질량중심
1. 개요
물리학에서 물체나 물체들로 이루어진 계의 질량중심은 (1) 모든 질량이 그 점에 모여 있고 (2) 외력이 모두 그 점에 작용하는 것처럼 움직이는 특별한 점이다[출처].
무게중심과 질량중심은 흔히 혼용되는데, 일반적으로 무게중심은 어떤 점을 중심으로 중력으로 인한 계의 토크의 합이 0이 되는 점인 반면 질량중심은 힘을 생각하지 않고 질량의 분포만 따져 계산된다는 차이가 있다. 지구 표면과 같이 중력($$m\vec{g}$$)이 일정한 특수한 상황에는 무게중심과 질량중심이 동일하다.
계산을 간편하게 하기 위해서 물체 각각의 부분을 고려하지 않고 물체의 모든 질량이 질량중심 한 점에 밀집되어 움직이는 점질량(point mass)으로 생각하고 문제를 푸는 경우가 많다.
2. 계산식
2.1. 계에 유한한 갯수의 점질량이 분포한 경우
자연수 $$n$$에 대하여 $$n$$개의 질량이 분포되어 있는 계(system)에서 질량중심은 시그마를 이용해 나타낼 수 있다.
$$ \vec{r}_{cm} = \frac{1}{M}\displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_{i}\vec{r}_{i} $$ (단, $$ M = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_i$$)
위의 식에서 $$\vec{r}=(x, y, z)$$은 벡터로 주어졌으므로 3차원 공간에서 질량중심은 3개의 값을 갖는 벡터 $$\vec{r}_{cm}=(x_{cm}, y_{cm}, z_{cm})$$로 이루어져 있다. 각각의 성분은 다음과 같다.
$$ x_{cm} = \frac{1}{M} \displaystyle \sum_{i=1}^{n} m_{i}x_{i} $$ , $$ y_{cm} = \frac{1}{M} \displaystyle \sum_{i=1}^{n} m_{i}y_{i} $$ , $$ z_{cm} = \frac{1}{M} \displaystyle \sum_{i=1}^{n} m_{i}z_{i} $$
2.2. 질량이 연속적으로 분포된 물체의 경우
세상은 질량이 연속적으로 분포한 형태로 이루어져 있다. 즉 서론에서 소개한 점질량(point mass)은 현실에는 존재하지 않는다. 기계공학 등에서는 질량의 연속적 분포까지 고려하는 경우가 많다. 어떤 입체적인 물건을 무한에 가깝게 쪼개서 작은 질량 요소 $$\displaystyle\lim_{n -> \infty} \Delta m = dm$$을 고려할 수 있다. 그렇게 되면 시그마는 적분으로 표현 가능하다.
$$ \vec{r}_{cm} = \displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{1}{M}\displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_{i}\vec{r}_{i} = \frac{1}{M} \int \vec{r} \ dm$$
어떤 점에서의 밀도 $$\rho (x, y, z) = \frac{dm}{dV}$$이 주어졌을 때 $$dm = \rho (x, y, z) \ dV = \rho (x, y, z) \ dxdydz$$로 치환해 질량중심 공식을 부피 $$V$$에 대한 삼중적분으로 변환할 수 있다.
$$\vec{r}_{cm} = \displaystyle\frac{1}{M} \displaystyle\iiint_V \vec{r} \ \rho (x, y, z) \ dxdydz $$
3. 질량중심의 속도
속도는 위치의 시간에 대한 도함수이므로 질량 중심의 속도를 다음과 같이 나타낼 수 있다.
$$ v_{cm} = \frac {d}{dt} \frac{1}{M}\displaystyle\sum_{i}^{n} m_{i}r_{i} $$
M, $$ m_{i}$$은 변하지 않는 값이므로 위의 식은 다음과 같이 된다.
$$ v_{cm} = \frac{1}{M}\displaystyle\sum_{i}^{n} m_{i}\frac {d}{dt}r_{i} $$
따라서 질량 중심의 속도 $$ v_{cm}$$ 다음과 같다.
$$ v_{cm} = \frac{1}{M}\displaystyle\sum_{i}^{n} m_{i}v_{i} $$
4. 질량중심의 가속도
속도를 시간에 대해 한 번 미분한 (= 위치를 시간에 대해 두 번 미분한) 것이 가속도이므로 다음과 같이 나타낼 수 있다.
$$a_{cm} = \frac {d}{dt} \frac{1}{M}\displaystyle\sum_{i}^{n} m_{i}v_{i} $$
$$a_{cm} = \frac{1}{M}\displaystyle\sum_{i}^{n} m_{i}\frac {d}{dt}v_{i} $$
$$ a_{cm} = \frac{1}{M}\displaystyle\sum_{i}^{n} m_{i}a_{i} $$
질량 중심에 작용하는 알짜힘 $$ \sum F=ma$$는아래와 같다.
$$ \sum F_{cm}=Ma_{cm}=\displaystyle\sum_{i}^{n}m_{i}a_{i} $$
[출처] Halliday 일반물리학 10판 제 1권, 범한서적주식회사, p. 242