1 . 개요부분적분 을 할 때 쓰이는 방법론 중 하나로, 브래들리 대학의 Herbert Kasube가 제안한 '''LIATE 법칙'''을 설명한다.
2 . 상세'''L''' '''L'''ogarithmic functions (로그함수 ) ln x \ln{x} ln x , log a x \log_{a}{x} log a x 등[1] 특히 로그함수가 역수 꼴로 들어오면 매우 난해해진다. (\displaystyle \int \frac{1}{\ln x} {\rm d}x = \mathrm{li}(x) + \mathsf{const.})
'''I''' '''I'''nverse trigonometric functions (역삼각함수 ) sin − 1 x \sin^{-1}{x} sin − 1 x , tan − 1 x \tan^{-1}{x} tan − 1 x 등 '''A''' '''A'''lgebraic functions (대수적 함수 ) x 2 x^{2} x 2 , 3 x 4 3x^{4} 3 x 4 등 '''T''' '''T'''rigonometric functions (삼각함수 ) sin x \sin{x} sin x , tan x \tan{x} tan x 등 '''E''' '''E'''xponential functions (지수함수 ) e x e^{x} e x , sinh x \sinh x sinh x [2] [3] \cosh x = \dfrac{1}{2} (e^x+e^{-x}), \sinh x = \dfrac{1}{2} (e^x-e^{-x})
등
표의 위쪽(LIATE 기준 왼쪽)으로 갈수록 '''
미분 우선'''이고, 표의 아래쪽(LIATE 기준 오른쪽)으로 갈수록 '''
적분 우선'''이다. 이러한 우선순위가 존재하는 까닭은 로그함수로 갈 수록 적분이 까다로워지기 때문이다. 다만, 로그함수와 역삼각함수의 경우에는 우선순위가 유동적인 경우가 많아 LIATE 법칙이 항상 옳은 것은 아니다. 때로는 ILATE 순이 더 적절할 수도 있다.
한국의 교등학교 교육과정에서는 역삼각함수를 배우지 않고, 대수적 함수라는 표현 대신
다항함수 [4] 다만, 대수적 함수와 다항함수는 완전히 같지 않다. 왜냐하면 다항함수 외에도 분수함수나 무리함수도 모두 대수적 함수이기 때문이다. 다만 적분 연산에서는 xr(r은 실수)꼴로 표현되는 모든 함수인 대수적 함수를 다항함수와 동치라고 퉁치기도 한다. r=-1일 경우 패턴이 달라지긴 하지만.
라는 표현을 쓰기 때문에 이 순서를 'LATE 법칙'이라고 하며, '로다삼지'라는 순서로도 흔히 외운다.
3 . LIATE 법칙이 적용되지 않는 경우다만 때에 따라서는 적분 우선이라는 삼각함수, 지수함수 적분이 단순 로그함수 적분보다 훨씬 어려워지기도 한다.
특수함수 가 나오면 다행이고
[5] 오히려 특수함수를 알고 있으면 그대로 LIATE 법칙을 써도 무방하다.
, 아예 대응 특수함수조차 없는 상황도 꽤 잦다. 이런 내막을 모른 채 로다삼지를 과신하면 계산이
안드로메다 로 간다(...).
대응
특수함수 적분식이 없는 함수는 울며 겨자먹기로 (대학교
미적분학 과정에서)
테일러 전개 혹은
중적분 의 극좌표 변환(
가우스 적분 )을 활용하여 적분하거나, (
공업수학 에서)
라플라스 변환 /
푸리에 변환 [6] 파서벌 정리(Parseval's theorem)를 이용하여 \dfrac {\sin^4x}{x^4} 등을 적분하라는 문제가 나올 수 있다.
으로 돌아서 가는 방법을 사용해야 한다.
