리만 재배열 정리
1. 개요
리만 재배열 정리는 조건수렴하는 무한급수의 더하는 순서를 적당히 바꿔서, 임의의 값으로 수렴하거나, ±∞로 발산하도록 할 수 있다는 정리이다. 무한번 더하는 것은, 유한 번 더하는 것과는 다르다는 것을 나타내주는 예시 중 하나이다.
2. 상세
사실, 꼭 조건 수렴할 필요는 없다. 양수항만 더한 급수와 음수항만 더한 급수가 각각 발산하고, 일반항은 0으로 수렴하면 된다. 급수가 조건 수렴하는 경우, 양수항만 더한 급수와 음수항만 더한 급수가 각각 $$\pm\infty$$로 발산한다는 사실은 급수의 연산법칙에 의해 쉽게 유도할수 있다.실수열 $$a_{n}$$에 대하여, $$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$$이 수렴하고, $$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}|a_{n}|$$은 발산한다고 하자. 그러면, 임의의 확장된 실수 $$r\in\mathbb{R}\cup\{\pm \infty\}$$에 대하여 $$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{\sigma(n)}=r $$를 만족하는 일대일대응 $$\sigma:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$$[1]
이 존재한다.
2.1. 재배열 하는 방법
재배열 하는 방법이 유일하지는 않지만, 항상 원하는 수렴값으로 재배열 할 수 있는 일반적인 방법이 있다.
급수가 조건수렴하는 수열 $$a_{n}$$이 주어졌을 때, 수열 $$a^{+}_{n}$$을 $$a_{n}$$의 음이 아닌 항을 순서대로 늘어놓은 수열이라고 하고, 반대로, 수열 $$a^{-}_{n}$$을 $$a_{n}$$의 음수항을 순서대로 늘어놓은 수열이라고 하자. (예를 들어서 $$a_{n}=\displaystyle\frac{(-1)^{n-1}}{n}$$이라고 하면, $$a^{+}_{n}=\displaystyle\frac{1}{2n-1}$$, $$a^{-}_{n}=-\displaystyle\frac{1}{2n}$$이 된다. ) 이 때, $$a^{\pm}_{n}$$는 모두 0으로 수렴하고, 급수는 $$\pm\infty$$로 발산하는데, 수열을 재배열해서 급수를 $$L\in\mathbb{R}$$로 수렴시키고 싶으면,
- L을 넘을때까지 $$a_{n}^{+}$$을 차례대로 더한다.
즉, $$a^{+}_{1}+\cdots+a^{+}_{m_{1}}>L$$ 을 만족하는 최소 자연수 $$m_{1}$$을 찾는다.
- 1에 이어서 L보다 작아질때까지 $$a_{n}^{-}$$을 차례대로 더한다.
즉, $$(a^{+}_{1}+\cdots+a^{+}_{m_{1}})+(a^{-}_{1}+\cdots+a^{-}_{m_{2}})
- 2에 이어서 L보다 커질때까지 $$a_{n}^{+}$$을 차례대로 더한다.
즉, $$(a^{+}_{1}+\cdots+a^{+}_{m_{1}})+(a^{-}_{1}+\cdots+a^{-}_{m_{2}})+(a^{+}_{m_{1}+1}+\cdots+a^{+}_{m_{3}})>L$$ 을 만족하는 최소 자연수 $$m_{3}$$을 찾는다.
- 3에 이어서 L보다 작아질때까지 $$a_{n}^{+}$$을 차례대로 더한다.
즉, $$(a^{+}_{1}+\cdots+a^{+}_{m_{1}})+(a^{-}_{1}+\cdots+a^{-}_{m_{2}})+(a^{+}_{m_{1}+1}+\cdots+a^{+}_{m_{3}})+(a^{-}_{m_{2}+1}+\cdots+a^{-}_{m_{4}})
- $$\cdots$$. [2]
$$(a^{+}_{1}+\cdots+a^{+}_{m_{1}})+\cdots+(a^{+}_{m_{i-2}}+\cdots+a^{+}_{m_{i}})>L \geq(a^{+}_{1}+\cdots+a^{+}_{m_{1}})+\cdots+(a^{+}_{m_{i-2}}+\cdots+a^{+}_{m_{i}})-a^{+}_{m_{i}}$$ 또는,
$$(a^{+}_{1}+\cdots+a^{+}_{m_{1}})+\cdots+(a^{-}_{m_{i-2}}+\cdots+a^{-}_{m_{i}})
가 성립해서, $$m_{i-1}< k< m_{i+1}$$일 때,$$(a^{+}_{1}+\cdots+a^{+}_{m_{1}})+\cdots+(a^{-}_{m_{i-2}}+\cdots+a^{-}_{m_{i}})
$$\left|(a^{+}_{1}+\cdots+a^{+}_{m_{1}})+\cdots+\left(\displaystyle\sum_{i=m_{i-1}+1}^{k}a^{\mp}_{i}\right)-L \right|\leq\left|(a^{+}_{1}+\cdots+a^{+}_{m_{1}})+\cdots+(a^{\pm}_{m_{i-2}+1}+\cdots+a^{\pm}_{m_{i}})-L \right|\leq|a^{\pm}_{m_{i}}|$$
인데, 우변이 0으로 수렴하기 때문이다.$$L=\pm\infty$$로 발산하게 만들고 싶으면, 왔다리 갔다리 하는 기준이 되는 수를 점점 키우거나, 점점 줄이면 된다.
2.2. 함의
두 무한급수의 곱을 계산할 때, 전개하는 순서에 따라서 값이 달라질 수 있다. 대개 코시곱이라고 부르는 순서로 전개하는데, 이 방법은 가로축과 세로축에 각 수열의 항을 쓰고 축이 만나는 곳마다 두 항의 곱을 계산한 뒤 대각선을 따라 지그재그로 전개하는 것이라 볼 수 있다. 그런데 이 순서로 전개하면 조건수렴하는 무한급수끼리 곱해서 발산하는 급수를 얻는 게 가능하다. 위키백과에는 $$a_{n}=\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$$로 주어진 수열의 무한급수를 자기자신과 곱하는 예시가 나온다.
3. 관련 문서
[1] 덧셈 순서를 재배열하는 매핑 또는 순열(permutation)이라고 생각하면 된다.[2] 이게 계속해서 가능한 이유는, 임의의 자연수 $$m$$에 대해 $$\sum_{n=m}^{\infty}a^{+}_{n}$$가 무한대로 발산하고,$$\sum_{n=m}^{\infty}a^{-}_{n}$$은 음의 무한대로 발산하기 때문.