선형 변환

1. 정의

2. 핵(kernel)과 상(image)

3. 행렬과의 관계

1. 정의

'''선형 변환(Linear Transformation)'''은 벡터 공간에서 벡터 공간으로 가는 함수로, 그것들 중 벡터 공간의 성질을 보존하는, 즉 선형성을 갖는 함수이다. '''선형사상(Linear Map)''' 또는 '''일차변환'''이라고 부르기도 한다. 스칼라가 $$F$$로 같은 벡터 공간$$V$$, $$W$$에 대해, 흔히 $$V$$에서 $$W$$로 가는 선형 변환들의 모임을 $$L\left(V,W\right)$$라 표시한다.
$$f:V\rightarrow W$$가 선형 변환이라 함은 다음을 만족하는 것이다.

* (선형성(linearity)) 임의의 $$a\in F$$, $$u,v\in V$$에 대해, $$f\left(au+v\right)=af\left(u\right)+f\left(v\right)$$

달리는 카테고리 이론을 이용하여 간단하게 Vect(K)에서의 morphism을 선형 변환이라고 정의할 수도 있는데, 집합론을 썼느냐 카테고리 이론을 썼느냐의 차이일 뿐 사실 같은 대상이다.
[math(\mathbb{R})]를 스칼라로 갖는 경우를 예로 들어보자.

$$V=W=\mathbb{R}^{2}$$에 대해,
- $$f\left(x,y\right)=\left(5x+3y,7x-2y\right)$$는 선형 변환이다.
- $$f\left(x,y\right)=\left(6x,5x\right)$$는 선형 변환이다.
- $$f\left(x,y\right)=\left(x^{2}+\sin y,0\right)$$는 선형 변환이 아니다.[1]
  이를 따로 비선형이라고 한다.
- $$f\left(x,y\right)=\left(0,0\right)$$는 선형 변환이다.
- $$f\left(x,y\right)=\left(x+1,x+5y+2\right)$$는 선형 변환이 아니다.
$$V$$를 $$\left[0,1\right]$$에서 $$\mathbb{R}$$로 가는 연속함수들의 모임이라 하면, $$\mathbb{R}$$-벡터 공간이다. $$\phi:V\rightarrow \mathbb{R}$$을 $$\phi\left(f\right):=\int_{0}^{1}f$$라 하면 $$\phi$$는 선형 변환이다.
$$V$$를 $$n$$차 정사각 행렬의 모임이라 하면, $$\mathbb{R}$$-벡터 공간이다. 주대각합 $$\text{tr}:V\rightarrow \mathbb{R}$$은 선형 변환이다.
$$V=W=\mathbb{C}$$, $$T\left(z\right):=\overline{z}$$라 정의하자. $$\mathbb{R}$$, $$\mathbb{C}$$위에서, $$V$$, $$W$$는 벡터 공간이다.[3]
이 예는 스칼라체의 중요성을 보여준다.
- $$\mathbb{R}$$위에서, $$T$$는 선형 변환이다.
- $$\mathbb{C}$$위에서, $$T$$는 선형 변환이 아니다. $$iT\left(1\right)=i\ne-i=T\left(i\cdot 1\right)$$이기 때문이다.[2]
  참고로 이런 꼴을 배반선형사상(Antilinear map)이라고 한다.

2. 핵(kernel)과 상(image)

벡터 공간$$V$$, $$W$$와 $$f\in L\left(V,W\right)$$에 대해[4]

* ('''핵(kernel)''')[5]
영공간(nullsapce) 이라고도 한다. 그런데, 핵은 대수학에서 전반적으로 두루 쓰이는 용어인 반면, 영공간은 선형대수학에서만 한정적으로 쓰이는 경향이 있다.
$$\ker f:=\left\{v\in V:f\left(v\right)=0\right\}$$
* ('''핵 공간의 차원(nullity)''') $$\text{Null}\left(f\right):=\dim\ker f$$
* ('''상(image)''') $$\text{Im} f:=\left\{f\left(v\right):v\in V\right\}$$[6]
선형변환 $$Y=AX$$의 상은 $$A$$의 열공간과 같다.
* ('''계수(차수; rank)''') $$\text{rank}\left(f\right):=\dim\text{Im} f$$

라 정의한다. 다음이 성립한다.

nullity-rank theorem [7]
책에 따라서는 dimension theorem이라고 하기도 한다.

$$\dim V=\text{Null}\left(f\right)+\text{rank}\left(f\right)$$

3. 행렬과의 관계

선형 변환은 일종의 함수이기 때문에, 추상적이고 이해하기 힘들다. 반면, 행렬은 숫자를 시각적으로 배열한것이기 때문에, 선형변환보다는 이해하기 쉽고, 연산이 직관적이다. 그런데, '''선형대수학의 기본정리'''에 따르면, 유한차원 벡터공간에서 정의된 선형변환을 행렬로 볼 수도 있고, 거꾸로, 행렬을 선형변환으로 볼 수 있는 방법이 존재한다. 즉, 정의역과 공역의 기저가 정해지면, 선형변환을 표현하는 행렬이 결정된다. 그 뿐만 아니라, 선형변환의 합과 스칼라배는 행렬의 합과 스칼라배로 바뀌고, 선형변환의 합성은 행렬의 곱으로 바뀐다. 즉, 행렬을 선형변환의 아바타처럼 취급할 수 있다.[8] 이에 따라서, 행렬에 정의되는 개념들을, 잘 정의만 된다면, 선형변환에도 정의할 수 있다. 그러한 예로는 주대각합과 행렬식 등이 있다. 또한, 선형변환에 대한 명제를 증명하기 어려운 경우, 행렬을 이용하여 증명하면 수월한 경우가 있다.
여담으로 개정으로 행렬이 수학 교육과정에서 완전히 빠지기전 기하와 벡터 과목에서 선형변환을 배웠다. 그러나 엄밀하게 정의하고 증명하고 넘어가는 방식을 채택하고 있는 대한민국 교육과정마저도 행렬 부분과 미적분 부분에 있어선 증명하지 않고 넘어가는 게 많은데, 행렬은 선형대수학의 선형사상 때문이고 미적분은 해석학의 엡실론-델타 논법 때문이다! 그래서 선형대수학을 공부하는 사람은 이 선형사상을 이해하는 것을 강요받고 있다고 할 수 있다.

[1] 이를 따로 비선형이라고 한다.[2] 참고로 이런 꼴을 배반선형사상(Antilinear map)이라고 한다.[3] 이 예는 스칼라체의 중요성을 보여준다.[4] 핵과 상이 부분 공간임이라는 것은 쉽게 알 수 있다. [5] 영공간(nullsapce) 이라고도 한다. 그런데, 핵은 대수학에서 전반적으로 두루 쓰이는 용어인 반면, 영공간은 선형대수학에서만 한정적으로 쓰이는 경향이 있다.[6] 선형변환 $$Y=AX$$의 상은 $$A$$의 열공간과 같다.[7] 책에 따라서는 dimension theorem이라고 하기도 한다.[8] 물론 이 아바타는 기저에 따라서 바뀐다.

분류

선형대수학