∫ sin x 2  d x = S ( x ) + c o n s t . \displaystyle \int \sin x^2\, \mathrm{d}x = S(x) + \mathsf{const.} ∫ sin x 2 d x = S ( x ) + c o n s t . - 프레넬 사인 적분 함수 를 사용해야 한다.[7] \displaystyle S(x)= \int_{0}^{x} \sin {\pi t^2 \over 2} \, \mathrm{d}t라 정의한 경우 \displaystyle \sqrt{\pi \over 2} \, S \left(\sqrt{\pi \over 2}x \right) + \mathsf{const.}가 된다.
∫ cos x 2  d x = C ( x ) + c o n s t . \displaystyle \int \cos x^2\, \mathrm{d}x = C(x) + \mathsf{const.} ∫ cos x 2 d x = C ( x ) + c o n s t . - 프레넬 코사인 적분 함수 를 사용해야 한다.[8] 마찬가지로 \displaystyle C(x)=\int_{0}^{x} \cos {\pi t^2 \over 2}\, \mathrm{d}t라 정의한 경우 \displaystyle \sqrt{\pi \over 2} \, C \left(\sqrt{\pi \over 2}x \right) + \mathsf{const.}가 된다.
∫ sin ( x − 1 )  d x = − C i ( x − 1 ) + x sin ( x − 1 ) + c o n s t . \displaystyle \int \sin(x^{-1}) \, \mathrm{d}x = -\mathrm{Ci}(x^{-1}) + x \sin(x^{-1}) + \mathsf{const.} ∫ sin ( x − 1 ) d x = − C i ( x − 1 ) + x sin ( x − 1 ) + c o n s t . - 코사인 적분 함수 를 사용해야 한다. ∫ cos ( x − 1 )  d x = S i ( x − 1 ) + x cos ( x − 1 ) + c o n s t . \displaystyle \int \cos(x^{-1}) \, \mathrm{d}x = \mathrm{Si}(x^{-1}) + x \cos(x^{-1}) + \mathsf{const.} ∫ cos ( x − 1 ) d x = S i ( x − 1 ) + x cos ( x − 1 ) + c o n s t . - 사인 적분 함수 를 사용해야 한다. ∫ sin ∣ x ∣  d x = ( 1 − cos x ) s g n ( x ) + 1 + c o n s t . \displaystyle \int \sin |x| \, \mathrm{d}x = (1- \cos x) \ \mathrm{sgn}(x)+1 + \mathsf{const.} ∫ sin ∣ x ∣ d x = ( 1 − cos x ) s g n ( x ) + 1 + c o n s t . - 부호 함수 를 사용해야 한다. ∫ tan ∣ x ∣  d x = − ln ∘ cos ( x ) s g n ( x ) + c o n s t . \displaystyle \int \tan |x| \, \mathrm{d}x = - \ln \circ \cos (x) \ \mathrm{sgn}(x) + \mathsf{const.} ∫ tan ∣ x ∣ d x = − ln ∘ cos ( x ) s g n ( x ) + c o n s t . - 부호 함수 를 사용해야 한다. ∫ csc ∣ x ∣  d x = ln ∘ tan ( x 2 ) s g n ( x ) + c o n s t . \displaystyle \int \csc |x| \, \mathrm{d}x = \ln \circ \tan \left(\frac{x}{2}\right) \mathrm{sgn}(x) + \mathsf{const.} ∫ csc ∣ x ∣ d x = ln ∘ tan ( 2 x ) s g n ( x ) + c o n s t . - 부호 함수 를 사용해야 한다. ∫ cot ∣ x ∣  d x = ln ∘ sin ( x ) s g n ( x ) + c o n s t . \displaystyle \int \cot |x| \, \mathrm{d}x = \ln \circ \sin(x) \ \mathrm{sgn}(x) + \mathsf{const.