막의 진동

1. 개요

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'''막의 진동(Vibration of membranes)'''는 물리학에서 막의 끝을 고정시켰을 때 막의 고유 진동 모드를 찾는 문제이다. 물리학과 학부 과정에서 이 문제는 수리물리학에서 편미분 방정식을 배움으로써 논의해보게 된다.
해당 문서에서는 대표적인 '''직사각형 막(Rectangular membranes)'''과 '''원형 막(Circular membranes)'''만 다루고 있다.
이 현상을 볼 수 있는 곳으로는 대표적으로 트램펄린이 있다.

2. 상세

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우리는 이 문제를 해결함에 있어 파동 방정식

$$\displaystyle \nabla^{2} \Psi=\frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} \Psi}{\partial t^{2}} $$

를 사용한다. 이때 파동을 기술하는 함수 $$\Psi$$는 공간을 기술하는 성분 $$\psi(\mathbf{r})$$과 시간을 기술하는 성분 $$T(t)$$의 곱으로 이루어져있다고 생각하고, 변수 분리를 진행한다. 즉,

$$\displaystyle \Psi=\psi(\mathbf{r}) T(t) $$

으로 변수분리를 진행할 것이다. 이것을 위 파동방정식에 대입하면,

$$\displaystyle T \nabla^{2} \psi=\psi \frac{1}{v^{2}} \frac{d^2 T}{d t^2} $$

이고, 양변을 $$\psi T$$로 나누면,

$$\displaystyle \frac{1}{\psi} \nabla^{2} \psi=\frac{1}{v^{2}} \frac{1}{T} \frac{d^2 T}{d t^2}$$

이로써 좌변과 우변은 공간 성분과 시간 성분으로 각각 분리되었다. 이로써 이것을 상수

$$\displaystyle \frac{1}{\psi} \nabla^{2} \psi=\frac{1}{v^{2}} \frac{1}{T} \frac{d^2 T}{d t^2}=-k^{2} $$

와 같다고 놓자. 이때, $$k$$는 자연수이다.[1] $$k^{2}v^{2} \equiv \omega^{2}$$이라 두면 시간 성분에 대해선

$$\displaystyle \frac{d^2 T}{d t^2}+\omega^{2}T=0 $$

[1] $$k$$는 물리학적으로 파수를 나타내며 음수나 0이 될 수 없다.

이고, 이것의 해는 $$T \sim e^{-i \omega t}$$의 꼴이다. 이에 우리는 공간 성분의 해만 찾으면 막의 진동을 기술하는 파동 함수를 얻을 수 있으며, 그 꼴은

$$\displaystyle \Psi \sim \psi e^{-i \omega t} $$

임을 알 수 있다. 따라서 아랫 문단서 부터는 공간 성분의 편미분 방정식

$$\displaystyle \nabla^{2} \psi+k^{2} \psi=0 $$

을 푸는데 집중한다. 참고적으로 위의 꼴의 방정식을 헬름홀츠 방정식이라 한다.

2.1. 직사각형 막

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이 문단에서는 $$xy$$평면 위에 가로의 길이가 $$a$$, 세로의 길이가 $$b$$인 직사각형 막이 있다고 생각해보자. 문제 특성 상 분석이 가장 용이한 3차원 직교 좌표계를 고려하고, 막의 끝은 모두 고정되어 있음에 따라

$$\displaystyle \psi(x=0)=\psi(x=a)=\psi(y=0)=\psi(y=b)=0 $$

이 경계 조건으로 사용된다.
파동 함수의 공간 성분을 $$x$$축 성분 $$X(x)$$, $$y$$축 성분 $$Y(y)$$의 곱으로 변수 분리한다. 즉,

$$\displaystyle \psi(x,\,y)=X(x)Y(y) $$

따라서 위의 파동 방정식에 대입하면,

$$\displaystyle Y\frac{d^{2}X}{dx^{2}}+X\frac{d^{2}Y}{dy^{2}}+k^{2}XY=0 $$

양변을 $$XY$$로 나눠주면,

$$\displaystyle \frac{1}{X}\frac{d^{2}X}{dx^{2}}+\frac{1}{Y}\frac{d^{2}Y}{dy^{2}}+k^{2}=0 $$

이때,

$$\displaystyle \frac{1}{X}\frac{d^{2}X}{dx^{2}} \equiv -k_{m}^{2} \qquad \qquad k^{2}-k_{m}^{2} \equiv k_{n}^{2} $$

