대각화
1. 개요
행렬 $$A\in M_{n}\left(F\right)$$를 행렬 '''대각화(diagonalization)'''한다고 함은, 적절한 $$P\in\text{GL}_{n}\left(F\right)$$와 대각행렬[1] $$D\in M_{n}\left(F\right)$$를 찾아, $$A=PDP^{-1}$$로 표현하는 일이다.[2] 이렇게 하면, $$A^{k}=PD^{k}P^{-1}$$이고, $$D^{k}$$을 계산하는 것은 아주 쉬우므로, $$A^{k}$$ 계산도 아주 쉬워진다.
수학적으로는, 벡터 공간을 분해한다는 점에서 의미가 있다. 이게 무슨 말인지는 대각행렬이 갖는 의미를 생각해보면 알 수 있다. 대각행렬로 벡터를 변환하면 기저벡터가 늘어났다 줄었다 하면서 좌표계가 변하는 것을 알 수 있다. 대각화라는 건 대각화 가능한 행렬에 대해 어떤 기저가 존재해서 그 행렬이 그 기저에 대해 이러한 작용을 한다는 말과 같다.
2. 대각화 가능할 필요충분조건
[3]
대각화가 항상 가능한 것은 아니므로, 대각화 가능한 필요충분 조건을 알아야한다.
'''대각화 가능할 필요충분 조건'''
$$A$$의 최소 다항식을 $$p\in F\left[x\right]$$라 하자.
$$A$$가 대각화 가능할 필요충분조건은, 서로 다른 $$\lambda_{i}\in F$$가 존재하여 $$p=\prod\left(x-\lambda_{i}\right)$$인 것이다.
- $$\left(\begin{array}{cc}0 \quad 1 \\ 0 \quad 0\end{array}\right)$$의 최소 다항식은 $$x^{2}$$이다. 따라서, 대각화할 수 없다.
- $$\left(\begin{array}{cc}0 \quad 1 \\ -1 \quad 0\end{array}\right)$$의 최소 다항식은 $$x^{2}+1$$이다. 따라서, 복소수 체 $$\mathbb{C}$$ 위에서는 대각화 가능하지만, 실수 체 $$\mathbb{R}$$위에서는 대각화 불가능이다.
3. 동시적 대각화(simultaneously diagonalization)
대각화 가능한 행렬들의 모임 $$S\subset M_{n}\left(F\right)$$을 생각하자. $$A,B\in S$$는 대각화 가능이기 때문에, 적절한 $$P_{A},P_{B}\in\text{GL}_{n}\left(F\right)$$와 대각행렬 $$D_{A},D_{B}\in M_{n}\left(F\right)$$를 찾아, $$A=P_{A}D_{A}P_{A}^{-1}$$, $$B=P_{B}D_{B}P_{B}^{-1}$$로 표현할 수 있다. 그러나, $$P_{A}\neq P_{B}$$일 수 있다. 그럼 $$P\in\text{GL}_{n}\left(F\right)$$가 존재하여, 임의의 $$A\in S$$에 대해, $$A=PDP^{-1}$$일 수 있는지 알고 싶다. 이를 '''동시적 대각화(simultaneously diagonalization)'''라 한다.
동시적 대각화가 가능할 필요충분 조건은 다음이다.
* 임의의 $$A,B\in S$$에 대해, $$AB=BA$$이다.
4. 관련 항목과의 관계
- 언급한 것과 같이, 항상 대각화 가능한 것은 아니며 꼭 대각화가 되어야 계산이 편해지는 것도 아니다. 대각화를 못하더라도 충분히 간단하게 행렬을 재구성할 수 있다. 이 목적을 완벽하게 달성한 결과가 조르당 분해이다.
- 수반 연산자 항목에서는 이를 복소수 위에서 정의한 유니타리 대각화에 대해 다룬다.
[1] 대각선 외의 성분이 모두 [math(0)]인 행렬, 대각선의 성분은 [math(0)]이어도 좋다. [2] 즉, 상사인 대각행렬을 찾는 일이다. [3] 대각화 가능을 영어로 diagonalizable, 대각화 가능성을 영어로 diagonalizablity라고 한다. 즉 이 항목은 diagonalizablity에 대해 다루고 있다.