} ∫ cot ∣ x ∣ d x = ln ∘ sin ( x ) s g n ( x ) + c o n s t . - 부호 함수 를 사용해야 한다. ∫ ∣ sin x ∣ d x = − s g n ∘ sin ( x ) cos x + c o n s t . \displaystyle \int \left|\sin x \right| \mathrm{d}x = - \mathrm{sgn} \circ \sin(x) \cos x+ \mathsf{const.} ∫ ∣ sin x ∣ d x = − s g n ∘ sin ( x ) cos x + c o n s t . - 부호 함수 를 사용해야 한다. ∫ ∣ cos x ∣ d x = s g n ∘ cos ( x ) sin x + c o n s t . \displaystyle \int \left|\cos x \right| \mathrm{d}x = \mathrm{sgn} \circ \cos(x) \sin x+ \mathsf{const.} ∫ ∣ cos x ∣ d x = s g n ∘ cos ( x ) sin x + c o n s t . - 부호 함수 를 사용해야 한다. ∫ ∣ tan x ∣ d x = − s g n ∘ tan ( x ) ln ∣ cos x ∣ + c o n s t . \displaystyle \int \left| \tan x \right| \mathrm{d}x = -\mathrm{sgn} \circ \tan(x) \ln \left| \cos x \right| + \mathsf{const.} ∫ ∣ tan x ∣ d x = − s g n ∘ tan ( x ) ln ∣ cos x ∣ + c o n s t . - 부호 함수 를 사용해야 한다. ∫ ∣ sec x ∣  d x = s g n ( sec x ) ln ∣ sec x + tan x ∣ + c o n s t . \displaystyle \int \left| \sec x \right| \, \mathrm{d}x = \mathrm{sgn}\left(\sec x\right) \ln \left|\sec x + \tan x\right| + \mathsf{const.} ∫ ∣ sec x ∣ d x = s g n ( sec x ) ln ∣ sec x + tan x ∣ + c o n s t . - 부호 함수 를 사용해야 한다. ∫ ∣ csc x ∣  d x = − s g n ( csc x ) ln ∣ csc x + cot x ∣ + c o n s t . = s g n ( csc x ) ln ∣ csc x − cot x ∣ + c o n s t . \displaystyle \int \left| \csc x \right| \, \mathrm{d}x = -\mathrm{sgn}\left(\csc x\right) \ln \left|\csc x + \cot x\right| + \mathsf{const.} = \mathrm{sgn}\left(\csc x\right) \ln \left|\csc x - \cot x\right| + \mathsf{const.} ∫ ∣ csc x ∣ d x = − s g n ( csc x ) ln ∣ csc x + cot x ∣ + c o n s t . = s g n ( csc x ) ln ∣ csc x − cot x ∣ + c o n s t . - 부호 함수 를 사용해야 한다. ∫ ∣ cot x ∣  d x = s g n ( cot x ) ln ∣ sin x ∣ + c o n s t . \displaystyle \int \left| \cot x \right| \, \mathrm{d}x = \mathrm{sgn}\left(\cot x\right) \ln \left|\sin x\right| + \mathsf{const.} ∫ ∣ cot x ∣ d x = s g n ( cot x ) ln ∣ sin x ∣ + c o n s t . - 부호 함수 를 사용해야 한다. ∫ x tan x  d x = i 2 ( L i 2 ( − e 2 i x ) + x ( x + 2 i ln ( 1 + e 2 i x ) ) ) + c o n s t . \displaystyle \int x \tan x \, \mathrm{d}x = \frac{i}{2}(\mathrm{Li}_2(-e^{2ix})+x(x+2i \ln(1+e^{2ix})))+ \mathsf{const.