{ \displaystyle \rho \ln{\left[ \frac{(1-a)(b+1)}{(a+1)(1-b)} \right] } }\hat{\boldsymbol{\rho}} $$

따라서 각 판에 충전된 전하에 대한 표면 전하 밀도는

$$\displaystyle \begin{aligned} \sigma_{f}(a)&= \left. \mathbf{D} \cdot (- \hat{\boldsymbol{\rho}}) \right|_{\rho=a} &=\frac{\displaystyle 2\alpha \varepsilon_{0} V}{ \displaystyle a \ln{\left[ \frac{(1-a)(b+1)}{(a+1)(1-b)} \right] } } \\ \sigma_{f}(b)&= \left. \mathbf{D} \cdot (+ \hat{\boldsymbol{\rho}}) \right|_{\rho=b} &=-\frac{\displaystyle 2\alpha \varepsilon_{0} V}{ \displaystyle b \ln{\left[ \frac{(1-a)(b+1)}{(a+1)(1-b)} \right] } } \end{aligned} $$

따라서 충전기에 충전된 전하는 표면 전하 밀도에 겉면적을 곱하면 되고, 만약 높이가 $$z$$인 영역만 고려한다면, 충전된 전하는

$$\displaystyle \begin{aligned} Q(a)&=\frac{\displaystyle 4 \pi z \alpha \varepsilon_{0} V}{ \displaystyle \ln{\left[ \frac{(1-a)(b+1)}{(a+1)(1-b)} \right] } } \\ Q(b) &=-\frac{\displaystyle 4 \pi z \alpha \varepsilon_{0} V}{ \displaystyle \ln{\left[ \frac{(1-a)(b+1)}{(a+1)(1-b)} \right] } } \end{aligned} $$

이상에서 $$Q(a)=-Q(b) \equiv Q$$로 놓고, 축전기 양 극단의 전위차 $$\Delta \Phi=V$$임을 아므로 단위 길이당 전기 용량은

$$\displaystyle \frac{Q}{z \Delta \Phi}=\frac{\displaystyle 4 \pi \alpha \varepsilon_{0} }{ \displaystyle \ln{\left[ \frac{(1-a)(b+1)}{(a+1)(1-b)} \right] } } $$

으로 구해진다.
'''[다른 풀이: 편미분 방정식을 풀지 않고 구하기]'''
축전기 문제를 다루고 있으므로 축전기에 충전된 전하가 $$Q$$라 가정해보자. 반지름 $$\rho (b<\rho<a)$$이고, 높이 $$z$$, 축이 $$z$$축인 원기둥을 가우스 면으로 하고, 원통 대칭성에 따라 변위장은 $$\hat{\boldsymbol{\rho}}$$방향이므로 물질에서의 가우스 법칙을 적용하여 다음을 얻는다:

$$\displaystyle D \cdot 2\pi \rho z=Q \, \to \,\mathbf{D}=\frac{Q}{2\pi \rho z}\hat{\boldsymbol{\rho}} $$

변위장과 전기장의 관계에 의해

$$\displaystyle \mathbf{E}=\frac{Q}{2\pi \alpha \varepsilon_{0} z} \frac{1}{\rho^{2}-1} \hat{\boldsymbol{\rho}} $$

따라서 축전기 양 극단의 전위차는

$$\displaystyle \begin{aligned} \Delta \Phi&=-\frac{Q}{2\pi \alpha \varepsilon_{0} z} \int_{b}^{a} \frac{1}{\rho^{2}-1} \, d \rho \\ &=\frac{Q}{4\pi \alpha \varepsilon_{0} z} \ln{\left[ \frac{(1-a)(b+1)}{(a+1)(1-b)} \right]} \end{aligned} $$

따라서 구하는 단위 길이 당 전기 용량은

$$\displaystyle \frac{Q}{z | \Delta \Phi |}=\frac{\displaystyle 4 \pi \alpha \varepsilon_{0} }{ \displaystyle \ln{\left[ \frac{(1-a)(b+1)}{(a+1)(1-b)} \right] } } $$

로, 편미분 방정식을 풀어 얻은 것과 같은 결과를 얻는다.

1.6. 예제 6: 편미분 방정식을 이용하여 유전체를 채운 구형 축전기 분석

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'''[문제]''' - 내경과 외경이 각각 $$a$$, $$b$$이고, 내부에 유전율이 $$\varepsilon(\theta)=\varepsilon_{0} e^{\theta}$$인 등방적인 유전체를 채운 구형 축전기가 있다. 이 축전기에 $$Q$$의 전하를 충전시켰을 때, '''(a)''' $$a<r<b$$ 영역의 전기장, 전기 변위장, 편극 밀도를 결정하시오. '''(b)''' 속박 전하 밀도를 구하시오. '''(c)''' 이 축전기의 전기 용량을 구하시오.

