1. 개요
특정 조건만으로 그를 만족하는 유명한 수를 찾는 문제.
2. 문제
어떤 사람이 매우 흥미로운 자연수를 발견했다. 이 수에 2를 곱했는데 여전히 여섯자리 수이며 원래의 여섯 개의 수로 배열만 바뀐 채 구성되어 있기 때문이었다. 이번엔 원래 수에 3을 곱했는데 여전히 여섯자리 수에 원래의 여섯 개의 수로 배열만 바꿔서 있었다. 이렇게 6까지의 자연수를 곱해봤는데 여전히 여섯자리 수며 원래의 여섯 자리 수로 구성되어 있었다. 이런 수가 존재할까? 존재한다면 그 수는 무엇일까?
3. 해답
사실 이 수는 '워낙 유명해서' 문제를 보기만 해도 정답을 아는 사람들이 많을 것이다.
스펀지에서도 소개된 바 있으며 여러 수학 관련 책자에서 신비한 수로 나오는 단골 손님이다.
문제는 구하는 과정으로, 일단 정답을 보면 너무나도 당연하고 쉬운 내용들로 이 수를 추리한다. 그런데 방법이 쉬워도 방법을 알아내는게 보기보다 쉬운 것은 아니라, 고급수학이 아닌 초등수학만으로도 꽤 수준 높은 문제를 낼 수 있다는 것을 보여주는 문제다.
- [해답 보기 / 접기]
여섯 자리 수를 100000A+10000B+1000C+100D+10E+F로 두고, 조건을 통해 구성 숫자를 구해나가자.
* '''A=1'''
만약 A가 2 이상이라면 5나 6을 곱했을 때는 일곱자리 수가 되기 때문에 A는 1이 될 수 밖에 없다.
그 다음 A로부터 다음과 같은 조건을 알아낼 수 있다.
* '''각 자리의 수는 모두 다르며, 0이 없다'''
받아올림이 있어서 아직 그 수의 조합은 알 수 없지만 자리수가 갱신되지 않는 한 1의 곱셈으로부터 중복되는 수가 나올 수 없다. 또한 B~F중에 0이 있다면 A에서 1~9까지의 여섯 개의 숫자가 나올 때 7개의 수를 사용한 것이 되어버리므로 B~F중에 0은 없다.
이제 이 조건을 토대로 F를 구한다.
* '''F는 1이 아니다'''
앞서 각 자리의 수가 모두 다르고, A가 1이므로 F는 1이 될 수 없다.
* '''F는 짝수나 5가 아니다'''
만약 F가 짝수라면 5를 곱했을 때 F의 자리에는 반드시 0이 오게 된다. 따라서 F는 짝수가 될 수 없다. 같은 이유로 2, 4, 6을 곱했을 때 0이 되는 5도 F의 후보에서 제외할 수 있다.
* '''F는 3, 9가 아니다'''
만약 F가 3이라면 2부터 6까지 곱했을 때 생기는 F의 조합은 3, 6, 9, 2, 5, 8이고, 9일 때는 9, 8, 7, 6, 5, 4가 된다. 여기서 A가 1이고 F의 조합에서 1이 없이 다른 수가 6개가 나왔기 때문에 F가 3, 9였을 때 사용되는 수는 7개가 되어버린다. 따라서 3, 9를 제외할 수 있다.
결론적으로 남는 F는 '''7'''밖에 없으며, 여기서부터 얻을 수 있는 수의 조합은 7, 4, 1, 8, 5, 2이다. 따라서 1과 7을 제외한 '''2, 4, 5, 8'''의 순서만 알면 된다.
이때 한가지 조건을 더 생각해야 하는데, 여섯 자리 수를 X라 했을 때 2X, 3X ... 6X의 각 자리 수에 중복되는 수가 없다는 것이다. 만약 중복되는 경우가 생기면 그 두 개의 수를 넣고 큰 수에서 작은 수를 뺐을 때 자리수에서 0이나 9가 생겨야 한다. 예를 들어, 2X와 5X의 두 번째 자리수가 같다고 하면 5X - 2X = 3X에서 3X의 두 번째 자리수는 같은 수를 뺐으므로 0이거나 받아내림을 해서 9여야 한다. 그러나 아까 수 조합에서 0도 9도 없었으므로 각 자리 수는 중복되는 수가 하나도 없어야 한다.
따라서 우리는 X부터 6X까지의 숫자가 어떻게 배열되어있는지는 아직 모르지만, 이들의 총합은 알 수 있다. 왜냐하면 각 자리 수에서 1, 2, 4, 5, 7, 8이 한 번씩만 오기 때문이다. 덧셈은 순서가 달라져도 결과에 변화가 없으므로 이들의 총합을 통해 원하는 수를 구할 수 있다.
X + 2X + 3X + 4X + 5X + 6X = (1 + 2 + 4 + 5 + 7 + 8) × 111111
21X = 27 × 111111 = 2999997
X = 2999997 ÷ 21 = '''142857'''
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참고로 1/7을 소수로 표현하면 142857이 반복된다. 그렇기에 위 문제의 특성을 알면 n/7이 백분율로 얼마인가를 빠르게 구할 수 있다. 또 문제에는 6을 곱했을 때까지만 나와 있지만, 142857에 7을 곱하면 999999가 나온다. 그리고 142+857=999,14+28+57=99이기도 하다. 또 142857의 제곱은 20408122449인데,이 수를 20408과122449로 나누어 더하면 142857이 된다.
4. 참고 자료
- 당상빈 저. <창의력에 생각을 더하는 영재수학>. 성기환 역. 도서출판 예가. 2006년. 164~166p