} ∫ x tan x d x = 2 i ( L i 2 ( − e 2 i x ) + x ( x + 2 i ln ( 1 + e 2 i x ) ) ) + c o n s t . - 폴리로그함수 를 사용해야 한다. ∫ x csc x  d x = − 2 i L i 2 ( e i x ) + i 2 L i 2 ( e 2 i x ) − 2 x tanh − 1 e i x + c o n s t . \displaystyle \int x \csc x \, \mathrm{d}x = -2 i \mathrm{Li}_2(e^{i x}) + \frac{i}{2} \mathrm{Li}_2(e^{2 i x}) - 2 x \tanh^{-1} e^{i x} + \mathsf{const.} ∫ x csc x d x = − 2 i L i 2 ( e i x ) + 2 i L i 2 ( e 2 i x ) − 2 x tanh − 1 e i x + c o n s t . - 폴리로그함수 와 역쌍곡선 탄젠트 를 사용해야 한다. ∫ x sec x  d x = − i ( L i 2 ( i e i x ) − L i 2 ( sin x − i cos x ) + 2 x tan − 1 e i x ) + c o n s t . \displaystyle \int x \sec x \, \mathrm{d}x = -i (\mathrm{Li}_2(i e^{i x}) - \mathrm{Li}_2(\sin x -i \cos x) + 2 x \tan^{-1}e^{i x}) + \mathsf{const.} ∫ x sec x d x = − i ( L i 2 ( i e i x ) − L i 2 ( sin x − i cos x ) + 2 x tan − 1 e i x ) + c o n s t . - 폴리로그함수 와 역탄젠트 를 사용해야 한다. ∫ x cot x  d x = 1 2 ( − i L i 2 ( − e 2 i x ) − i x 2 + 2 x ln ( 1 − e 2 i x ) ) + c o n s t . \displaystyle \int x \cot x \, \mathrm{d}x = \frac{1}{2}(-i \mathrm{Li}_2(-e^{2ix})-ix^2+2x \ln(1-e^{2ix}))+ \mathsf{const.} ∫ x cot x d x = 2 1 ( − i L i 2 ( − e 2 i x ) − i x 2 + 2 x ln ( 1 − e 2 i x ) ) + c o n s t . - 폴리로그함수 를 사용해야 한다. ∫ sin x x  d x = S i ( x ) + c o n s t . \displaystyle \int \frac{\sin x}{x} \, \mathrm{d}x = \mathrm{Si}(x) + \mathsf{const.} ∫ x sin x d x = S i ( x ) + c o n s t . - 사인 적분 함수 를 사용해야 한다. ∫ cos x x  d x = C i ( x ) + c o n s t . \displaystyle \int \frac{\cos x}{x} \, \mathrm{d}x = \mathrm{Ci}(x) + \mathsf{const.} ∫ x cos x d x = C i ( x ) + c o n s t . - 코사인 적분 함수 를 사용해야 한다. ∫ tan x x  d x \displaystyle \int \frac{\tan x}{x} \, \mathrm{d}x ∫ x tan x d x - 대응하는 적분식 자체가 없다. ∫ csc x x  d x \displaystyle \int \frac{\csc x}{x} \, \mathrm{d}x ∫ x csc x d x - 대응하는 적분식 자체가 없다. ∫ sec x x  d x \displaystyle \int \frac{\sec x}{x} \, \mathrm{d}x ∫ x sec x d x - 대응하는 적분식 자체가 없다. ∫ cot x x  d x \displaystyle \int \frac{\cot x}{x} \, \mathrm{d}x ∫ x cot x d x - 대응하는 적분식 자체가 없다. ∫ e − x 2 d x = π 2 e r f ( x ) + c o n s t . \displaystyle \int e^{-x^2} \mathrm{d}x = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \mathrm{erf}(x) + \mathsf{const.} ∫ e − x 2 d x = 2 π e r f ( x ) + c o n s t . - 오차함수 를 사용해야 한다. ∫ e x x d x = E i ( x ) + c o n s t . \displaystyle \int \frac{e^x}{x} \mathrm{d}x = \mathrm{Ei}(x) + \mathsf{const.