T2의 도움정리
1. 개요
$$T_2$$의 도움정리는 Titu Andreescu[1]저서인 Problems from the book에서 이 도움정리의 중요성을 강조하면서, 자신의 이름 Titu를 변형하여 붙이면서 이 도움정리를 $$T_2$$의 도움정리라고 부른다. 원래는 코시-슈바르츠 부등식을 변형한 형태라고 볼 수 있다. KMO를 준비한다면 알아두면 좋다. 자세한 정리는 다음과 같다.
실수 $$a,b$$와 양의 실수 $$x,y$$에 대하여 다음이 성립한다.
$$\displaystyle\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\geq\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}$$.
2. 증명
첫번째 증명.
$$\displaystyle\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}-\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}=\frac{1}{xy\left(x+y\right)}\left\{a^2 y\left(x+y\right)+b^2 x\left(x+y\right)-\left(a+b\right)^2 xy\right\}=\frac{1}{xy\left(x+y\right)}\left(ay-bx\right)^2\geq 0$$
이 되어 주어진 부등식이 성립한다. 등호는 $$\displaystyle\frac{a}{x}=\frac{b}{y}$$일 때 성립한다.
두번째 증명.
$$\displaystyle\left(x+y\right)\left(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\right)\geq\left(a+b\right)^2\ \Leftrightarrow\ \frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\geq\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\ \left(\because x+y>0\right)$$
(단, 등호는 $$\displaystyle\frac{a}{x}=\frac{b}{y}$$일 때 성립한다.)
(코시-슈바르츠 부등식)
3. 확장
$$T_2$$의 도움정리를 두 번 사용하면 실수 $$a,b,c$$와 양의 실수 $$x,y,z$$에 대하여 다음이 성립한다.
$$\displaystyle\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\geq\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}+\frac{c^2}{z}\geq\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}$$.
변수가 4, 5, 6, ... 개 일 때도 귀납적으로 같은 부등식이 성립한다. 따라서,
증명.실수 $$a_1,a_2,\cdots,a_n$$과 양의 실수 $$x_1,x_2,\cdots,x_n$$에 대하여
$$\displaystyle\frac{a_1^2}{x_1}+\frac{a_2^2}{x_2}+\cdots+\frac{a_n^2}{x_n}\geq\frac{\left(a_1+a_2+\cdots+a_n\right)^2}{x_1+x_2+\cdots+x_n}$$
이 성립한다. 등호 성립은 $$\displaystyle\frac{a_1}{x_1}=\frac{a_2}{x_2}=\cdots=\frac{a_n}{x_n}$$이다.
$$\displaystyle\left(x_1+x_2+\cdots+x_n\right)\left(\frac{a_1^2}{x_1}+\frac{a_2^2}{x_2}+\cdots+\frac{a_n^2}{x_n}\right)\geq\left(a_1+a_2+\cdots+a_n\right)^2$$
$$\displaystyle\Leftrightarrow\ \frac{a_1^2}{x_1}+\frac{a_2^2}{x_2}+\cdots+\frac{a_n^2}{x_n}\geq\frac{\left(a_1+a_2+\cdots+a_n\right)^2}{x_1+x_2+\cdots+x_n}\left(\because x_1+x_2+\cdots+x_n>0\right)$$ (단, 등호는 $$\displaystyle\frac{a_1}{x_1}=\frac{a_2}{x_2}=\cdots=\frac{a_n}{x_n}$$일 때 성립한다.)
4. 관련 항목
[1] 올림피아드, Putnam 등 유명 수학 경시대회 대비 문제집을 저술하는 저자이다. 대표 저서로 Putnam and beyond와 Problems from the book이 있다.