코시 함수 방정식
Cauchy's functional equation
코시 함수 방정식이란 다음과 같은 함수 방정식을 말한다.
함수 $$f:\mathbb{Q}\to \mathbb{Q}$$가 임의의 유리수 $$x, y$$에 대하여 $$f\left(x+y\right)=f\left(x\right)+f\left(y\right)$$를 만족한다고 하자.
$$x=y=0$$을 대입하면 $$f\left(0\right)=f\left(0\right)+f\left(0\right)$$이므로 $$f\left(0\right)=0$$이다. 그리고 자연수 $$n$$에 대하여 $$f\left(n+1\right)=f\left(n\right)+f\left(1\right)$$이므로 수학적 귀납법에 의해 $$f\left(n\right)=nf\left(1\right)$$이 성립한다. 같은 방법으로 자연수 $$m$$에 대하여 $$\displaystyle f\left(\frac{1}{m}\right)=\frac{1}{m}f\left(1\right)$$임도 알 수 있다. 이 두 가지를 결합하면 $$\displaystyle f\left(\frac{n}{m}\right)=\frac{n}{m}f\left(1\right)$$이므로, 임의의 양의 유리수 $$q$$에 대해 $$ f\left(q\right)=qf\left(1\right)$$이다.
양의 유리수 $$q$$에 대하여 $$f\left(q+\left(-q\right)\right)=f\left(q\right)+f\left(-q\right)$$이므로 $$f\left(-q\right)=-f\left(q\right)$$이다. 따라서 모든 유리수 $$q$$에 대하여 $$ f\left(q\right)=qf\left(1\right)$$이 성립한다.
$$f\left(1\right)=a$$로 놓으면 $$f\left(x\right)=ax$$를 얻는다.
함수 $$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$$가 임의의 실수 $$x, y$$에 대하여 $$f\left(x+y\right)=f\left(x\right)+f\left(y\right)$$를 만족한다고 하자.
그러면 유리수에서와 같은 방법을 이용해, 임의의 유리수 $$q$$와 임의의 실수 $$x$$에 대하여 $$ f\left(qx\right)=qf\left(x\right)$$임을 알 수 있다. 그러나 임의의 실수 $$x$$에 대해 $$f\left(x\right)=f\left(1\right)x$$임을 보이려면 다음과 같은 조건들 중 하나를 더 추가해야 한다.
유리수체 위의 실수 집합은 벡터 공간을 이룬다. 선택공리에 의하면 벡터 공간은 임의의 선형독립인 부분집합에 대해 그것을 포함하는 기저가 존재한다. 그러면 $$\left\{1\right\}$$는 선형독립이므로 1을 원소로 가지는 기저 $$\mathcal{B}$$가 존재한다. $$\mathcal{B}$$가 이 벡터 공간의 기저이면 0이 아닌 임의의 실수 $$x$$에 대하여 $$\mathcal{B}$$의 유한 부분집합 $$\left\{v_1, v_2, \cdots, v_n\right\}$$이 '''유일'''하게 존재하여 $$x=a_1v_1+a_2v_2+\cdots+a_nv_n$$을 만족하는 0이 아닌 유리수 순서모음 $$\left(a_1, a_2, \cdots, a_n\right)$$이 '''유일'''하게 존재한다.
이때 아무렇게나 함수 $$g:\mathcal{B} \to \mathbb{R}$$를 정의했을 때 $$f\left(v_i\right)=g\left(v_i\right)$$이 되도록 함수 $$f$$를 정의하면 $$f$$가 상수배 함수가 아니게 되는 것이 가능해진다. 예를 들어 $$g$$를 다음과 같이 정의할 수 있다. ($$v_i \in \mathcal B$$)
이러한 함수의 그래프는 좌표평면을 조밀하게 메우게 된다. 예를 들어 위에서 정의한 함수 $$f$$를 생각하면, $$\left\{1, \sqrt{2}\right\} \subset \mathcal B$$ 라 할 때 $$\left(1, 1\right), \left(\sqrt{2}, 0\right)$$은 모두 $$f$$의 그래프 위에 있다. 그런데 $$f$$는 코시 함수 방정식을 만족하기 때문에 $$f$$의 그래프 위의 점 $$A, B$$와 유리수 $$p, q$$에 대하여 $$pA+qB$$도 항상 $$f$$의 그래프 위에 있다. 즉, $$\left(p+q\sqrt{2}, p\right)$$와 같은 점들은 모두 $$f$$의 그래프 위에 존재한다.
1. 개요
코시 함수 방정식이란 다음과 같은 함수 방정식을 말한다.
$$f\left(x+y\right)=f\left(x\right)+f\left(y\right)$$
덧셈군 $$\left(G, +\right)$$에 대하여 위를 만족하는 함수 $$f:G\to G$$는 $$G$$의 자기 준동형 사상이 된다. 유리수의 덧셈군으로서의 자기 준동형 사상은 상수배 함수인 $$f\left(x\right)=ax$$의 꼴뿐이지만(a는 상수), 선택공리에 따르면 실수의 덧셈군으로서의 자기 준동형 사상은 상수배 함수만 있지 않다. 더 나아가 복소수가 되면 선택공리조차 필요 없다. 켤레를 생각해보자.2. 유리수 범위 해법
함수 $$f:\mathbb{Q}\to \mathbb{Q}$$가 임의의 유리수 $$x, y$$에 대하여 $$f\left(x+y\right)=f\left(x\right)+f\left(y\right)$$를 만족한다고 하자.