} ∫ x e x d x = E i ( x ) + c o n s t . - 지수 적분 함수 를 사용해야 한다. ∫ e 1 x d x = x e 1 x + E i ( 1 x ) + c o n s t . \displaystyle \int e^{\frac{1}{x}} \mathrm{d}x = xe^{\frac{1}{x}} + \mathrm{Ei}\left(\frac{1}{x}\right) + \mathsf{const.} ∫ e x 1 d x = x e x 1 + E i ( x 1 ) + c o n s t . - 지수 적분 함수 를 사용해야 한다. ∫ x x d x \displaystyle \int x^{x} \mathrm{d}x ∫ x x d x - 대응하는 적분식 자체가 없다. ∫ x tanh x  d x = − 1 2  L i 2 ( − e − 2 x ) + x 2 2 + x ln ( e − 2 x + 1 ) + c o n s t . \displaystyle \int x\tanh{x}\,\mathrm{d}x = -\frac{1}{2} \,\mathrm{Li}_2(-e^{-2x}) + \frac{x^2}{2} + x\ln{(e^{-2x}+1)} + \mathsf{const.} ∫ x tanh x d x = − 2 1 L i 2 ( − e − 2 x ) + 2 x 2 + x ln ( e − 2 x + 1 ) + c o n s t . - 폴리로그함수 를 사용해야 한다. ∫ x  c o t h  x  d x = − 1 2  L i 2 ( e − 2 x ) + x 2 2 + x ln ( − e − 2 x + 1 ) + c o n s t . \displaystyle \int x\,\mathrm{coth}\,{x}\,\mathrm{d}x = -\frac{1}{2} \,\mathrm{Li}_2(e^{-2x}) + \frac{x^2}{2} + x\ln{(-e^{-2x}+1)} + \mathsf{const.} ∫ x c o t h x d x = − 2 1 L i 2 ( e − 2 x ) + 2 x 2 + x ln ( − e − 2 x + 1 ) + c o n s t . - 폴리로그함수 를 사용해야 한다. ∫ x  s e c h  x  d x = i  L i 2 ( i e − x ) − i  L i 2 ( − i e − x ) + 2 x  a r c c o t ( e x ) + c o n s t . \displaystyle \int x\,\mathrm{sech}\,{x}\,\mathrm{d}x = i\,\mathrm{Li}_2(ie^{-x}) - i\,\mathrm{Li}_2(-ie^{-x}) + 2x\,\mathrm{arccot}{(e^x)} + \mathsf{const.} ∫ x s e c h x d x = i L i 2 ( i e − x ) − i L i 2 ( − i e − x ) + 2 x a r c c o t ( e x ) + c o n s t . - 폴리로그함수 를 사용해야 한다. ∫ x  c s c h  x  d x = L i 2 ( sinh x − cosh x ) − L i 2 ( e − x ) − 2 x  a r c o t h ( e x ) + c o n s t . \displaystyle \int x\,\mathrm{csch}\,{x}\,\mathrm{d}x = \mathrm{Li}_2(\sinh{x}-\cosh{x}) - \mathrm{Li}_2(e^{-x}) - 2x\,\mathrm{arcoth}{(e^x)} + \mathsf{const.} ∫ x c s c h x d x = L i 2 ( sinh x − cosh x ) − L i 2 ( e − x ) − 2 x a r c o t h ( e x ) + c o n s t . - 폴리로그함수 를 사용해야 한다. ∫ sinh x x  d x = S h i ( x ) + c o n s t . \displaystyle \int \frac{\sinh{x}}{x} \,\mathrm{d}x = \mathrm{Shi}(x) + \mathsf{const.} ∫ x sinh x d x = S h i ( x ) + c o n s t . - 쌍곡 사인 적분 함수 를 사용해야 한다. ∫ cosh x x  d x = C h i ( x ) + c o n s t . \displaystyle \int \frac{\cosh{x}}{x} \,\mathrm{d}x = \mathrm{Chi}(x) + \mathsf{const.