가역행렬의 기본정리
'''The Fundamental Theorem of Invertible Matrices'''
1. 개요
어떤 행렬이 가역행렬일 필요충분조건을 제시하는 정리이다.
2. 가역행렬
'''Invertible Matrix'''
역행렬이 존재하는 n×n 행렬 A를 가역행렬이라고 한다.
3. 내용
$$A$$를 n×n 행렬, $$T:V\rightarrow W$$를 선형 변환이라고 하자. 그리고 $$\mathcal{B}, \mathcal{C}$$를 각각 $$V, W$$의 기저라고 하고, $$[T]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} = A$$ 라고 하자.
그럼 다음은 모두 동치이다.
- (a) $$A$$가 가역행렬이다.
- (b) $$\mathbb{R}^n$$의 임의의 원소 $$\mathbf{b}$$에 대하여, $$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$$의 해는 유일하다.
- (c) $$A\mathbf{x}=\mathbf{0}$$은 유일한 해를 갖는다.
- (d) $$A$$의 RREF는 단위행렬 $$I_n$$이다.
- (e) $$A$$는 기본행렬들의 곱이다.
- (f) $$\mathrm{rank}\left(A\right) = n$$
- (g) $$ \mathrm{nullity}(A) = 0 $$
- (h) $$A$$의 열벡터들은 선형독립이다.
- (i) $$A$$의 열벡터들은 $$\mathbb{R}^n$$을 생성한다.
- (j) $$A$$의 열벡터들의 집합은 $$\mathbb{R}^n$$의 기저이다.
- (k) $$A$$의 행벡터들은 선형독립이다.
- (l) $$A$$의 행벡터들은 $$\mathbb{R}^n$$을 생성한다.
- (m) $$A$$의 행벡터들의 집합은 $$\mathbb{R}^n$$의 기저이다.
- (n) $$ \det A \neq 0 $$
- (o) 0은 $$A$$의 고윳값이 아니다.
- (p) $$T$$는 가역이다.[1]
- (q) $$T$$는 단사이다.
- (r) $$T$$는 전사이다.
- (s) $$\mathrm{ker}(T)=\{ \mathbf{0} \}$$
- (t) $$\mathrm{range}(T) = W $$
- (u) 0은 $$A$$의 singular value가 아니다.
4. 증명
4.1. part 1
- (a) => (b) : b=A^(-1)x 로 유일.
- (b) => (c) : b=0의 특수한 경우.
- (c) => (d) : A의 RREF를 R이라고 하면 Ax=0와 Rx=0의 해는 같아야 하므로 Rx=0의 해는 유일해야 하고 free variable이 없어야 하며 따라서 R에는 zero row가 없어야 한다. 즉 R=I.
- (d) => (e) : A와 I_n이 행 동치이므로 I_n에 적절한 row operation들을 유한 번 취해주어, 즉 적절한 elementary matrix들을 유한 번 곱해주어 A로 만들 수 있다. I_n은 행렬곱에 대한 항등원이므로 A는 기본행렬들의 곱으로 나타내어진다.
- (e) => (a) : 기본행렬들의 행렬식은 0이 아니고, 임의의 n×n 행렬 P, Q에 대해 det(PQ)=det(P)det(Q)이므로 성립.
4.2. part 2
- (f) <=> (g) : Rank Theorem
- (g) <=> (c) : nullity(A)=0 <=> null(A)=0[2] <=> Ax=0이면 x는 영공간에 속한다. <=> Ax=0이면 x=0이다.