이라 놓으면,

$$\displaystyle \frac{1}{Y}\frac{d^{2}Y}{dy^{2}}=-k_{n}^{2} $$

으로 쓸 수 있고, 이상에서 $$X \sim e^{ik_{m}x}$$, $$Y \sim e^{ik_{n}y}$$이므로 결국 파동 방정식의 형태는

$$\displaystyle \Psi=\begin{Bmatrix} \sin{k_{m}x} \\ \cos{k_{m}x} \end{Bmatrix} \begin{Bmatrix} \sin{k_{n}y} \\ \cos{k_{n}y} \end{Bmatrix} e^{-i \omega_{m,n} t} $$

임을 알 수 있다. 여기서

$$\displaystyle \omega_{m,n}^{2}=(k_{m}^{2}+k_{n}^{2})v^{2} $$

이다. 그런데 경계 조건에 의해 $$\psi(x=0)=\psi(y=0)=0$$에서 공간 성분에서 Cosine 항은 해가 될 수 없다는 것을 얻는다. 또한, $$\psi(x=a)=\psi(y=b)=0$$에서

$$\displaystyle k_{m}a=\frac{m \pi}{2}\,( m \in \mathbb{N}) \qquad \qquad k_{n}b=\frac{n \pi}{2}\,( n \in \mathbb{N}) $$

이상에서 사각형 막을 기술하는 파동 함수는

$$\displaystyle \Psi=\sum_{mn} A_{m,n}\sin{\left( \frac{m \pi x}{2a} \right)} \sin{\left( \frac{m \pi x}{2a} \right)} \exp{\left(- \frac{ivt}{2} \sqrt{\frac{m^{2}}{a^{2}}+\frac{n^{2}}{b^{2} }} \right )} $$

임을 알 수 있다. 여기서 $$A_{m,n}$$은 각 진동 모드의 진폭이라 해석할 수 있는 상수이다. 이에 사각형 막의 진동은 다음의 고유 진동 모드

$$\displaystyle \Psi_{m,n}=A_{m,n} \sin{\left( \frac{m \pi x}{2a} \right)} \sin{\left( \frac{m \pi x}{2a} \right)} \exp{\left(- \frac{ivt}{2} \sqrt{\frac{m^{2}}{a^{2}}+\frac{n^{2}}{b^{2} }} \right )} $$

의 합으로 주어지고, 각 고유 진동 모드의 각진동수는

$$\displaystyle \omega_{m,n}=\frac{v}{2} \sqrt{\frac{m^{2}}{a^{2}}+\frac{n^{2}}{b^{2} }} \,\, ( m,\,n \in \mathbb{N}) $$

임을 알 수 있다. 참고적으로 $$a=b \equiv c$$일 때 각 고유 진동 모드의 각진동수는

$$\displaystyle \omega_{m,n}=\frac{v}{2c} \sqrt{{m^{2}}+{n^{2} }} \,\, ( m,\,n \in \mathbb{N}) $$

으로 축퇴(Degeneracy)가 일어날 수 있음을 알 수 있다.
이곳에서 직사각형 막의 고유 진동 양상을 볼 수 있다.

2.2. 원형 막

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이 문단에서는 $$xy$$평면 위에 반지름의 길이가 $$R$$인 원형 막이 있다고 생각해보자. 문제 특성 상 분석이 가장 용이한 3차원 원통 좌표계를 고려하고, 막의 끝은 모두 고정되어 있음에 따라

$$\displaystyle \psi(\rho=R)=0 $$

이 경계 조건으로 사용된다.
파동 함수의 공간 성분을 $$\rho$$ 성분 $$\Rho(\rho)$$, $$\phi$$ 성분 $$\Phi(\phi)$$의 곱으로 변수 분리한다. 즉,

$$\displaystyle \psi(\rho,\,\phi)=\Rho(\rho) \Phi(\phi) $$

따라서 위의 파동 방정식에 대입하면,

$$\displaystyle \frac{\Phi}{\rho}\frac{d}{d \rho} \left( \rho \frac{d\Rho}{d \rho} \right)+\frac{\Rho}{\rho^{2}}\frac{d^{2} \Phi}{d \phi^{2}}+k^{2}\Rho \Phi=0 $$

양변을 $$\Rho \Phi$$로 나누고, $$\rho^{2}$$을 곱하면,

$$\displaystyle \frac{\rho}{\Rho}\frac{d}{d \rho} \left( \rho \frac{d\Rho}{d \rho} \right)+k^{2} \rho^{2}+ \frac{1}{\Phi}\frac{d^{2} \Phi}{d \phi^{2}}=0 $$

