균등수렴
Uniform Convergence. 고른 수렴 또는 평등 수렴이라고도 한다.
1. 점별 수렴
집합 $$X$$와 거리공간 $$\left(Y, d\right)$$가 있을 때, $$X$$에서 $$Y$$로 가는 함수들의 열 $$\left\{ f_n \right\}$$을 생각해보자. 이 때, 일반적인 수열과 마찬가지로 $$\left\{ f_n \right\}$$이 "수렴"하는 경우를 생각해볼 수 있을 것이다.
수렴한다면 무엇에 수렴할까? 함수들의 수열이니 어떤 '''함수에 수렴'''하는 경우를 생각해볼 수 있을 것이다. 그렇다면, 함수에 수렴하는 것이 도대체 무엇일까?
$$f_n(x)$$는 $$x$$를 고정시켜서 보면 $${ f_n(x) }$$이 $${ n }$$에 따라 변하는 "값"의 수열이 된다. 그렇다면 실수에서 정의된 수열과 마찬가지로 각각의 수열이 수렴하는 경우를 생각해볼 수 있다. 따라서 $$x$$에 대응되는 수렴값이 존재하고, 우리는 그것을 $${ g(x) }$$라고 부를 수 있을 것이다. 즉, $$f_n(x) \overset{n\to \infty}{\longmapsto} {g(x)}$$이다. 그렇다면, $$X$$에 속하는 모든 $$x$$에 대해서 수열 $$\left\{ f_n(x) \right\}_{n=1}^{\infty}$$가 수렴할 때, $$f_n \mapsto g$$라고 쓸 수 있을 것이다. 이렇게 생각해보면 '''함수의 수열 $$\left\{ f_n \right\}$$은 $${ g }$$에 수렴'''하는 것이다. 이런 방식으로 함수가 수렴하는 것은 각각의 점 $${x}$$마다 수열 $$\left\{ f_n(x) \right\}$$가 수렴하는 것이기 때문에 점마다 수렴 또는 점별 수렴(Pointwise Convergence)라고 한다.
이렇게 하면 함수의 수열이 수렴하는 것이 정의된다. 그런데 '''점별 수렴할 때는 $$\left\{ f_n \right\}$$의 중요한 성질이 $${g}$$에 보존되지 않는다'''는 심각한 문제점이 발견되었다.
예를 들어보자. $$f_n(x) = \cos^{2n}(\pi x)$$[1]라고 할 때, $$f(x) = 1 \left(x \in \mathbb{Z} \right),\ f(x) = 0 \left(x \notin \mathbb{Z} \right)$$[2]이다. 즉, $${f_n(x)}$$는 모두 연속 함수인데 $$f(x)$$는 $$x \in \mathbb{Z}$$에서 불연속이다! 그 외에도 미분 가능성, 적분 가능성 등등이 전혀 보존되지 않기도 하며, 설령 가능하다 하더라도 그 미분계수 및 적분값이 일치하지 않을 수 있다는 사실이 밝혀졌다.[3]인 함수 [math(\displaystyle f_{n}(x)=\begin{cases} n-n^2x & x \in (0, \frac{1}{n}] \\ f_{n}(x)=0 & x \in (\frac{1}{n}, 1]\end{cases})]를 정의한 뒤, 이 함수의 수렴을 확인해보면, 이 함수는 $$f=0$$으로 점별수렴한다. 하지만, $$\displaystyle\int_{0}^{1}{\lim_{n\to 0}{f_{n}(x)dx}}=\int_{0}^{1}{f(x)dx}=0\ne1=\lim_{n\to 0}{\int_{0}^{1}{f_{n}(x)dx}}$$임은 쉽게 알 수 있다.] 따라서 더 강력한 조건이 필요한데... 이 때 나타난 것이 바로 카를 바이어슈트라스가 제안한 균등 수렴의 개념이다.
