실로우 정리
1. 개요
실로우 정리(Sylow theorem)[1]는 유한군을 분석하기 위한 강력한 도구이다. 주어진 유한군의 구조에 대해 전혀 모르고, 위수(order)[2]만으로도 많은 정보를 주기 때문이다. 라그랑주의 정리가 부분군이 없음을 말하는 데에 유용하다면[3], 실로우의 정리는 부분군이 있다고 말하는 것에 유용하다.
학부 수준에서 군의 작용의 거의 유일한 응용이다.
실로우의 정리는, 위수가 소수의 거듭제곱꼴인 부분군에 대해 말해준다. 이하에서, $$p$$는 어떤 소수를 나타낼 것이고, 군 $$G$$는 유한군, $$\text{exp}_{p}n$$은 $$n$$이 갖는 $$p$$의 지수를 나타낸다.[4]
수학과 학부생들은 갈루아 이론에 머리를 쥐어 짜야하기 때문에 많은 학교에서 이 부분의 증명은 건너뛰고 명제만을 가져다가 쓰는 경우가 많다. 설령 증명한다 하더라도 해당 부분을 다루기 위해 다른 분야를 다루지 못하는 경우도 있다, 일반적으로 정역이나 모듈에 대한 이론을 다루지 않는 경우가 많다. 물론 모두 다루는 대학도 있다.
2. 몇 가지 정의들
2.1. $$p$$-군
$$G$$가 $$p$$-군이라 함은, $$\left|G\right|=p^{k}$$[5][6]인 것이다.
2.2. $$p$$-부분군
$$H<G$$가 $$p$$-부분군이라 함은, $$\left|H\right|=p^{k}$$[7]인 것이다. 이 문서에서는 이를 $$H<_{p}G$$라 표현한다.
2.3. 실로우-$$p$$-부분군
$$H<_{p}G$$가 실로우-$$p$$-부분군이라 함은, $$\text{exp}_{p}\left(\left|G\right|\right)=\text{exp}_{p}\left(\left|H\right|\right)$$인 것이다. 이 문서에서는 $$G$$의 실로우-$$p$$-부분군들의 모임을 $$\text{Syl}_{p}G$$라 표현한다.
3. 제 1 실로우 정리(1st Sylow theorem)
제 1 정리는 유한군에 대한 코시의 정리[8]의 확장이다. 그리고 증명에서 수학적 귀납법을 쓸 때, 기본 경우와 귀납 단계 모두에 쓰인다.
여기서 다음 따름 정리를 얻는다.'''제 1 실로우 정리(1st Sylow theorem)'''
$$H<_{p}G$$가 $$\text{exp}_{p}\left|G\right|\neq\text{exp}_{p}\left|H\right|$$이면, $$K<_{p}G$$가 존재하여, $$H\vartriangleleft K$$이고, $$\left[K:H\right]=p$$이다.
이 따름 정리를 실로우 정리라 하는 경우가 더 많지만, 앞의 정리가 더 많은 내용을 담고 있어[9], 여기서는 앞의 정리를 실로우 정리라 하였다.$$\text{Syl}_{p}\left(G\right)\neq\emptyset$$
4. 제 2 실로우 정리(2nd Sylow theorem)
자명하게, $$H<P\in\text{Syl}_{p}G$$에 대해, $$H<_{p}G$$이다. 그러면 자연스러운 질문은, 임의의 $$H<_{p}G$$에 대해, $$P\in\text{Syl}_{p}G$$가 존재하여 $$H<P$$인가 하는 문제이다. 제 2 정리는 그에 대한 대답을 해주며, 더 만족스럽다.
$$aPa^{-1}\in\text{Syl}_{p}G$$이므로 질문에 대한 긍정적인 답을 얻었다. 한편, 임의의$$Q\in\text{Syl}_{p}G$$도 $$Q<_{p}G$$이므로, $$Q<aPa^{-1}$$이다. $$P$$, $$Q$$의 위수가 같으므로 $$Q=aPa^{-1}$$이다. 여기서 다음의 따름 정리를 얻는다.'''제 2 실로우 정리(2nd Sylow theorem)'''
임의의 $$P\in\text{Syl}_{p}G$$와 $$H<_{p}G$$에 대해, $$a\in G$$가 존재하여, $$H<aPa^{-1}$$이다.