이것을 정리하여 아래와 같이 쓰면,

$$\displaystyle \frac{\rho}{\Rho}\frac{d}{d \rho} \left( \rho \frac{d\Rho}{d \rho} \right)+k^{2} \rho^{2}=- \frac{1}{\Phi}\frac{d^{2} \Phi}{d \phi^{2}}=m^{2} $$

이 되고, $$\phi$$ 성분에 대하여

$$\displaystyle - \frac{1}{\Phi}\frac{d^{2} \Phi}{d \phi^{2}}=m^{2} $$

이므로 $$\phi \sim e^{i m \phi}$$임을 얻을 수 있다. 여기서 $$e^{i m \phi}=e^{im (2 \pi+\phi )}$$이어야 함을 고려하면, $$m$$은 0을 포함한 자연수만 가능함을 알 수 있다. 한편, $$\rho$$ 성분은

$$\displaystyle \rho^{2} \frac{d^2 \Rho}{d \rho^{2}}+\rho \frac{d \Rho}{d \rho}+(k^{2} \rho^{2}-m^{2})\Rho=0 $$

이고, 이 방정식은 베셀 방정식이다. 따라서 우리는 원형 막의 진동을 기술하는 파동 함수의 형태가

$$\displaystyle \Psi=\begin{Bmatrix} J_{m}(k \rho)\\Y_{m}(k \rho) \end{Bmatrix} \begin{Bmatrix} \sin{m \phi}\\\cos{m \phi} \end{Bmatrix} e^{-i \omega t} $$

임을 알 수 있다. $$J_{m}(k \rho)$$, $$Y_{m}(k \rho)$$는 각각 베셀 함수, 노이먼 함수이다. 그러나 노이먼 함수는 $$ \rho \to 0$$, $$Y_{m}(k \rho) \to -\infty$$인 특성이 있어 우리가 현재 다루고 있는 물리적인 상황과 꽤 먼 거리에 있는 함수이기 때문에 이를 제외해야 하고, $$\Psi(\rho=R)=0$$임을 고려하면,

$$\displaystyle J_{m}(kR)=0 $$

이어야 한다. 따라서

$$\displaystyle kR \equiv j_{m,n} $$

로 둘 수 있다. $$j_{m,n}$$은 $$J_{m}(kr)$$의 $$n$$번째 영점이다. 이상에서 우리는 원형막을 기술하는 파동 함수가

$$\displaystyle \Psi=\sum_{mn} A_{mn} J_{m} \left( \frac{\omega_{m,n}}{R v}\rho \right) \sin{(m \phi)} \exp{\left( -\frac{i \omega_{m,n}}{R} \right)}+\sum_{mn} B_{mn} J_{m} \left( \frac{\omega_{m,n}}{R v}\rho \right) \cos{(m \phi)} \exp{\left( -\frac{i \omega_{m,n} t}{R} \right)} $$

으로 주어진다는 것을 얻는다. 여기서 $$\omega_{m,n} \equiv j_{m,n} v/R$$이다. 이에 직사각형 막과 마찬가지로 고유 진동 모드

[math(\displaystyle \begin{aligned} \Psi_{mn}^{(1)} &=A_{mn} J_{m} \left( \frac{\omega_{m,n}}{R v}\rho \right) \sin{(m \phi)} \exp{\left( -\frac{i \omega_{m,n} t}{R} \right)} \\ \Psi_{mn}^{(2)} &=B_{mn} J_{m} \left( \frac{\omega_{m,n}}{R v}\rho \right) \cos{(m \phi)} \exp{\left( -\frac{i \omega_{m,n} t}{R} \right)} \end{aligned}

)]

의 합으로 주어진다는 것을 얻는다. 이때, 위에서 나왔듯 각 고유 진동 모드의 각진동수는

[math(\displaystyle \omega_{m,n} = \frac{j_{m,n}v}{R}

)]

이다.
이곳에서 원형 막의 고유 진동 모드 양상을 볼 수 있다.(다만, 가장 바깥쪽 흰색 원형 선까지의 영역만 유효하다.)

3. 기타

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• 각종 수치해석 프로그램을 이용하면, 임의의 모양의 막의 고유 진동 모드를 구할 수 있다.
• 수치해석 프로그램으로 유명한 MATLAB의 로고는 'L'자 막의 한 고유 진동 모드를 나타내고 있으며, 홈페이지에서 MATLAB의 로고를 재현할 수 있는 법을 소개하고 있다.#

4. 관련 문서

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• 물리학 관련 정보
• 파동
• 단진동