롤의 정리
1. 개요
'''Rolle's theorem'''
미분 가능한 함수에 대한 정리로 12세기 인도의 바스카라에 의해 처음 발견되어 17세기 미셸 롤(Rolle)에 의해 처음으로 증명되었다. 미분 가능한 함수에서 같은 함수 값을 가지는 두 점 $$a$$, $$b$$가 있을 때 구간 $$\left(a,b\right)$$에서 접선의 기울기(= 미분계수)가 [math(0)]이 되는 점이 적어도 하나 있다는 내용을 담는다. 즉 더욱 엄밀하게 설명하면 다음과 같다.
이를 기하학적으로 보면 이렇다. 함수 $$f\left(x\right)$$가 닫힌구간 $$\left[a,b\right]$$에서 연속이고 열린구간$$\left(a,b\right)$$에서 미분가능할 때, 곡선 $$y=f\left(x\right) \left(a\leq x\leq b \right) $$에서 접선의 기울기가 [math(0)]이 되는 점 $$\left(c,f\left(c\right)\right)$$가 적어도 1개 존재한다.함수 $$f:\left[a, b\right] \rightarrow \mathbb R$$가
1) 닫힌구간 $$\left[a,b\right]$$에서 연속이고
2) 열린구간 $$\left(a,b\right)$$에서 미분가능하며
3) $$f\left(a\right)=f\left(b\right)$$이면,
$$f'\left(c\right)=0$$을 만족하는 $$c\in\left(a,b\right)$$가 존재한다.
2. 증명
1. 함수 $$f:\left[a, b\right] \rightarrow \mathbb R$$가 상수함수일 경우, 임의의 $$x\in \left(a, b\right)$$에 대해 $$f'\left(x\right)=0$$이다.
따라서 $$f'\left(c\right)=0$$을 만족하는 $$c\in\left(a,b\right)$$가 존재한다.
2. 함수 $$f:\left[a, b\right] \rightarrow \mathbb R$$가 상수함수가 아닐 경우, $$f\left(a\right)=f\left(b\right)\ne f\left(x\right)$$인 $$x\in \left(a, b\right)$$가 존재한다.
그런데 $$f$$는 닫힌구간 $$\left[a,b\right]$$에서 연속이므로 최대·최소의 정리에 의해 이 구간내에서 최댓값과 최솟값을 가진다.
(ⅰ) $$f\left(a\right)=f\left(b\right)< f\left(x\right)$$인 $$x\in \left(a, b\right)$$가 존재한다고 하자.[1] 그러면 $$f$$는 열린구간 $$\left(a, b\right)$$에서 최댓값을 가져야 한다. $$x=c$$에서 최댓값 $$f\left(c\right)$$를 가진다고 하면, 임의의 $$x\in \left[a, b\right]$$에 대해 $$\displaystyle f\left(x\right)-f\left(c\right)\leq 0$$이다. 그러면 다음이 성립한다.
$$\displaystyle\lim_{x\to c-}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}\geq0$$
$$\displaystyle\lim_{x\to c+}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}\leq0$$
그런데 $$x=c$$에서 $$f$$는 미분가능하므로 두 값이 같아야 한다. 따라서 $$f'\left(c\right)=0$$이 성립한다.
$$\displaystyle\lim_{x\to c-}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}\geq0$$
$$\displaystyle\lim_{x\to c+}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}\leq0$$
그런데 $$x=c$$에서 $$f$$는 미분가능하므로 두 값이 같아야 한다. 따라서 $$f'\left(c\right)=0$$이 성립한다.
(ⅱ) $$x=c$$에서 최솟값 $$f\left(c\right)$$를 가질 때, 같은 방법으로 $$f'\left(c\right)=0$$이 성립한다.
3. 활용
롤의 정리를 일반화하면 평균값의 정리[2]로 나타낼 수 있다. 정확히 말하면 평균값의 정리를 미분계수가 0인 경우에 한정한 특별한 경우가 롤의 정리라고 할 수 있다.
대학에서 미적분학을 배운다면 롤의 정리는 실근의 유일성(uniqueness)을 증명할 때 쓴다. [3] 간단히 과정을 서술하면 근의 개수를 판별할 함수를 f라 하자. 사잇값의 정리를 이용해 실근의 존재함을 보인 후 f의 실근이 a,b (단, a<b)라고 가정하자. 여기서 f는 [a, b]에서 연속이면서 (a, b)에서 미분가능한 함수여야 한다. 이 때, 롤의 정리에 의해 (a, b)에서 f'의 값이 0인 점이 존재해야 한다. 이때 구간 (a,b)에 속하는 c에 대해 f'(c)=0이 아님을 보이면 귀류법에 의해 f가 2개 이상의 실근을 가질 수 없음을 보일 수 있다.
롤의 정리를 이용하여 로피탈의 정리를 증명할 수 있다. 롤의 정리를 이용하지 않으면 난이도가 상승하므로, 기초 미적분학 수준에서는 롤의 정리를 보조정리로 사용하여 증명하게 된다.
[1] $$f\left(a\right)=f\left(b\right)> f\left(x\right)$$인 $$x\in \left(a, b\right)$$가 존재하는 경우는 최솟값을 이용해 증명할 수 있다.[2] 미분가능할 때 평균변화율=미분계수 일때가 적어도 하나이상[3] 중근을 갖는 경우를 제외한다. 이는 Root Unique에 포함되지 않는다.