하위헌스 원리

1. 개요

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하위헌스의 원리(Huygens' Principle)[1]는 파동이 어떻게 진행하는가를 나타내는 원리이다. 빛이 아니더라도 역학적 파동의 경우도 이 원리로써 접근할 수 있다.

2. 정성적인 접근

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이미지 출처
파면 위에서 위상(phase)이 같은 지점들을 파원으로 간주한다. 일정 시간동안 퍼져나간 파동들에 접하는 곡선을 찾는다. 이것이 다음 위상의 파면이 되며, 새로운 파원이 된다.

3. 정량적인 접근

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파동의 진행을 정확하게 알아보기 위해서는 파원을 충분히 많이 그려야 하지만 여기서는 간략한 맥락으로 서술한다.

3.1. 반사의 법칙

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위 그림은 반사하는 파동이 진행하는 모습을 나타낸 것이다. 편의상 $$ O,P,Q $$세 지점을 기준으로 살펴보면 아래와 같다.

• $$ O,P'',Q'' $$과 $$ O',P',Q $$의 위상은 각각 같다.
• $$ O,P,Q $$는 동일한 위상차를 두고 있다.

위 두 사실에 근거하면 아래와 같은 관계를 유추할 수 있다. 파동의 진행속도가 언제나 일정하기 때문이다.

• $$ \bar{OP}=\bar{PQ},\bar{Q''Q}=2\bar{P''P}=\bar{OO'}=2\bar{PP'} $$

그림의 초록색 선은 위상이 같은 지점들을 이은 파면이다. 이 파면은 파동의 진행방향과 수직이다. $$\triangle OO'Q,\triangle QQ''O$$는 서로 합동이기 때문에 그림에 표시된 두 각은 동일하다.
즉 $$\theta=\theta ' $$
따라서 법선과 이루는 각인 입사각과 반사각은 같으며, 이는 반사의 법칙을 이끌어낸다.

3.2. 굴절의 법칙

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위 그림은 반사하는 파동이 진행하는 모습을 나타낸 것이다. 마찬가지로 편의상 $$ O,P,Q $$세 지점을 기준으로 살펴보면 아래와 같다.

• $$ O,P'',Q'' $$과 $$ O',P',Q $$의 위상은 각각 같다.
• $$ O,P,Q $$는 동일한 위상차를 두고 있다. $$ O, Q $$ 사이의 시간차는 $$\Delta t$$라 한다.

그림에서 경계선 위쪽 영역의 파동의 진행속도를 $$v_1$$, 아래쪽은 $$v_2$$라 두면 아래 관계식이 성립한다. 여기서

• $$ \bar{OP}=\bar{PQ}$$
• $$ \bar{Q''Q}=2\bar{P''P}=\bar{OQ}\sin\theta=v_1 \Delta t, \bar{OO'}=2\bar{PP'}=\bar{OQ}\sin\theta'=v_2 \Delta t $$

그림의 초록색 선은 위상이 같은 지점들을 이은 파면이다. 이 파면은 파동의 진행방향과 수직이다. 위 식에서 길이의 비를 유추할 수 있다.
$$\displaystyle {\bar{Q''Q} \over \bar{OO'}} = {\sin\theta \over \sin\theta'} = {v_1 \over v_2}$$
따라서 법선과 이루는 각인 입사각과 굴절각은 굴절의 법칙(스넬의 법칙)을 만족하게 된다.

[1] 영어식 발음인 호이겐스의 원리로도 알려져있다.