2. 균등 수렴
균등 수렴의 개념을 생각하기에 앞서 점별 수렴의 개념을 다시 생각해보자. 점별 수렴은 원래 수열을 정의역의 각각의 점에 대한 수열로 나눠서 각 수열이 수렴하면 원래 수열이 수렴값의 함수에 수렴한다고 생각하는 개념이다. 너무나도 우회하는 개념이 아닌가? 우리가 원하는 것은 각각의 수열의 수렴이 아니라 '''함수 자체의 수렴이었다.''' 실수열이 수렴하는 것의 정의는 무엇인가? $$ \left\{a_n\right\} $$이 있을 때, 임의의 양수 $$ \epsilon $$이 주어지면 충분히 큰 자연수 $$ N $$이 있어서 $$ n\ge N $$일 때 $$ \left\vert {a_n}-\alpha \right\vert < \epsilon $$이라는 것이었다. 균등 수렴도 이와 비슷한 방식으로 정의한다. 즉, 임의의 $$ \epsilon >0$$을 잡을 때, 자연수 $$ N $$이 있어서 $$ n\ge N $$이면 정의역 X에 있는 '''모든 $$ x $$에 대해''' $$ d\left(f_n(x), g(x) \right) < \epsilon $$이 성립하는 것을 $$ \left\{f_n\right\} $$이 $$ g $$에 균등 수렴한다고 정의한다. 이를 다시 쓰면,
$$\forall \epsilon >0, \exists N \in \mathbb{N} \ \text{s.t.} \ \forall x\in X, \ n\geq N \Longrightarrow d\left(f_n(x), g(x) \right) < \epsilon $$
이라는 것이다. 이는 곧$$\displaystyle \forall \epsilon >0, \exists N \in \mathbb{N} \ \text{s.t.} \ n\geq N \Longrightarrow \sup_{x\in X} \ d\left(f_n(x), g(x) \right) \leq \epsilon $$
이라는 말과 같다. 따라서 함수열 $$ \left\{f_n\right\} $$이 $$ g $$로 균등수렴한다는 것은 실수열 $$\displaystyle \left(\sup_{x\in X} d\left(f_n(x), g(x) \right) \right)_{n\in \mathbb{N}} $$이 0으로 수렴한다는 말이 된다.그리고 이를 기호로는 $$ f_n \rightrightarrows g$$와 같이 나타낸다.
놀랍게도, 균등 수렴하는 함수열은 각 항이 연속 함수일 때 극한 함수도 연속 함수이며, 각 항이 적분 가능하면 극한 함수도 적분 가능하고, 심지어 이 경우에는 각 항의 적분의 극한이 극한 함수의 적분이라는 것까지도 알려져 있다! 다만, 미분가능성의 경우에는 좀 상황이 다르게 돌아가는데, 다른 성질과 비슷하게 조건을 줘도 극한 함수가 미분 가능하지 않을 경우가 생긴다. [4]
3. 예고로프 정리
유한 측도를 갖는 집합에서 분해 가능 거리공간[5]으로 가는 함수열이 거의 모든 점에서 점별수렴하면, '거의' 균등수렴한다. 즉, 측도공간 $$(X,\Sigma,\mu)$$과 분해 가능 거리공간 $$(Y,d)$$가 주어졌다고 하자. 이 때, $$X$$의 유한측도를 갖는 부분집합 위에서 정의된 함수열 $$f_{n}:E\to Y$$가 $$f$$로 거의 모든 점에서 점별수렴하면, 임의의 양수 $$\epsilon$$에 대하여, 적당한 가측집합 $$F\subset E$$가 존재하여, $$f_{n}$$이 $$F$$ 위에서 $$f$$로 균등수렴하고, $$\mu (E-F)<\epsilon$$을 만족한다.
[1] 편의 상 $$f_n : \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$$라고 하자.[2] $${ x }$$가 정수이면 $$\cos^2(\pi x) = 1$$이지만, 정수가 아니면 $$0 \le \cos^2(\pi x) < 1$$이다. 즉 정수 집합을 판별하는 함수다.[3] 자세한 예시는 해석학 교재를 찾아보자.
간단한 예시를 들자면 [math(f_{n}:\left(0, 1\right]\mapsto\mathbb{R})[4] 하지만 비슷한 정리는 있다. 이 정리는 요구하는 것이 원래 수열이 균등 수렴할 것이 아니라 각 항의 미분이 균등수렴할 것이며, 여기에 정의역의 한 점 $$ x_0 $$에서 $$ \left\{f_n(x_0)\right\} $$이 수렴할 것까지 조건으로 요구한다. 이 모든 조건을 만족할 경우 $$ \left\{f_n \right\} $$가 균등 수렴하고 각 항의 미분의 극한이 극한 함수의 미분이다.[5] 가산 조밀집합을 갖는 거리공간. 예컨데 $$\mathbb{R}$$은 거리공간이고, $$\mathbb{Q}$$가 가산 조밀집합이므로, $$\mathbb{R}$$은 분해 가능 거리공간이다.
간단한 예시를 들자면 [math(f_{n}:\left(0, 1\right]\mapsto\mathbb{R})[4] 하지만 비슷한 정리는 있다. 이 정리는 요구하는 것이 원래 수열이 균등 수렴할 것이 아니라 각 항의 미분이 균등수렴할 것이며, 여기에 정의역의 한 점 $$ x_0 $$에서 $$ \left\{f_n(x_0)\right\} $$이 수렴할 것까지 조건으로 요구한다. 이 모든 조건을 만족할 경우 $$ \left\{f_n \right\} $$가 균등 수렴하고 각 항의 미분의 극한이 극한 함수의 미분이다.[5] 가산 조밀집합을 갖는 거리공간. 예컨데 $$\mathbb{R}$$은 거리공간이고, $$\mathbb{Q}$$가 가산 조밀집합이므로, $$\mathbb{R}$$은 분해 가능 거리공간이다.