$$x=y=0$$을 대입하면 $$f\left(0\right)=f\left(0\right)+f\left(0\right)$$이므로 $$f\left(0\right)=0$$이다. 그리고 자연수 $$n$$에 대하여 $$f\left(n+1\right)=f\left(n\right)+f\left(1\right)$$이므로 수학적 귀납법에 의해 $$f\left(n\right)=nf\left(1\right)$$이 성립한다. 같은 방법으로 자연수 $$m$$에 대하여 $$\displaystyle f\left(\frac{1}{m}\right)=\frac{1}{m}f\left(1\right)$$임도 알 수 있다. 이 두 가지를 결합하면 $$\displaystyle f\left(\frac{n}{m}\right)=\frac{n}{m}f\left(1\right)$$이므로, 임의의 양의 유리수 $$q$$에 대해 $$ f\left(q\right)=qf\left(1\right)$$이다.
양의 유리수 $$q$$에 대하여 $$f\left(q+\left(-q\right)\right)=f\left(q\right)+f\left(-q\right)$$이므로 $$f\left(-q\right)=-f\left(q\right)$$이다. 따라서 모든 유리수 $$q$$에 대하여 $$ f\left(q\right)=qf\left(1\right)$$이 성립한다.
$$f\left(1\right)=a$$로 놓으면 $$f\left(x\right)=ax$$를 얻는다.
3. 실수 범위 해법
함수 $$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$$가 임의의 실수 $$x, y$$에 대하여 $$f\left(x+y\right)=f\left(x\right)+f\left(y\right)$$를 만족한다고 하자.
그러면 유리수에서와 같은 방법을 이용해, 임의의 유리수 $$q$$와 임의의 실수 $$x$$에 대하여 $$ f\left(qx\right)=qf\left(x\right)$$임을 알 수 있다. 그러나 임의의 실수 $$x$$에 대해 $$f\left(x\right)=f\left(1\right)x$$임을 보이려면 다음과 같은 조건들 중 하나를 더 추가해야 한다.
- $$f$$가 어떤 한 점에서 미분가능하다.
- $$f$$가 어떤 한 점에서 연속이다.
- $$f$$가 어떤 열린 구간에서 단조이다.
- $$f$$가 어떤 열린 구간에서 유계이다.
4. 상수배 함수가 아닌 해
4.1. 존재성
유리수체 위의 실수 집합은 벡터 공간을 이룬다. 선택공리에 의하면 벡터 공간은 임의의 선형독립인 부분집합에 대해 그것을 포함하는 기저가 존재한다. 그러면 $$\left\{1\right\}$$는 선형독립이므로 1을 원소로 가지는 기저 $$\mathcal{B}$$가 존재한다. $$\mathcal{B}$$가 이 벡터 공간의 기저이면 0이 아닌 임의의 실수 $$x$$에 대하여 $$\mathcal{B}$$의 유한 부분집합 $$\left\{v_1, v_2, \cdots, v_n\right\}$$이 '''유일'''하게 존재하여 $$x=a_1v_1+a_2v_2+\cdots+a_nv_n$$을 만족하는 0이 아닌 유리수 순서모음 $$\left(a_1, a_2, \cdots, a_n\right)$$이 '''유일'''하게 존재한다.
이때 아무렇게나 함수 $$g:\mathcal{B} \to \mathbb{R}$$를 정의했을 때 $$f\left(v_i\right)=g\left(v_i\right)$$이 되도록 함수 $$f$$를 정의하면 $$f$$가 상수배 함수가 아니게 되는 것이 가능해진다. 예를 들어 $$g$$를 다음과 같이 정의할 수 있다. ($$v_i \in \mathcal B$$)
$$g\left(v_i\right)=\begin{cases}1 \,\ \left(v_i=1\right)\\ \\0 \,\ \left(v_i \neq 1\right) \end{cases}$$
이렇게 정의하면 유리수 $$q$$와 $$\mathcal B -\left\{1\right\}$$의 원소들을 유리수 계수 일차결합해서 만든 무리수 $$\alpha$$가 있을 때, $$q+\alpha$$의 꼴의 실수에서의 함숫값은 모두 $$f\left(q\right)$$와 같아진다. 따라서 $$f$$는 상수배 함수가 아니다.4.2. 성질
이러한 함수의 그래프는 좌표평면을 조밀하게 메우게 된다. 예를 들어 위에서 정의한 함수 $$f$$를 생각하면, $$\left\{1, \sqrt{2}\right\} \subset \mathcal B$$ 라 할 때 $$\left(1, 1\right), \left(\sqrt{2}, 0\right)$$은 모두 $$f$$의 그래프 위에 있다. 그런데 $$f$$는 코시 함수 방정식을 만족하기 때문에 $$f$$의 그래프 위의 점 $$A, B$$와 유리수 $$p, q$$에 대하여 $$pA+qB$$도 항상 $$f$$의 그래프 위에 있다. 즉, $$\left(p+q\sqrt{2}, p\right)$$와 같은 점들은 모두 $$f$$의 그래프 위에 존재한다.