대수학
1. 개요
代數學 / Algebra
초중등교육 수준의 대수학이란 수학 문제를 간단하게 만드는 기술들, 그러니까 미지수에 변수를 "대입"하는 기술, 그리고 이를 "계산"하는 기술[1], 그리고 마침내 "방정식을 푸는" 기술이다. 하지만 현대에서 '대수학'이라는 것이 무엇을 말하는지를 수학적으로 제대로 정의내리려면 역사를 더듬어 올라가야 한다.
대수적 구조를 연구하는 학문으로, 대수적 구조란 쉽게 말해 '연산'의 구조다. 임의의 집합에 특정 연산을 조건에 맞게 정의하면 대수적 구조가 된다. 학부 때 해석학과 함께 수학의 양대산맥을 이루는 분야인데 해석학이 디테일한 테크닉에 집중된 스타일이라면 대수학은 추상적인 논리 위주의 분야라고 볼 수 있다. 물론 학부 때로 한정되는 이야기고 대학원 가면 결국 타 분야에서 대수적 구조가 발생하지 않을 이유가 없으므로 섞이게 된다.
대수학의 분야로는 표현론, 가환대수학, 대수적 정수론, 대수기하학 등이 있다.
현대대수학이 발전하는 과정에서 발달하게 된 것이 군론이며 추상대수학의 기본이 되는 분야다. 역사적으로도 19세기 추상대수학이 태동할 때 처음 개발된 분야다. 사실상 추상대수학 자체가 군론에서 뻗어나간 결과물이라고 보아도 무방하다.
2. 역사
대수학의 시작은 아부 압둘라 무하마드 이븐 무사 알콰리즈미(أبو عبد الله محمد بن موسى الخوارزمي, Abū ʿAbdallāh Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī)로 거슬러 올라간다. 9세기 초 페르시아의 수도 바그다드에서 활동한 학자였던 알콰리즈미는 복원과 상쇄의 책(al-Kitab al-mukhtasar fi hisab al-jabr wa'l-muqabala)을 집필하면서 ''조각난 부분들의 재결합을 의미하는 단어 al-jabr'' 를 통해서 ''방정식의 개념과 해법을 최초로 소개''했다.[2] 이 때문에 알콰리즈미는 대수학의 아버지라고 불리고, al-jabr의 라틴어 번역인 algebra는 대수학이 되었고, 알콰리즈미를 라틴어식으로 읽은 알고리스무스(Algorismus)에서 알고리즘(algorithm)이 파생되어 나왔다. 이 다음에 쓴 그의 책 Algoritmi de numero Indorum는 ''인도의 숫자''를 아라비아에 전파해서 ''아라비아 숫자''라는 명칭을 만들어낸 대표적인 책이다.[3]
알콰리즈미 이후에 인도와 중국 등지에서 음수의 개념이 전해졌고, 이후 지롤라모 카르다노와 그의 제자 로도비코 페라리에 의해서 음의 근 개념과 3차와 4차 방정식이 추가되는 등 방정식의 계산법에 대한 연구가 이어졌다.
이와같이 이 당시까지만 하더라도 대수학은 크게 '계산방법', 그리고 '다항방정식을 푸는 방법', 이 두가지가 큰 축을 이루고 있는 일종의 '테크닉', '기술'에 가까운 영역이었다(물론 그 기술의 대상이 정량적인 것이었지만).[4]
그러나 이후 프랑수아 비에트에 의해서 변수의 개념이 도입되게 되고, 이는 큰 전환점이 되어 대수학은 이전까지의 ''산수방법''에 불과했던 학문에서 ''연산의 성질을 연역적이고 엄밀한 논리를 이용하여 탐구''하는 학문으로 진화하게 되었다. 또한 변수가 도입됨에 따라 '계산 기술'과 함께 역사적으로 대수학에서 항상 가장 중요한 주제 중 하나였던 '방정식의 해결법'에 대한 탐구도 이전과는 달리 엄밀하고 더 깊은 수준 이루어지기 시작하였다.
이렇게 다항방정식에 대한 탐구가 가속을 받으며, 마침내 19세기에 닐스 헨리크 아벨이 5차 이상의 다항방정식의 일반해 공식은 찾을 수 없다는 것을 증명하게 된다. 이 업적은 대수학에서의 추가적인 전환점이 되어 대수학에서 방정식에 대한 탐구 방향이 갈루아 등에 의해 방정식 내부의 숨은 원리를 찾는 방향으로 진행되도록 만든다.
이러한 역사적 과정을 거쳐 현대의 대수학은 일반적으로 '''대수적 구조를 연구하는 학문 분야'''로 정의되고 있다. 대수적 구조란 집합에 그것의 원소들을 변화시키는 함수들(연산자)이 주어진 것이다. 대수적 구조의 예시로, 반군(semigroup), 군(group), 환(ring), 가군(module), 체(field), 벡터 공간(vector space), 격자(lattice) 등이 있다.
