수반 연산자
역행렬을 구할 때 쓰이는 수반 행렬(adjoint matrix)와는 이름이 같지만, 아무 상관도 없다. 역행렬을 구할 때 쓰이는 수반 행렬은 고전적 수반 행렬(classical adjoint matrix)이라 불린다.
1. 수반 연산자(adjoint operator)의 정의
체 $$F$$ 위의 벡터 공간 $$V$$와 그 위의 내적 $$\left(\cdot\mid\cdot\right)$$ , 선형 연산자 $$T$$를 생각하자. $$V$$ 위의 선형 연산자 $$U$$가 $$T$$의 '''수반 연산자(adjoint operator)'''라 함은 다음이 성립하는 것이다.
이 때 $$U=T^{*}$$로 표기한다.[2]* $$\left(u\mid Tv\right)=\left(Uu\mid v\right)$$
- 자명하게, $$T$$가 수반 연산자를 가지면, $$T^{*}$$ 역시 그러하며 $$T=T^{**}$$이다.
- $$T$$, $$U$$가 수반 연산자를 가지면, $$TU$$ 역시 그러하며 $$\left(TU\right)^{*}=U^{*}T^{*}$$이다.
내적을 보통, $$F=\mathbb{R},\mathbb{C}$$에서 다루므로, 수반 연산자도 $$F=\mathbb{R},\mathbb{C}$$에서 다루는 것이 일반적이다.
2. 유한차원 벡터 공간에서의 수반 연산자의 존재성
그람-슈미트 과정에 의하면, $$V$$의 기저 $$\mathcal{B}=\left\{ \epsilon_{i}:1\leq i\leq n\right\} $$가 존재하여, 임의의 $$u,v\in V$$에 대해, $$\left(u\mid v\right)=\left[u\right]_{\mathcal{B}}^{*}\left[v\right]_{\mathcal{B}}$$이다. 이것을 이용하면 다음을 얻는다. $$\left(u\mid Tv\right)=\left[u\right]_{\mathcal{B}}^{*}\left[Tv\right]_{\mathcal{B}}=\left[u\right]_{\mathcal{B}}^{*}\left(\left[T\right]_{\mathcal{B}}\left[v\right]_{\mathcal{B}}\right)=\left(\left[u\right]_{\mathcal{B}}^{*}\left[T\right]_{\mathcal{B}}\right)\left[v\right]_{\mathcal{B}}=\left(\left[T\right]_{\mathcal{B}}^{*}\left[u\right]_{\mathcal{B}}\right)^{*}\left[v\right]_{\mathcal{B}}$$이다. $$\left[T\right]_{\mathcal{B}}^{*}$$에 해당하는 선형 변환을 $$U$$라 하면,
$$\left(\left[T\right]_{\mathcal{B}}^{*}\left[u\right]_{\mathcal{B}}\right)^{*}\left[v\right]_{\mathcal{B}}=\left[Uu\right]_{\mathcal{B}}^{*}\left[v\right]_{\mathcal{B}}=\left(Uu\mid v\right)$$이다. 따라서, $$T^{*}$$는 $$T^{*}=U$$로 존재한다.
이 과정에서 알 수 있듯이, 수반 연산자는 Hermitian#s-1 연산으로 직접 주어진다. Hermitian 연산자를 단순히 전치해주고, 켤레를 취해주는 것보다는, 수반 연산자의 관점으로 보는 것이 더 본질적이다.
다음을 쉽게 보일 수 있다.
$$T$$를 임의의 선형 연산자라 하자. $$W$$가 $$T$$의 불변부분공간이면, $$W^{\perp}$$는 $$T^{*}$$의 불변부분공간이다.
3. 자기 수반(self-adjoint) 연산자
$$T$$의 수반 연산자가 $$T^{*}=T$$이면 '''자기 수반 연산자(self-adjoint)'''라 한다.
4. 수반 행렬의 성질에 관한 특별한 행렬들
군(대수학) 문서 참조. $$\text{GL}_{n}$$는 n×n 가역행렬을 모은 일반선형군(General Linear Group)이며, $$\text{SL}_{n}$$는 그 중 행렬식이 1인 행렬을 모은 특수선형군(Special Linear Group)이다.
- $$F=\mathbb{R}$$
$$F=\mathbb{R}$$일 때는, 켤레를 취해주는 과정이 무의미하므로, $$^{*}$$대신 전치인 $$^{t}$$를 쓴다.[3]- 직교군(orthogonal group) $$\text{O}\left(n\right):=\left\{ A\in\text{GL}_{n}\left(\mathbb{R}\right):A^{t}A=I\right\}$$
직교군에 속하는 행렬들을 직교행렬(orthogonal matrix)이라 부른다. 이 행렬들은 내적을 보존해준다. - 특수 직교군(special orthogonal group) $$\text{SO}\left(n\right):=\left\{ A\in\text{SL}_{n}\left(\mathbb{R}\right):A^{t}A=I\right\}$$
- 자기 수반 행렬 $$\left\{ A\in\text{GL}_{n}\left(\mathbb{R}\right):A^{t}=A\right\}$$
대칭행렬(symmetric matrix)이라고도 부른다.
