동위각
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1. 개요
동위각이란, 두 직선과 그 두 직선과 만나는 다른 한 직선에 대하여 같은 쪽에 있는 각을 말한다. 위 그림에선 a와 e, b와 f, c와 g, d와 h가 각각 동위각 관계이다. 여기서 중요한 것은, 일반적으로 알려진 사실과 달리, 동위각이 되기 위해서 두 직선이 평행할 필요는 없다. 위상적으로 보았을 때 같은 쪽에 있기만 하면 동위각이기 때문. 따라서 동위각의 크기가 같다는 명제는 두 직선이 평행할 때에만 성립한다. 즉 "동위각이 같다"는 명제와 "두 직선이 평행하다"는 명제는 필요충분조건이 되며 이를 이용하여 평행선을 작도하기도 한다. 이에 대한 증명은 유클리드의 제 5 공준을 사용한다.[1] 학교에서 증명을 배우지 않는 이유는 이 때문. 증명은 다음과 같다.
2. 증명
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두 직선 $$AB,PQ$$가 평행하다고 하자. 증명하고자 하는 바는 $$\angle{OAB}=\angle{OPQ}$$이다. 귀류법을 사용해 증명할 것이므로 $$\angle{OAB}\neq\angle{OPQ}$$를 가정하자. 그럼 $$\angle{OAC}=\angle{OPC}$$를 만족하는 점 $$C$$가 직선 $$AB$$위에 존재한다.(이상하게 보이지만 평행한 두 직선과 만나서 생기는 두각에서 동위각이 생기지 않는다면 평행하지 않은 즉 만나는 직선에서 생길 수 밖에 없다.) 왜냐하면 유클리드의 제 5 공준에 의해 점 $$P$$를 지나고 직선 $$AB$$에 평행한 직선은 단 하나(직선 $$PQ$$) 밖에 없기 때문이다. 이제 그럼 $$\triangle{APC}$$의 세 내각의 합은
$$\angle{PAC}+\angle{APC}+\angle{PCA}=\angle{PAC}+180^{\circ}-\angle{PAC}+\angle{PCA}>180^{\circ}$$이 되어 유클리드의 제 5 공준에 모순이다. 따라서 평행한 두 직선의 동위각의 크기는 같아야 한다.