} ∫ x cosh x d x = C h i ( x ) + c o n s t . - 쌍곡 코사인 적분 함수 를 사용해야 한다. ∫ sinh e x  d x = S h i ( e x ) + c o n s t . \displaystyle \int \sinh{e^x}\,\mathrm{d}x = \mathrm{Shi}(e^x) + \mathsf{const.} ∫ sinh e x d x = S h i ( e x ) + c o n s t . - 쌍곡 사인 적분 함수 를 사용해야 한다. ∫ cosh e x  d x = C h i ( e x ) + c o n s t . \displaystyle \int \cosh{e^x}\,\mathrm{d}x = \mathrm{Chi}(e^x) + \mathsf{const.} ∫ cosh e x d x = C h i ( e x ) + c o n s t . - 쌍곡 코사인 적분 함수 를 사용해야 한다. ∫ sinh ( x − 1 )  d x = x sinh ( x − 1 ) − C h i ( x − 1 ) + c o n s t . \displaystyle \int \sinh(x^{-1}) \,\mathrm{d}x = x \sinh(x^{-1}) - \mathrm{Chi}(x^{-1}) + \mathsf{const.} ∫ sinh ( x − 1 ) d x = x sinh ( x − 1 ) − C h i ( x − 1 ) + c o n s t . - 쌍곡 코사인 적분 함수 를 사용해야 한다. ∫ cosh ( x − 1 )  d x = x cosh ( x − 1 ) − S h i ( x − 1 ) + c o n s t . \displaystyle \int \cosh(x^{-1}) \,\mathrm{d}x = x \cosh(x^{-1}) - \mathrm{Shi}(x^{-1}) + \mathsf{const.} ∫ cosh ( x − 1 ) d x = x cosh ( x − 1 ) − S h i ( x − 1 ) + c o n s t . - 쌍곡 사인 적분 함수 를 사용해야 한다. ∫ sinh x 2  d x = π 4 ( e r f i ( x ) − e r f ( x ) ) + c o n s t . \displaystyle \int \sinh x^2\,\mathrm{d}x = \frac{\sqrt{\pi}}{4}(\mathrm{erfi}(x) - \mathrm{erf}(x)) + \mathsf{const.} ∫ sinh x 2 d x = 4 π ( e r f i ( x ) − e r f ( x ) ) + c o n s t . - 오차함수 , 복소오차함수 를 사용해야 한다. ∫ cosh x 2  d x = π 4 ( e r f i ( x ) + e r f ( x ) ) + c o n s t . \displaystyle \int \cosh x^2 \, \mathrm{d}x = \frac{\sqrt{\pi}}{4}(\mathrm{erfi}(x) + \mathrm{erf}(x)) + \mathsf{const.} ∫ cosh x 2 d x = 4 π ( e r f i ( x ) + e r f ( x ) ) + c o n s t . - 오차함수 , 복소오차함수 를 사용해야 한다. 3.3 . 삼각함수 + 지수함수 합성 ∫ sin e x d x = S i ( e x ) + c o n s t . \displaystyle \int \sin e^{x} \mathrm{d}x = \mathrm{Si}(e^x) + \mathsf{const.} ∫ sin e x d x = S i ( e x ) + c o n s t . - 사인 적분 함수 를 사용해야 한다. ∫ cos e x d x = C i ( e x ) + c o n s t . \displaystyle \int \cos e^{x} \mathrm{d}x = \mathrm{Ci}(e^x) + \mathsf{const.