그란디 급수

1. 개요

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Grandi's series
그란디 급수(Grandi's series)는, 1과 −1을 번갈아서 더하는 무한합

$$1-1+1-1+1-1+\cdots$$

을 뜻한다. 무한급수는 부분합의 극한으로 정의되는데, 그란디 급수의 경우, 부분합이

$$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(-1)^{n-1}=\frac{1-(-1)^{n}}{2}$$

이므로, 그란디 급수는 발산한다.
1703년에 이 급수에 대해 논의했던 Luigi Guido Grandi의 이름을 따왔다.

1.1. 초항부터 두 개씩 결합

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$$1-1+1-1+1-1+\cdots$$

를 앞에서부터 차례대로 두 항씩 묶으면

$$(1-1)+(1-1)+(1-1)+\cdots$$

가 되고 괄호 안을 계산하여 주면 $$0+0+0+\cdots$$이므로 이 방법의 경우 결과값은 0이다.

1.2. 초항을 제외하고 두 개씩 결합

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$$1-1+1-1+1-1+\cdots$$

를 가장 앞에 위치한 항인 1을 제외하고 두 항씩 묶어나가면

$$1+(-1+1)+(-1+1)+\cdots$$

가 되고, 괄호 안을 계산하여 주면 $$1+0+0+0+\cdots$$이 되어 결과값은 1이된다.

1.3. 무한 등비급수를 이용한 계산

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$$f(x)=1+x+x^2+x^3+x^4+\cdots$$

에서 1을 제외한 나머지 항으로 부터 공통인수 $$x$$를 가져오면

$$f(x)=1+x(1+x+x^2+x^3+\cdots)$$

이다. 괄호안의 식은 기존의 $$f(x)$$이므로 $$f(x)=1+xf(x)$$이다.
$$xf(x)$$를 좌변으로 이항하면 $$(1-x)f(x)=1$$이고 $$x$$가 1이 아니라면 양변을 $$1-x$$로 나눠도 무방하므로 $$x$$가 1이 아니면 $$f(x)=(1-x)^{-1}$$이다. 이때, $$x=-1$$을 대입하면

$$1-1+1-1+\cdots=\dfrac{1}{1-(-1)}=\dfrac{1}{2}$$

이 되어 결과값은 $$1/2$$이다.

1.4. 식 변형

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$$S=1-1+1-1+\cdots$$

로 두면,

$$\begin{aligned} 1-S&=1-(1-1+1-1+\cdots)\\&=1-1+1-1+\cdots \end{aligned}$$

이므로 $$S=1-S$$이므로 $$S$$는 아래와 같다.

$$S=1-1+1-1+\cdots=\dfrac{1}{2}$$

1.5. 결론

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결론적으로, $$1-1+1-1+\cdots$$라는 수열의 합은 어떤 방법을 사용하냐에 따라 여러 개의 값이 나온다. 또한 위에서 설명한 방법외에 첫 번째와 두 번째 결과가 나타날 확률은 각각 $$1/2$$이므로 이 수열의 합은 $$1/2$$라는 주장도 존재한다. 이는 무한합을 유한합처럼 생각하면 오류가 난다는 것을 단적으로 보여주는 예들이라 볼 수 있다.

2. 이 급수에 이름이 붙은 이유

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이 값에 대한 논쟁이 '''라이프니츠, 오일러 등등 17~18세기의 저명한 수학자들이 모두 한 번씩 참여한 논쟁이기 때문이다.''' 맨 먼저 이 문제를 제시한 그란디는 1.1과 1.2의 관점을 동시에 제시하면서 모순된다는 점을 지적하였지만, 여기서 그쳐서 답이 없다는 결론을 내는 대신에 1.3의 무한등비급수를 이용한 관점을 이용해 답은 $$1/2$$라고 주장하였다. 많은 수학자들이 이 $$1/2$$ 논리에 여러 가지로 살을 붙였는데, 라이프니츠는 함수의 연속성에 기대어서 위의

$$\displaystyle (1-x)^{-1} = \sum_{n \ge 0} x^{n}$$

에서 $$x \rightarrow -1$$의 극한을 정당화할 수 있다고 했고, 2.5에 얘기한 확률 주장을 제시하기도 하였다. 물론 야코프 베르누이처럼 역설이라고 한 수학자들도 많았다. 오일러도 양쪽 관점을 다 다루었지만 상당히 $$1/2$$ 쪽으로 기운 결론을 내렸다.
이미 무한급수의 값은 부분합의 수렴값으로 교통정리가 끝난 현대의 관점에서 보면 '''코시의 엡실론-델타 이전의 무한급수에 대한 인식이 얼마나 얼척없었는지'''를 보여주는 한 예로 볼 수 있지만, 이러한 논쟁 때문에 비로소 무한급수 개념을 현대처럼 착오 없이 정립할 필요가 생긴 것이다. 수학사적 관점에서 보면 저 그란디 급수를 생각했던 관점에서 무한급수와 멱급수에 대한 인식이 어떻게 발전했는지를 엿볼 수 있고, 한편으로는 상기한 방식들 중 일부가 무한급수를 다른 방식으로 생각하는 체사로 합(Cesaro sum) 등등의 새로운 관점으로 이어지기도 했다. 이 체사로 합으로도 정의할수 없는 급수를 처리하기 위한 방법 중 하나가 라마누잔합이며, 라이프니츠의 방법도 현대엔 복소해석학을 통해 어느정도 정당화가 가능하다. 복소미분 가능한 함수의 연속성을 이용하면 수렴하지 않는 무한급수에 유일한 값을 지정해 줄 수 있기 때문. 특히 양자장론과 같은 현대물리학에서 '부분합의 수렴값' 정의는 발산하는 값이 너무 자주 튀어나오기 때문에 재규격화라는 과정이 필요한데 이 때 라마누잔합과 같은 정의는 유용하게 쓸 수 있다.

3. 관련 문서

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• 라마누잔합
• 리만 재배열 정리