따름 정리의 두번째 명제와 $$P\vartriangleleft N_{G}\left(P\right)$$를 결합하여 다음을 얻는다.임의의 $$P\in\text{Syl}_{p}G$$에 대해,
* $$\text{Syl}_{p}\left(G\right)=\left\{aPa^{-1}:a\in G\right\}$$이다.[10]
* $$P\vartriangleleft G $$와 $$\text{Syl}_{p}\left(G\right)=\left\{ P\right\}$$는 동치이다.
그리고 이는, 유한멱영군이 $${\displaystyle \prod_{p}}\text{Syl}_{p}\left(G\right)$$꼴임을 보여준다.[11]$$N_{G}\left(P\right)=N_{G}\left(N_{G}\left(P\right)\right)$$
5. 제 3 실로우 정리(3rd Sylow theorem)
$$\text{Syl}_{p}G$$에 대한 기본적인 질문 중 하나는 그것의 크기이다. 즉, 실로우-$$p$$-부분군의 갯수에 대해 알고 싶다. 제 3 정리는 가능성이 있는 갯수를 제한해준다. $$n_{p}:=\left|\text{Syl}_{p}G\right|$$라 하자.
이 정리는 정규부분군의 존재를 보이는 것에 아주 유용하다. $$n_{p}=1$$라 결론짓기만 하면 되기 때문이다. 이 점이 실로우 정리의 가장 강력한 점이다. 대개 두 가지 방법이 있다.'''제 3 실로우 정리(3rd Sylow theorem)'''
* $$n_{p}=\left[G:N_{G}\left(P\right)\right]\mid\left|G\right|$$
* $$n_{p}\equiv1\left(p\right)$$
단순히, 이 두 조건을 같이 쓰면, 어떤 소수 $$p$$에 대해서는, $$n_{p}=1$$이라 결론 내릴 수도 있다. 그렇지 않더라도 $$q\mid \left|G\right|$$인 소수 $$q$$에 대해, 모두 $$n_{q}>1$$를 가정하여, $$\left|G\right|\leq\left|{\displaystyle \bigcup_{p}}\left(\bigcup\text{Syl}_{p}G\right)\right|$$를 얻어 모순을 얻을 수도 있다.
[1] 보통 영어 발음으로 읽어서 실로우 정리라고 하지만, 이 정리를 발표한 수학자는 노르웨이의 Peter Ludvig Meidell Sylow이므로, 올바르게 발음하자면 쉴로브 정리가 더 올바른 번역이다. 위키피디아는 쉴로브 정리를 정식 표제어로 채택했다. 하지만 대한수학회의 공식 역어는 '''실로우 정리'''라는 역어를 채택하고 있다.[2] 군을 구성하는 원소의 수 [3] 라그랑주의 정리에 따르면, 위수가 15인 군에 위수가 4인 부분군은 있을 수 없다.[4] $$\text{exp}_{2}\left(2^{5}\cdot 3^{3}\cdot 5^{6}\right)=5$$이다.[5] 군의 위수 [6] 이는 모든 원소의 위수가 p의 거듭제곱꼴(1 포함)임과 동치이기 때문에, 이를 정의로 쓰는 경우도 있다.[7] 군의 위수 [8] $$p\mid \left|G\right|$$면, $$1\neq a\in G$$가 존재하여, $$a^{p}=1$$이다. 즉, 위수가 p인 원소가 존재하고, $$H<G$$이 존재하여 $$p=\left|H\right|$$이다. [9] 그것이 유용한지와는 별개로[10] 요약하자면, 실로우-$$p$$-부분군은 서로 공액(conjugation)이라는 것이다. 이것을 제 2 정리라 하기도 한다.[11] 위의 정리와 다른 정리에 따르면, $$G$$가 멱영군일 때, $$N_{G}\left(P\right)=G$$이다. 따라서, $$P\in\text{Syl}_{p}\left(G\right)$$는 유일하여 관습상 $${\displaystyle \prod_{p}}\text{Syl}_{p}\left(G\right)$$라는 표현을 쓸 수 있다.