모노이드

'''Monoid'''

1. 개요

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대수학에서 다루는 대수적 구조의 일종으로, 군이나 환보다 약한 조건으로 정의된다.

2. 정의

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$M$과 그 위의 이항연산$*$[1]에 대해, $\left(M,*, e\right)$가 모노이드(monoid)라 함은 다음을 만족하는 것이다.

(결합법칙; associativity) 임의의 $a,b,c\in M$에 대해, $a*\left(b*c\right)=\left(a*b\right)*c$

(항등원의 존재; identity) 적절한 $e\in M$이 존재하여[2]

, 임의의 $a$에 대해, $a*e=a=e*a$

이는, 군에서 역원의 존재성이 빠진 것이다. 즉, 모든 군은 모노이드이다. 군이 아닌 모노이드들 중 가장 대표적인 것이, 덧셈에 대해([math(0)]을 포함하는) $\mathbb{N}$이다. 곱셈에 대해서 $\mathbb{Z}$도 군이 아닌 모노이드이다.

3. 자유 모노이드(free monoid)

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자유 모노이드는 집합 $X$위에서 정의된다.집합 $X$에 대한 자유 모노이드 $F\left(X\right)$[3]는 $X$의 원소들로 이루어진 단어[4]들로 구성되며, 연산은 붙여쓰기(juxtaposition)이다. 그리고 항등원은 빈 문자열$e=\left[\right]$이다. 예를 들어, $X=\left\{a,b\right\}$에 대해, 다음이 성립한다.

$\left[\right],\left[a\right],\left[b\right]\,\left[babaa\right]\in F\left(X\right)$

$\left[ababa\right]*\left[abaaaaaaa\right]=\left[ababaabaaaaaaa\right]$

$\left|X\right|>1$이면 $F\left(X\right)$는 비가환이고, $\left|X\right|=1$이면 $F\left(X\right)=N$, $\left|X\right|=0$이면 $F\left(X\right)=\left\{\left[\right]\right\}$이다.

4. 가환 모노이드의 그로센딕 확장(Grothendieck extension)

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모노이드 $M$에 대해, $M^{2}$위의 동치류 $\equiv$를 다음과 같이 정의한다.

TFAE

$\left(a,b\right)\equiv\left(x,y\right)$

$\exists m\in M aym=bxm$[5]

그리고 $~$에 의한 $\left(a,b\right)$의 동치류를 $\left[a,b\right]\in M^{2}/\equiv$라 하자. 이 위의 연산 $\cdot$을 $\left[a,b\right]\cdot \left[x,y\right]=\left[ax,by\right]$라 주면, 이는 결합적이고$[e,e]$이 항등원으로 가지며, $[a,b]$의 역원은 $[b,a]$이다. 즉, $\left(M^{2}/\equiv,\cdot\right)$은 군이다.

[1] *는 곱셈을 의미하는 것이 아니다.

[2] 여기서 $e$를 항등원이라 한다. 자연로그의 밑이 아니다.

[3] 이 표현은 군, 가군 등 모든 free object를 표현하는 데에 쓰인다.

[4] 단어를 다음과 같이 묶어서 표시한다. $\displaystyle \left[\cdot\right]$

[5] 이것이 동치관계인 것을 보이는 것은 아주 쉽다. $m$의 존재성은 추이성을 보일 때 쓰인다.