3. 교육
3.1. 초중등교육에서
출처 논문
- 초등학교: 다양한 경험을 통하여 수 개념을 형성하도록 한다. 덧셈과 곱셈 등 연산의 이해, 기초 계산 능력을 기르는 데 중점을 둔다. 이러한 과정에서 수학의 유용성을 인식하고, 수의 활용 가치를 알 수 있도록 한다.
- 중학교: 자연수의 개념이 정수, 유리수, 실수 개념으로 확장되며, 이러한 수에 관한 연산 능력을 기른다. 또한 문자를 사용하여 여러 가지 상황을 간단한 식으로 나타냄으로써 대수의 가치를 인식하게 한다.
- 고등학교: 집합과 명제를 이해하고, 이를 통하여 수학적 명제를 논리적으로 다룰 수 있게 한다. 실수에서 복소수로 수 개념을 확장하고 이에 관한 연산 능력을 배양한다. 다항식, 유리식, 무리식에 관한 연산도 할 수 있도록 하고, 이차 방정식 등 다양한 방정식의 근에 관하여 이해하게 한다.
3.2. 고등교육에서
3.2.1. 학부
3학년 때 현대대수(학), 또는 추상대수(학)이라는 이름으로 기본적인 군론과 환론을 시작으로 배우는데, 교재들이 모두 해석학처럼 집합과 대수를 먼저 빠르게 다룬 후, 대수를 보다 적극적으로 활용하여 추상적으로 배우기 때문에 초심자 입장에서 추상적일수록 어렵게 느껴지긴 하지만, 이쪽을 선호하는 교수들이 많아지면서 어쩔 수 없게 되었다. 대표적으로 Fraleigh 등... 현대대수학에서는 후반부에 가면 선형대수학을 선수과목으로 요구하나, 전반부는 정수론 외엔 딱히 선수과목이 없다. 그래서 선형대수, 현대대수를 각각 두 학기에 나눠 가르치는 학교에서 현대대수를 일찍 시작한다면 2학년 1학기에 정수론과 선대I를 먼저 공부한 다음 2학년 2학기에 선대II를 하면서 현대I을 같이 시작하기도 하는데, 이렇게 하지 않고 정석적으로 3학년 때 현대대수를 시작하면 전에 가르쳐준거 그새 까먹었냐는 꾸지람이 난무한다.
일반적으로 대학교의 현대대수학 수업은 두 학기에 걸쳐 진행되는데 첫 학기에는 군, 환 등을 배우고 최종적으로 3대 작도 불능 문제를 증명한다.[5] 두 번째 학기에는 갈루아 이론을 배우고 이때 5차 이상의 방정식이 insolvable by radicals, 즉 유한개의 근호와 유리수, 그리고 사칙연산으로 풀리지 않음을 증명한다.
물론 여기까지 배워도 여전히 걸음마 단계이다. 그러나 이 학부 수준의 대수학은 나중에 가면 해석학과 함께 많이 사용하는 툴이 된다. 예를 들어 대수적 정수론의 첫 장을 펴려면 갈루아 이론을 알아야 한다거나.
대체로 학부 수준 대수학 입문 과정에서는 추상적이긴 해도 직관적으로 이해하기 쉬운 부분이 많아서 사람에 따라선 쉽다고 느껴질 수 있고, 경우에 따라선 뭐 이렇게 당연한 것을 증명하고 앉아있냐고 생각할 수도 있지만, 그런 과정을 하나하나 쌓는 것을 소홀히 하면 가면 갈수록 쏟아져 나오는 개념의 정의와 정리에 당황하게 된다. 오히려 학부 과정에서 많은 수학도가 고통받는 해석학은 언뜻 보면 시작부터 비직관적인 정의나 개념이 쏟아져나온다 뿐이지 해석학적인 사고방식에 익숙해지면 비교적 수월해지는 편이다.
3.2.2. 대학원
이후에는 수학과의 석사 1년차에 이것들을 더욱 심화되게 배우는 "대수학"이 나오는데, 다루는 내용은 다음과 같다.
- 군론: 자유군, 실로우 정리, 가해군, 정규고리, 호몰로지 대수의 기초, 군 표현론의 기초
- 가군론: 가환환, 자유가군, 벡터 공간, 사영가군, 단사가군 등. 선형대수학과 연관이 깊다.
- 환론: 국소환, 뇌터 환, 기초 대수기하학 등.
- 체론: 체의 정규확장, 분리확장, 갈루아 정리, 원분체, 가해확장 등
- 범주론(카테고리 이론)