모노이드
'''Monoid'''
1. 개요
대수학에서 다루는 대수적 구조의 일종으로, 군이나 환보다 약한 조건으로 정의된다.
2. 정의
$$M$$과 그 위의 이항연산$$*$$[1]에 대해, $$\left(M,*, e\right)$$가 모노이드(monoid)라 함은 다음을 만족하는 것이다.
(결합법칙; associativity) 임의의 $$a,b,c\in M$$에 대해, $$a*\left(b*c\right)=\left(a*b\right)*c$$
이는, 군에서 역원의 존재성이 빠진 것이다. 즉, 모든 군은 모노이드이다. 군이 아닌 모노이드들 중 가장 대표적인 것이, 덧셈에 대해([math(0)]을 포함하는) $$\mathbb{N}$$이다. 곱셈에 대해서 $$\mathbb{Z}$$도 군이 아닌 모노이드이다.(항등원의 존재; identity) 적절한 $$e\in M$$이 존재하여[2]
, 임의의 $$a$$에 대해, $$a*e=a=e*a$$
3. 자유 모노이드(free monoid)
자유 모노이드는 집합 $$X$$위에서 정의된다.집합 $$X$$에 대한 자유 모노이드 $$F\left(X\right)$$[3]는 $$X$$의 원소들로 이루어진 단어[4]들로 구성되며, 연산은 붙여쓰기(juxtaposition)이다. 그리고 항등원은 빈 문자열$$e=\left[\right]$$이다. 예를 들어, $$X=\left\{a,b\right\}$$에 대해, 다음이 성립한다.
$$\left|X\right|>1$$이면 $$F\left(X\right)$$는 비가환이고, $$\left|X\right|=1$$이면 $$F\left(X\right)=N$$, $$\left|X\right|=0$$이면 $$F\left(X\right)=\left\{\left[\right]\right\}$$이다.$$\left[\right],\left[a\right],\left[b\right]\,\left[babaa\right]\in F\left(X\right)$$
$$\left[ababa\right]*\left[abaaaaaaa\right]=\left[ababaabaaaaaaa\right]$$
4. 가환 모노이드의 그로센딕 확장(Grothendieck extension)
모노이드 $$M$$에 대해, $$M^{2}$$위의 동치류 $$\equiv$$를 다음과 같이 정의한다.
그리고 $$~$$에 의한 $$\left(a,b\right)$$의 동치류를 $$\left[a,b\right]\in M^{2}/\equiv$$라 하자. 이 위의 연산 $$\cdot$$을 $$\left[a,b\right]\cdot \left[x,y\right]=\left[ax,by\right]$$라 주면, 이는 결합적이고$$[e,e]$$이 항등원으로 가지며, $$[a,b]$$의 역원은 $$[b,a]$$이다. 즉, $$\left(M^{2}/\equiv,\cdot\right)$$은 군이다.$$\left(a,b\right)\equiv\left(x,y\right)$$
$$\exists m\in M aym=bxm$$[5]
[1] *는 곱셈을 의미하는 것이 아니다.[2] 여기서 $$e$$를 항등원이라 한다. 자연로그의 밑이 아니다.[3] 이 표현은 군, 가군 등 모든 free object를 표현하는 데에 쓰인다. [4] 단어를 다음과 같이 묶어서 표시한다. $$\displaystyle \left[\cdot\right]$$[5] 이것이 동치관계인 것을 보이는 것은 아주 쉽다. $$m$$의 존재성은 추이성을 보일 때 쓰인다.