구간
區間 / interval
1. 일반적인 의미
어떤 지점과 다른 지점 사이
2. 수학에서의 구간
실수 두 실수 a<b에 대해 a, b사이의 모든 실수의 집합을 구간이라 한다. 양 끝점 a, b를 포함 여부에 따라 열린 구간, 닫힌 구간으로 나눌 수 있다.
2.1. 닫힌 구간
closed interval, 폐구간(閉區間)이라고도 말한다.
양 끝점인 a, b를 포함하는 구간을 닫힌 구간이라 한다. 대괄호를 이용해서 나타낸다.
$$\left[a, b\right] = \left\{x\in \mathbb R|a\leq x\leq b\right\}$$
초등학교 수학, 중/고 부등식에서는 수직선에서 ●─● 같은 식으로 표현한다.가장 자주 쓰는 닫힌 구간으로는 주치[1]가 있다. 다름아닌 삼각함수와 미적분 때문.
대수학적 위상수학에서는 '단위구간(Unit interval)'이라고 해서 $$[0,1]$$로 정의된 구간을 즐겨 쓴다.
2.2. 열린 구간
open interval, 개구간(開區間)이라고도 말한다.
양 끝점인 a, b를 포함하지 않는 구간을 열린 구간이라 한다. 소괄호를 이용해서 나타낸다.
$$\left(a, b\right) = \left\{x\in \mathbb R|a< x< b\right\}$$
$$\left(a, +\infty\right) = \left\{x\in \mathbb R|a< x\right\}$$
$$\left(-\infty, b\right) = \left\{x\in \mathbb R|x< b\right\}$$
$$\left(-\infty, +\infty\right) = \mathbb R$$
초등학교 수학, 중/고 부등식에서는 수직선에서 ○─○ 같은 식으로 표현한다.$$\left(a, +\infty\right) = \left\{x\in \mathbb R|a< x\right\}$$
$$\left(-\infty, b\right) = \left\{x\in \mathbb R|x< b\right\}$$
$$\left(-\infty, +\infty\right) = \mathbb R$$
여기에 속하는 구간으로 0과 1 사이의 수가 있다.
2.3. 반열린구간, 반닫힌구간
반개구간(半開區間), 반폐구간(半閉區間)
한쪽만 열린(닫힌) 구간을 말한다.
[math(\left(a, b\right] = \left\{x\in \mathbb R|a< x\leq b\right\})]
[math(\left[a, b\right) = \left\{x\in \mathbb R|a\leq x< b\right\})]
[math(\left(-\infty, b\right] = \left\{x\in \mathbb R| x\leq b\right\})]
[math(\left[a, +\infty\right) = \left\{x\in \mathbb R|a\leq x\right\})]
초등학교 수학에서는 수직선에서 ○─●, ●─○ 같은 식으로 표현한다.[math(\left[a, b\right) = \left\{x\in \mathbb R|a\leq x< b\right\})]
[math(\left(-\infty, b\right] = \left\{x\in \mathbb R| x\leq b\right\})]
[math(\left[a, +\infty\right) = \left\{x\in \mathbb R|a\leq x\right\})]
이 구간이 잘 쓰이는 대표적인 예로 역삼각함수가 있다.
2.4. 구간의 크기
구간의 크기를 논할 때 $$\|[a, b]\| > \|[a, b)\| = \|(a, b]\|> \|(a, b)\|$$로 착각하기 쉽지만 충격적이게도 이 네 개의 크기는 '''전부 같다'''. 수 1개의 측도가 0이기 때문.
[1] $$[0,2\pi]$$