'''Cauchy–Riemann equations'''
1. 개요
복소평면상의 열린 집합에서 정의된 복소함수가 해석적 함수, 즉 '''미분가능한 함수이기 위한 필요충분조건'''인 연립 편미분 방정식이다.
즉, 다음 성질을 의미한다.
함수 $$f\left(z\right)=u\left(z\right)+iv\left(z\right)$$가 복소평면상의 열린 집합 $$C$$에서 정의될 때, 이 함수가 미분 가능할(=해석적 / 정칙적일) 필요충분조건은 다음과 같다.
$$\begin{cases} \displaystyle{\partial u\over\partial x}=\displaystyle{\partial v\over\partial y}\\\displaystyle{\partial u\over\partial y}=-\displaystyle{\partial v\over\partial x}\end{cases}$$
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코시와
리만이라는 이름이 들어갔음에도 불구하고, 이 연립방정식은 유체역학을 연구하던 프랑스의 수학자
달랑베르에 의해서 처음으로 발견되었다. 코시와 리만이 복소해석학의 발전과정에서 이 방정식을 매우 유용하게 써먹었기 때문에 둘의 이름이 붙게 되었다.
2. 증명
복소평면상의 열린 집합 $$C$$에서 정의된 함수 $$f\left(z\right)=u\left(z\right)+iv\left(z\right)$$가 미분 가능하다면, $$\displaystyle u_x = v_y$$, $$\displaystyle u_y = -v_x$$를 만족한다.
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함수 $$f\left(z\right)=f\left(x, y\right)=u\left(x, y\right)+iv\left(x, y\right)$$가 점 $$z_0=x_0+iy_0=\left(x_0, y_0\right)$$에서 미분 가능하다고 하자.
$$z_0=x_0+iy_0$$, $$\Delta z=\Delta x + i \Delta y$$로 점 $$z_0$$와 증편 $$\Delta z$$를 둔 뒤, 함수의 증편을 구하자.
$$\displaystyle \begin{aligned}\Delta w&=f\left(z_0+\Delta z\right)-f\left(z_0\right)\\&=\{u\left(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y\right)-u\left(x_0, y_0\right)\}+i\{v\left(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y\right)-v\left(x_0, y_0\right)\}\end{aligned}$$
가 된다.
복소함수의 극한은 다음의 정리를 만족한다.
| $$f\left(z\right)=u\left(x, y\right)+iv\left(x,y\right), z=x+iy, z_0=x_0+iy_0, w_0=u_0+iv_0$$이라 할 때 다음 두 식은 서로 동치이다. $$\displaystyle{\lim_{z \to z_0}f(z)=w_0} \iff \displaystyle{\lim_{\left(x,y\right) \to \left(x_0,y_0\right)}u\left(x,y\right)=u_0, \lim_{\left(x,y\right) \to \left(x_0,y_0\right)}v\left(x,y\right)=v_0}$$
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이때, 함수 $$f(z)$$의 도함수 $$\displaystyle f'\left(z_0\right)={\lim_{\Delta z \to 0}\frac{\Delta w}{\Delta z}}$$가 존재하므로 다음이 성립한다.
$$f'\left(z_0\right)=\displaystyle{\lim_{\left(\Delta x,\Delta y\right)\to \left(0,0\right)}\left(\mathbf{Re}\frac{\Delta w}{\Delta z}\right)+i\lim_{\left(\Delta x,\Delta y\right)\to \left(0,0\right)}\left(\mathbf{Im}\frac{\Delta w}{\Delta z}\right)}$$
여기서 이변수 함수의 미분에서 성립하는 성질을 생각하자. 즉, 점 $$z=z_0+\Delta z$$에서 $$\Delta z=\left(\Delta x, \Delta y\right)$$의 경로를 어떻게 잡아도 도함수가 존재한다면 위의 방정식은 항상 성립한다는걸 명심하자.