} ∫ cos e x d x = C i ( e x ) + c o n s t . - 코사인 적분 함수 를 사용해야 한다. ∫ e sin x d x \displaystyle \int e^{\sin x} \mathrm{d}x ∫ e sin x d x - 대응하는 적분식 자체가 없다. ∫ e cos x d x \displaystyle \int e^{\cos x} \mathrm{d}x ∫ e cos x d x - 대응하는 적분식 자체가 없다. ∫ e x tan x  d x = i e x 2 F 1 ( − i 2 , 1 ; 1 − i 2 ; − e 2 i x ) − 2 + i 5 e ( 1 + 2 i ) x 2 F 1 ( 1 , 1 − i 2 ; 2 − i 2 ; − e 2 i x ) + c o n s t . \displaystyle \int e^x \tan x \, \mathrm{d}x = ie^x {}_2 F_1 (-\frac{i}{2}, 1; 1 -\frac{i}{2}; -e^{2ix}) - \frac{2+i}{5} e^{(1+2i)x} {}_2 F_1(1, 1 -\frac{i}{2}; 2 -\frac{i}{2}; -e^{2ix}) + \mathsf{const.} ∫ e x tan x d x = i e x 2 F 1 ( − 2 i , 1 ; 1 − 2 i ; − e 2 i x ) − 5 2 + i e ( 1 + 2 i ) x 2 F 1 ( 1 , 1 − 2 i ; 2 − 2 i ; − e 2 i x ) + c o n s t . - 초기하함수 를 사용해야 한다. ∫ e x csc x  d x = − ( 1 + i ) e ( 1 + i ) x 2 F 1 ( 1 − i 2 , 1 ; 3 − i 2 ; e 2 i x ) + c o n s t . \displaystyle \int e^x \csc x \, \mathrm{d}x = -(1 + i) e^{(1 + i) x} {}_2F_1(\frac{1-i}{2}, 1; \frac{3 - i}{2}; e^{2 i x}) + \mathsf{const.} ∫ e x csc x d x = − ( 1 + i ) e ( 1 + i ) x 2 F 1 ( 2 1 − i , 1 ; 2 3 − i ; e 2 i x ) + c o n s t . - 초기하함수 를 사용해야 한다. ∫ e x sec x  d x = ( 1 − i ) e ( 1 + i ) x 2 F 1 ( 1 − i 2 , 1 ; 3 − i 2 ; − e 2 i x ) + c o n s t . \displaystyle \int e^x \sec x \, \mathrm{d}x = (1 - i) e^{(1 + i) x} {}_2F_1(\frac{1-i}{2}, 1; \frac{3 - i}{2}; -e^{2 i x}) + \mathsf{const.} ∫ e x sec x d x = ( 1 − i ) e ( 1 + i ) x 2 F 1 ( 2 1 − i , 1 ; 2 3 − i ; − e 2 i x ) + c o n s t . - 초기하함수 를 사용해야 한다. ∫ e x cot x  d x = − i e x 2 F 1 ( − i 2 , 1 ; 1 − i 2 ; e 2 i x ) − 2 + i 5 e ( 1 + 2 i ) x 2 F 1 ( 1 , 1 − i 2 ; 2 − i 2 ; e 2 i x ) + c o n s t . \displaystyle \int e^x \cot x \, \mathrm{d}x = -ie^x {}_2 F_1 (-\frac{i}{2}, 1; 1 -\frac{i}{2}; e^{2ix}) - \frac{2+i}{5} e^{(1+2i)x} {}_2 F_1(1, 1 -\frac{i}{2}; 2 -\frac{i}{2}; e^{2ix}) + \mathsf{const.} ∫ e x cot x d x = − i e x 2 F 1 ( − 2 i , 1 ; 1 − 2 i ; e 2 i x ) − 5 2 + i e ( 1 + 2 i ) x 2 F 1 ( 1 , 1 − 2 i ; 2 − 2 i ; e 2 i x ) + c o n s t . - 초기하함수 를 사용해야 한다. 수준이 올라가면
쌍곡선 적분 함수 나
람베르트 W 함수 ,
브링 근호 등
특수함수 를 적분하거나 특수함수와의 곱으로 이루어진 함수를 적분하는 일도 나오는데, 초등함수의 적분 또는 미분방정식의 해로 정의된 특수함수의 경우 '''로그함수/역삼각함수보다 더 미분우선이 된다.''' 즉 특수함수('''S'''pecial functions)까지 고려하면 SLIATE 또는 SILATE가 된다.
단, 아래 둘은 예외적으로 적분우선이다. 함부로 미분했다간
계산을 망치기 딱 좋기 때문이다 .
[9] 참고로 저 둘의 적분은 쉽다(각각 |x|+ \mathsf{const.}, \dfrac{x+|x|}{2}+ \mathsf{const.}).