행렬표현
1. 개요
선형변환의 행렬표현(matrix representation)은 두 벡터공간 $$V$$, $$W$$의 차원이 유한할 때, 선형변환 $$T: V \to W$$를 나타내는 행렬이다. 행렬표현은 정의역과 공역의 기저의 선택에 따라 달라질수 있으며, 정의역과 공역이 같은 선형변환 $$T: V \to V$$의 임의의 기저에 대한 행렬표현은 모두 닮음 관계이다.
2. 정의
2.1. 좌표
유한차원 벡터공간 $$V$$와 기저 $$\beta=\{\beta_{1},\cdots,\beta_{n}\}$$이 주어져 있을 때, 임의의 $$v\in V$$에 대하여,
$$v=c_{1}\beta_{1}+\cdots +c_{n}\beta_{n}$$
을 만족하는 스칼라 $$c_{1},\cdots,c_{n}$$가 유일하게 존재하는데, 아래의 열벡터$$[v]_{\beta}=\begin{pmatrix} c_{1}\\ \vdots \\ c_{n} \end{pmatrix}$$
를 $$v$$의 좌표라고 한다.2.2. 행렬표현
체 $$F$$위의 두 유한차원 벡터공간 $$V$$와 $$W$$가 주어져 있고, 그 기저가 각각 $$\beta_V$$, $$\beta_W$$이라 하자. $$\text{dim}V=n$$, $$\text{dim}W=m$$일 때, 함수 $$L:[v]_{\beta_{V}}\mapsto [ T(v) ]_{\beta_{W}}$$은 $$F^{n}$$에서 $$F^{m}$$으로 가는 선형변환이다. 그러므로,
$$[T]_{\beta_{V}}^{\beta_{W}} [v]_{\beta_{V}}=[ T(v) ]_{\beta_{W}}$$
를 만족하는 $$m\times n$$행렬 $$[T]_{\beta_{V}}^{\beta_{W}}$$가 존재하며 이를 선형변환 $$T$$의 행렬표현이라고 한다. $$T$$의 정의역과 공역이 같을 때, $$[T]_{\beta}$$는 $$[T]_{\beta}^{\beta}$$를 의미하며, 표준순서기저(standard ordered basis)에 대한 행렬표현은 기저를 생략하여 $$[T]$$라고 쓴다.3. 예
실수체 $$\mathbb{R}$$ 위의 $$n$$차 이하의 다항식 집합 $$\mathcal{P}_{n}(\mathbb{R})$$에 주어진 선형변환 $$D : \sum_{i=0}^{n} a_{i} x^{i} \mapsto \sum_{i=0}^{n} i a_{i} x^{i-1}$$을 미분연산자라 한다. $$D$$의 순서기저 $$\beta=\{1,x,\cdots,x^{n}\}$$에 대한 행렬표현은
$$[D]_{\beta}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0& 0 \\ 0 & 0 & 2 & \cdots & 0& 0\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0& 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0& 0& 0 & \cdots & 0& n \\ 0 & 0 & 0 & \cdots &0& 0 \end{pmatrix}$$
이다.4. 선형대수학의 기본정리
체 $$F$$위의 $$n$$차원 벡터공간 $$V$$와 $$m$$차원 벡터공간 $$W$$에 대하여, $$V$$에서 $$W$$로 가는 임의의 선형변환을 모은 집합을 $$\mathfrak{L}(V,W)$$이라 하자. 또한, 성분이 $$F$$의 원소인 $$m\times n$$ 행렬을 모은 집합을 $$\mathfrak{M}_{m,n}(F)$$이라 하자. $$V$$와 $$W$$의 기저 $$\beta_{V}$$와 $$\beta_{W}$$가 주어졌을 때, 함수 $$f:T\mapsto [T]_{\beta_{V}}^{\beta_{W}}$$는 $$\mathfrak{L}(V,W)$$에서 $$\mathfrak{M}_{m,n}(F)$$으로 가는 동형사상[1]이다. 즉, $$\mathfrak{L}(V,W)$$와 $$\mathfrak{M}_{m,n}(F)$$의 대수적인 구조가 같다고 볼수 있는데, 이를 선형대수학의 기본정리라고 한다.
5. 기저변환행렬
$$n$$차원 벡터공간 $$V$$의 임의의 두 기저 $$\beta=\{\beta_{1},\cdots,\beta_{n}\}$$과 $$\beta^{\prime}=\{\beta_{1}^{\prime},\cdots,\beta_{n}^{\prime}\}$$에 대하여, 행렬 $$P$$를
$$ P=\begin{pmatrix} [\beta_{1}]_{\beta^{\prime}} & [\beta_{2}]_{\beta^{\prime}} & \cdots&[\beta_{n}]_{\beta^{\prime}}\end{pmatrix}$$
라 정의했을 때, $$P[v]_{\beta}=[v]_{\beta^{\prime}}$$이 성립한다. 즉, 선형변환 $$Y=PX$$는 $$v$$의 $$\beta$$에 대한 좌표를 $$\beta^\prime$$에 대한 좌표로 바꿔주는 선형변환으로 이해할 수 있다. 이러한 행렬 $$P$$를 기저변환행렬, 좌표변환행렬 또는 추이행렬 등으로 부른다. 또한 기저변환행렬은 항등변환 $$I$$의 행렬표현 $$[I]_{\beta}^{\beta^{\prime}}$$이다.6. 행렬의 닮음
두 정사각행렬 $$A$$, $$B$$에 대하여, $$P^{-1}AP=B$$를 만족하는 가역행렬 $$P$$가 존재하면 두 행렬이 닮았다고 한다. $$n$$차 정사각행렬 $$A$$에 대하여 선형변환 $$L_{A}:F^{n}\to F^{n}$$을
$$L_{A}(X)=AX$$
라고 하자. 그러면, $$F^{n}$$의 표준순서기저에 대한 좌표를 임의의 기저 $$\beta$$에 대한 좌표로 바꾸는 기저변환행렬 $$P$$가 존재하여, 임의의 $$X \in F^{n}$$에 대해$$P^{-1}[L_{A}]_{\beta}PX=AX$$
를 만족함을 알 수 있다. 즉, $$P^{-1}[L_{A}]_{\beta}P=A$$가 성립한다. 또한, 닮은 행렬이란 어떤 선형변환의 서로 다른 기저에 대한 행렬표현임을 알 수 있다. 이를 이용하여, 행렬에 정의되는 여러 대상들이 닮음불변량인 경우, 선형변환에 그대로 정의할 수 있다. 예를들어 선형변환의 대각합이란$$\text{tr}T=\text{tr}[T]_{\beta}$$
으로 정의할 수 있다. 이렇게 정의하여도 문제되지 않는 이유는, 대각합이 닮음불변량이기 때문에, 서로 다른 기저에 대한 $$T$$의 행렬표현이 같은 대각합을 갖기 때문이다.[1] 더 정확히는 덧셈과 스칼라배가 보존되는 $$F$$-module isomorphism이며, $$V=W$$일 때는 추가로 곱셈도 보존되어 $$F$$-algebra isomorphism이 된다. 여기서 선형변환의 곱셈이란, 선형변환의 합성을 뜻한다.