- 직교군(orthogonal group) $$\text{O}\left(n\right):=\left\{ A\in\text{GL}_{n}\left(\mathbb{R}\right):A^{t}A=I\right\}$$
- $$F=\mathbb{C}$$
- 유니타리군(unitary group) $$\text{U}\left(n\right):=\left\{ A\in\text{GL}_{n}\left(\mathbb{C}\right):A^{*}A=I\right\}$$
유니타리군에 속하는 행렬들을 유니타리 행렬(unitary matrix)이라 부른다. 이 행렬들은 에르미트 내적(Hermitian inner product)을 보존해준다. - 특수 유니타리군(special unitary group) $$\text{SU}\left(n\right):=\left\{ A\in\text{SL}_{n}\left(\mathbb{C}\right):A^{*}A=I\right\}$$[4]
- 에르미트 행렬(Hermitian matrix) $$\left\{ A\in\text{GL}_{n}\left(\mathbb{C}\right):A^{*}=A\right\}$$
- 유니타리군(unitary group) $$\text{U}\left(n\right):=\left\{ A\in\text{GL}_{n}\left(\mathbb{C}\right):A^{*}A=I\right\}$$
5. 유니타리 대각화(unitary diagonalization)와 정규 연산자(normal operator)
5.1. 유니타리 대각화(unitary diagonalization)[5]
'''유니타리 대각화(unitary diagonalization)'''는 행렬 $$A\in M_{n}\left(F\right)$$를, 적절한 $$U\in\text{U}_{n}$$와 대각행렬[6] $$D\in M_{n}\left(\mathbb{C}\right)$$를 찾아, $$A=UDU^{*}$$로 표현하는 일이다. $$U^{*}=U^{-1}$$이므로, 대각화의 일종으로, 더 강한 개념이다.
질문은 이것이다. 어떤 행렬이 유니타리 대각화 가능할 필요충분조건은 무엇인가? 자명하게, $$A$$유니타리 대각화 가능이면, $$A^{*}A=AA^{*}$$이다. 이것의 역도 성립할까? 정규 연산자 개념이 이에 대한 긍정적인 답을 준다.
5.2. 정규 연산자(normal operator)
유한 차원 벡터 공간$$V$$ 상의 선형 변환 $$T$$가 '''정규 연산자(normal operator)'''라 함은, $$T^{*}T=TT^{*}$$가 성립하는 것이다.
다음이 성립한다.
이것에서 다음을 얻는다.$$T$$를 정규 연산자라 하자. 임의의 $$c\in \mathbb{C}$$, $$v\in V$$에 대해, $$Tv=cv$$이면, $$T^{*}v=\overline{c}v$$이다.
여기서, 직교 분해 $${\displaystyle \bigoplus_{\lambda\text{:char. val.}}}W_{\lambda}<V$$를 얻는다.$$W:={\displaystyle \bigoplus_{\lambda\text{:char. val.}}}W_{\lambda}$$에 대해, $$W$$가 $$T$$의 불변 부분 공간이다. 따라서, #s-1의 가장 마지막 명제를 적용하면, $$W^{\perp}$$가 $$T^{*}$$의 불변부분공간이다. $$\left.T^{*}\right|_{W^{\perp}}:W^{\perp}\rightarrow W^{\perp}$$이다. $$W^{\perp}\neq\left\langle \emptyset\right\rangle $$을 가정하면, $$c\in \mathbb{C}$$, $$0\neq v\in W^{\perp}$$가 존재하여, $$T^{*}v=cv$$이다. 따라서, $$Tv=\overline{c}v$$이다. 따라서, $$v\in W$$인데 이는 모순이다. 따라서, $$W^{\perp}=0$$이다. 고로, $$V=W\bigoplus W^{\perp}={\displaystyle \bigoplus_{\lambda\text{:char. val.}}}W_{\lambda}$$이다.$$T$$를 정규 연산자, $$\mu$$, $$\lambda$$를 $$T$$의 서로 다른 고유치라 하자. 그러면, $$W_{\lambda}\perp W_{\mu}$$이다.[7]
이상에서 본 것과 같이 정규 연산자와 유니타리 대각화 가능은 동치이다. $$A=UDU^{*}$$인 $$U\in\text{U}\left(n\right)$$는 $$W_{\lambda}$$의 직교 기저들로 구성해주면 된다. 보통 이를 '''정규연산자의 스펙트럼 정리(spectral theorem)'''라 부른다.
5.3. 따름 정리들
- 대칭행렬(혹은 자기수반 행렬)은 유니타리 대각화 가능이고, 그 대각행렬은 실행렬이다. 대칭행렬의 고유치는 실수라는 것을 이용하면 된다. 그리고 대칭행렬은 정규 연산자이다.
- 유니타리 행렬도 정규 연산자이므로 유니타리 대각화를 할 수 있고, 고유치는 절댓값 1의 복소수가 된다.
[1] 실행렬의 경우, 유니타리 개념이 직교 개념이 되므로, 직교 대각화(orthogonally diagonalization) 가능이라 부르면 된다. 이하의 논의에서도 유니타리를 모두 직교로 바꿔 읽으면 된다.[2] 보통은 칼표를 쓴 $$U=T^{\dag}$$를 자주 쓴다.[3] 뭘 사용해도 상관은 없다. [4] 리 대수(Lie algebra)에서는 블랙 레터를 쓴 $$\mathfrak{su} \left(n\right)$$로 표현하기도 한다.[5] 실행렬의 경우, 유니타리 개념이 직교 개념이 되므로, 직교 대각화(orthogonally diagonalization) 가능이라 부르면 된다. 이하의 논의에서도 유니타리를 모두 직교로 바꿔 읽으면 된다.[6] 대각선 외의 성분이 모두 [math(0)]인 행렬, 대각선의 성분은 [math(0)]이어도 좋다. [7] $$W_{\mu}$$, $$W_{\lambda}$$는, $$\mu$$, $$\lambda$$에 해당하는 고유 공간이다.