군의 작용
1. 개요
군의 작용은 군이 '''집합'''의 원소를 다른 원소로 변환시키는 방식이다. 군의 작용은 유한군을 분류하는 데에 핵심적인 역할을 하며, 또 실로우 정리를 이해하는 데에 필수적이다.
2. 정의
군 $$G$$와 집합 $$X$$에 대해, $$\cdot: G\times X \rightarrow X$$가 '''군의 작용(group action)'''이라 함은 다음을 만족하는 것이다.
* 임의의 $$a,b\in G$$, $$x\in X$$에 대해, $$\left(ab\right)\cdot x=a\cdot\left(b \cdot x\right)$$
* 임의의 $$x\in X$$에 대해, $$1\cdot x=x$$[1]
- 직교군 $$G=\text{O}\left(n\right)$$은 $$R^{n}-\left\{0\right\}$$에 대해, $$A\cdot v:=Av$$로 작용한다.
- 이면군(dihedral group)$$D_{2n}=\left
- 군 $$G$$는 자기 자신에게 작용한다.
- (translation) $$a\cdot b=ab$$
- (conjugation) $$a\cdot b=aba^{-1}$$
- 군 $$G$$와 $$H
- K-벡터공간의 스칼라곱은 스칼라체 K에서 그 벡터공간으로 작용한다.
3. 다른 정의들
다음과 같은 정의가 있어야 군의 작용을 다루기 편하다.
군 $$G$$와 집합 $$X$$, 작용 $$\cdot: G\times X \rightarrow X$$을 생각하자.
사실 이는 편함을 넘어 대수에서의 철학이 나타난다. 궤도의 정의는 어떤 원소에 계속 작용을 가했을 때 생성되는 구조를 나타내며 특정 원소에 대한 생성의 개념을 나타내고, 표현론과도 이어지는 개념이다. 또 $$G_{x}$$와 $$X^{G}$$의 정의는 어떤 집합을 보존시키는 작용들을 모으면 어떻게 되는지, 반대로 어떤 작용을 보존하는 집합을 모으면 어떻게 되는 지를 나타낸다. 이는 보존원리를 보여주는 것으로써, 대칭원리와도 연결된다. 예시로써 갈루아 이론이 있다.* ('''궤도(orbit)''')$$x\in X$$에 대해, $$Gx:=\left\{ gx:g\in G\right\} $$
* ('''안정화 부분군(stabilizer subgroup)''')$$x\in X$$에 대해, $$G_{x}:=\left\{ g\in G:gx=x\right\} $$[2]
* $$X^{G}:=\left\{ x\in X:\forall g\in G\qquad gx=x\right\} $$
* $$X/G:=\left\{ Gx:x\in X\right\} $$[3]
그러면 이 정의들에 대하여, 다음 정리들을 얻는다. 유한군 $$G$$, 유한집합 $$X$$에 대해 다음이 성립한다.
* $$\left[G:G_{x}\right]=\left|Gx\right|$$
* (Burnside lemma) $$\left|X/G\right|=\frac{1}{\left|G\right|}\sum\left|X^{g}\right|$$
* (class equation) $$\left|G\right|=\left|Z\left(G\right)\right|+\sum\left[G:C_{G}\left(x\right)\right]$$[4]
* 소수 $$p$$에 대해,
* $$G$$가 $$p$$-군($$\left|G\right|=p^{k}$$)이면, $$\left|X\right|\equiv\left|X^{G}\right|\left(p\right)$$이다.
* $$H<G$$가 $$p$$-부분군($$\left|H\right|=p^{k}$$)이면, $$\left|G/H\right|\equiv\left|N_{G}\left(H\right)/H\right|\left(p\right)$$이다.[5]
* (Cauchy) $$p\mid \left|G\right|$$이면, $$a\in G$$가 존재하여, $$\left|a\right|=p$$이다.
4. 유한군에 대한 결과들
- 실로우 정리
- $$G$$가 $$p$$-군일 때, $$G$$가 자명군이 아니라면 $$Z\left(G\right)$$의 크기는 p의 배수이다. 따라서 $$Z\left(G\right)=1$$이면 $$G=1$$이다.
- $$H