F-분포

 


1. 개요
2. 정의
3. 분산비검정
4. 성질
5. 그래프
6. 관련 문서

수식없이 설명하는 F분포

1. 개요

'''f분포'''(F-distribution 또는 Snedecor's F-distribution 또는 Fisher–Snedecor distribution)는 통계학에서 사용하는 연속 확률 분포(continuous probability distribution)로 분산 분석에 많이 사용한다.
독립적인 두 카이제곱분포에 관한 비로써 정의된다. 자유도는 분자에 해당하는 카이제곱분포의 자유도와 분모에 해당하는 카이제곱분포의 자유도에 의해 결정된다. 분산 비 검정, 분산 분석, 회귀 분석 등에 사용한다.
F-분포로 하는 검정(test)을 F-검정(F-test)이라고 한다.

2. 정의

$$U_1\sim\chi^2_{v_1},\,U_2\sim\chi^2_{v_2}$$이고 $$U_1$$과 $$U_2$$가 독립일 때 f분포를 다음과 같이 정의한다.
$$F=\dfrac{U_1/v_1}{U_2/v_2}\sim F_{v_1,\,v_2}$$
$$v_1$$은 $$U_1$$(분자)의 자유도이고, $$v_2$$는 $$U_2$$(분모)의 자유도이다.
한편, $$\Large{F_{v_1,\;v_2,\;\alpha}}$$는 $$\Large X\sim{F_{v_1,\;v_2}}$$에 대하여 $$P[X\geq a]=\alpha$$가 되도록 하는 $$a$$의 값을 일컫는다.

3. 분산비검정

'''분산비검정'''(variance ratio test)이란 다음과 같이 두 분산을 비교할 때 사용하는 방법이다.
두 카이제곱분포 $$U_1=\dfrac{(n_1-1){s_1}^2}{{\sigma_1}^2}\sim\large{\chi^2_{n_1-1}}$$과 $$U_1=\dfrac{(n_2-1){s_1}^2}{{\sigma_2}^2}\sim\large{\chi^2_{n_2-1}}$$에 대하여
$$\begin{aligned}F&=\dfrac{U_1/v_1}{U_2/v_2}=\dfrac{\cfrac{\cancel{(n_1-1)}{s_1}^2}{{\sigma_1}^2\cdot\cancel{{v_1}} }}{\dfrac{\cancel{(n_2-1)}{s_1}^2}{{\sigma_2}^2\cdot\cancel{{v_2}} }}\\ \\&=\dfrac{{s_1}^2/{\sigma_1}^2}{{s_2}^2/{\sigma_2}^2}=\dfrac{{s_1}^2/{s_2}^2}{{\sigma_1}^2/{\sigma_2}^2}\sim \large{F_{n_1-1,\;n_2-1}}\end{aligned}$$
$$(\because v_1=n_1-1,\;v_2=n_2-1)$$

4. 성질

분모와 분자의 자유도가 서로 바뀌어 있는 두 $$F$$분포에 대하여 다음과 같은 중요한 성질이 성립한다.
$$\Large{F_{v_1,\;v_2,\;\alpha}}=\dfrac1{\Large{F_{v_2,\;v_1,\;1-\alpha} }}$$
[증명]
두 $$F$$분포 $$X\sim\Large{F_{v_1,\;v_2}}$$이고 $$Y=\dfrac1X\sim\Large{F_{v_2,\;v_1}}$$이 있을 때
$$\begin{aligned}{\color{red}\Large P\left[X\geq{F_{v_1,\;v_2,\;\alpha}}\right]}&=\alpha\\\Large P\left[Y\geq{F_{v_2,\;v_1,\;1-\alpha}}\right]&=1-\alpha\end{aligned}$$
두 번째 식을 변형하면
$$\begin{aligned}{\Large P\left[\dfrac1Y\leq\dfrac1{{F_{v_2,\;v_1,\;1-\alpha} }}\right]}&=1-\alpha\\\rightarrow{\color{red}{\Large P\left[\dfrac1Y\geq\dfrac1{{F_{v_2,\;v_1,\;1-\alpha} }}\right]}}&=\alpha\end{aligned}$$
빨간색 식끼리는 값이 $$\alpha$$로 같으면서, $$Y=\dfrac1X$$이므로 결국 다음 양변이 같을 수밖에 없다.
$$\Large{F_{v_1,\;v_2,\;\alpha}}=\dfrac1{\Large{F_{v_2,\;v_1,\;1-\alpha} }}$$

또한, '''$$\boldsymbol t$$분포를 제곱하면 분자와 분모의 자유도가 각각 1, $$\boldsymbol v$$인 $$\boldsymbol F$$분포가 된다.'''
$$\begin{aligned}t&=\dfrac{Z}{\sqrt{U/v}}\sim t_v\\\rightarrow t^2&=\dfrac{Z^2/1}{U/v}\sim F_{1,\;v}\end{aligned}$$

5. 그래프

[image]
[image]
확률 밀도 함수
누적 분포 함수
매개변수: 자유도 d1 > 0, d2 > 0

6. 관련 문서