경로를 어떻게 잡아도 상관 없기에 다음 두 개의 경로를 선택하자.
$$\left(\Delta x,0\right)\to\left(0,0\right)$$
$$\left(0,\Delta y\right)\to\left(0,0\right)$$
각각에 대하여 다음이 성립한다.
$$\left(\Delta x,0\right)\to\left(0,0\right)$$에 대하여, $$\Delta y=0$$이므로, 다음이 성립한다.
$$\displaystyle{\frac{\Delta w}{\Delta z}=\frac{u\left(x_0+\Delta x, y_0\right)-u\left(x_0, y_0\right)}{\Delta x}+i\frac{v\left(x_0+\Delta x, y_0\right)-v\left(x_0, y_0\right)}{\Delta x}}$$
$$\displaystyle{\lim_{\left(\Delta x,\Delta y\right)\to \left(0,0\right)}\left(\mathbf{Re}\frac{\Delta w}{\Delta z}\right)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{u\left(x_0+\Delta x, y_0\right)-u\left(x_0, y_0\right)}{\Delta x}}=u_x\left(x_0, y_0\right)$$
$$\displaystyle{\lim_{\left(\Delta x,\Delta y\right)\to \left(0,0\right)}\left(\mathbf{Im}\frac{\Delta w}{\Delta z}\right)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{v\left(x_0+\Delta x, y_0\right)-v\left(x_0, y_0\right)}{\Delta x}}=v_x\left(x_0, y_0\right)$$
이를 정리하면, $$f'\left(z_0\right)=u_x\left(x_0, y_0\right)+iv_x\left(x_0, y_0\right)$$가 된다. …①
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마찬가지로,
$$\left(0, \Delta y\right)\to\left(0,0\right)$$에 대하여, $$\Delta x=0$$이므로, 다음이 성립한다.
$$\begin{aligned}\displaystyle{\frac{\Delta w}{\Delta z}}&=\displaystyle{\frac{u\left(x_0, y_0+\Delta y\right)-u\left(x_0, y_0\right)}{i\Delta y}+i\frac{v\left(x_0, y_0+\Delta y\right)-v\left(x_0, y_0\right)}{i\Delta y}}\\&=\displaystyle{\frac{v\left(x_0, y_0+\Delta y\right)-v\left(x_0, y_0\right)}{\Delta y}-i\frac{u\left(x_0, y_0+\Delta y\right)-u\left(x_0, y_0\right)}{\Delta y}}\end{aligned}$$
$$\displaystyle{\lim_{\left(\Delta x,\Delta y\right)\to \left(0,0\right)}\left(\mathbf{Re}\frac{\Delta w}{\Delta z}\right)=\lim_{\Delta y \to 0}\frac{v\left(x_0, y_0+\Delta y\right)-u\left(x_0, y_0\right)}{\Delta y}}=v_y\left(x_0, y_0\right)$$
$$\displaystyle{\lim_{\left(\Delta x,\Delta y\right)\to \left(0,0\right)}\left(\mathbf{Im}\frac{\Delta w}{\Delta z}\right)=\lim_{\Delta y \to 0}-\frac{u\left(x_0, y_0+\Delta y\right)-v\left(x_0, y_0\right)}{\Delta y}}=-u_y\left(x_0, y_0\right)$$
이를 정리하면, $$f'\left(z_0\right)=v_y\left(x_0, y_0\right)-iu_y\left(x_0, y_0\right)$$가 된다. …②
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미분 가능(=해석적)하기 위해서는 경로에 상관없이 도함수가 같아야 하므로, 복소수의 상등조건에 따라 실수 함수부와 허수 함수부가 같으면 된다. ①과 ②를 연립하자.
$$f'\left(z_0\right)=u_x\left(x_0, y_0\right)+iv_x\left(x_0, y_0\right)=v_y\left(x_0, y_0\right)-iu_y\left(x_0, y_0\right)$$이므로, $$u_x=v_y, u_y=-v_x$$일 때 두 도함수는 같게 된다.
따라서 $$f\left(z\right)=u\left(z\right)+iv\left(z\right)$$가 미분가능하다면, 아래의 연립방정식을 만족한다.
$$\begin{cases} \displaystyle{\partial u\over\partial x}=\displaystyle{\partial v\over\partial y}\\\displaystyle{\partial u\over\partial y}=-\displaystyle{\partial v\over\partial x}\end{cases}$$
복소평면상의 열린 집합 $$C$$에서 정의된 함수 $$f\left(z\right)=u\left(z\right)+iv\left(z\right)$$가 $$\displaystyle u_x = v_y$$, $$\displaystyle u_y = -v_x$$를 만족한다면, 함수 $$f(z)$$는 열린 집합 $$C$$에서 미분 가능하다(=해석적이다, 정칙이다).
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