[풀이 보기]

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'''(a)'''
도체의 표면은 등전위를 이루므로 문제 상황의 퍼텐셜은 $$\theta$$, $$\phi$$에 의존하지 않고, $$r$$에만 의존한다. 전기장은 퍼텐셜 $$\Phi(r)$$의 음의 그레이디언트이므로 전기장은 곧 $$\hat{\mathbf{r}}$$방향이고, $$r$$에만 의존한다.
다루는 영역 내부에 자유 전하는 존재하지 않으므로 예제 5와 같이 아래의 편미분 방정식

$$\displaystyle \varepsilon(\theta) \nabla^{2} \Phi(r)+\boldsymbol{\nabla} \varepsilon(\theta) \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla} \Phi(r)=0 $$

을 고려한다. 좌변의 제 2항은 0이므로 해당 방정식은

$$\displaystyle \frac{d}{dr}\left[r^{2} \frac{d \Phi(r)}{dr} \right] =0 $$

으로 정리되고, 해는 아래와 같다.

$$\displaystyle \Phi(r)=\dfrac{A}{r}+B $$

$$A$$, $$B$$는 상수이고, 퍼텐셜 특성 상 상수항 $$B= 0$$으로 잡아도 무관하다. 전기장과 퍼텐셜의 관계 $$\mathbf{E}=-\boldsymbol{\nabla} \Phi$$를 이용하면 아래를 구할 수 있다.

$$\displaystyle \mathbf{E}=\frac{A}{r^{2} } \hat{\mathbf{r}} $$

또한, 전기 변위장과 전기장의 관계 $$\mathbf{D}= \varepsilon \mathbf{E}$$에서

$$\displaystyle \mathbf{D}=\frac{A \varepsilon_{0} e^{\theta} }{r^{2}} \hat{\mathbf{r}} $$

편극 밀도 $$\mathbf{P}=\mathbf{D}-\varepsilon_{0} \mathbf{E}$$로부터

$$\displaystyle \mathbf{P}=\frac{A \varepsilon_{0}(e^{\theta}-1) }{r^{2} } \hat{\mathbf{r}} $$

한편, 중심이 구형 축전기 중심과 같고, 반지름이 $$a<r< b$$인 가우스 면을 잡아 물질에서의 가우스 법칙을 사용하면,

$$\displaystyle \begin{aligned} \oiint \mathbf{D} \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{a}&= \oiint_{\Omega} \biggl( \frac{A \varepsilon_{0}e^{\theta} }{r^{2}} \hat{\mathbf{r}} \biggr) \boldsymbol{\cdot} \biggl( \hat{\mathbf{r}} r^{2}\sin{\theta} \,d\theta d\phi \biggr) \\ &=A \varepsilon_{0} \int_{0}^{\pi} e^{\theta} \sin{\theta}\,d\theta \int_{0}^{2 \pi} d \phi \\ &=A \varepsilon_{0} \pi (1+e^{\pi}) \end{aligned} $$

$$\oiint_{\Omega}$$는 전체 입체각 대한 적분임을 의미하고, 전기 변위장의 폐곡면에 대한 선속은 자유 전하와 동일해야 하므로

$$\displaystyle A \varepsilon_{0}\pi (1+e^{\pi})=Q \;\to\; A=\frac{Q}{\varepsilon_{0} \pi (1+e^{\pi})} $$

이상의 결과를 정리하면 아래와 같다.

$$\displaystyle \begin{aligned}\mathbf{E}&=\frac{ Q }{\varepsilon_{0} \pi (1+e^{\pi})} \frac{1}{r^{2}} \hat{\mathbf{r}} \\ \mathbf{D}&=\frac{Qe^{\theta} }{\pi (1+e^{\pi})} \frac{1}{r^{2}} \hat{\mathbf{r}} \\ \mathbf{P}&=\frac{Q (e^{\theta}-1)}{\pi (1+e^{\pi})} \frac{1}{r^{2}} \hat{\mathbf{r}} \end{aligned} $$

'''(b)'''
부피 속박 전하 밀도는 편극 밀도의 음의 발산

$$\rho_{P}=-\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{P}=0$$

로 구할 수 있고, 각 극판의 표면 속박 전하 밀도는 편극 밀도와 유전체 경계면 표면의 법선 벡터의 내적 $$\mathbf{P} \boldsymbol{\cdot} \hat{\mathbf{n}}$$으로 구할 수 있다. 즉,

$$\displaystyle \begin{aligned} \sigma_{P}(r=a)&= \biggl. \frac{Q (e^{\theta}-1)}{\pi (1+e^{\pi})} \frac{1}{r^{2}} \hat{\mathbf{r}} \boldsymbol{\cdot} (-\hat{\mathbf{r}}) \biggr|_{r=a}=\frac{Q (1-e^{\theta})}{\pi (1+e^{\pi})} \frac{1}{a^{2}} \\ \sigma_{P}(r=b)&= \biggl. \frac{Q (e^{\theta}-1)}{\pi (1+e^{\pi})} \frac{1}{r^{2}} \hat{\mathbf{r}} \boldsymbol{\cdot} (+\hat{\mathbf{r}}) \biggr|_{r=b}=\frac{Q (e^{\theta}-1)}{\pi (1+e^{\pi})} \frac{1}{b^{2}} \end{aligned} $$

'''(c)'''
극판 사이의 전위차

$$\begin{aligned} |\Delta \Phi|&=|\Phi(b)-\Phi(a)| \\ &=\frac{Q}{\varepsilon_{0} \pi (1+e^{\pi})} \left( \frac{1}{a}-\frac{1}{b} \right) \end{aligned}$$

이에 전기 용량은

$$\begin{aligned} C=\frac{Q}{|\Delta \Phi|}=\varepsilon_{0} \pi (1+e^{\pi})\left( \frac{1}{a}-\frac{1}{b} \right)^{-1} \end{aligned}$$

[각주]