베르누이 미분방정식
Bernoulli differential equation
베르누이 미분방정식은 $$y$$가 $$t$$의 함수일 때 다음과 같이 표현되는 비선형 1계 상미분 방정식이다.
$$y'(t) + p(t) y(t) = q(t) y(t)^n\qquad(n\neq 0, 1)$$[1]
이 방정식은 1695년 이를 처음으로 연구한 야코프 베르누이의 이름을 붙였다. 베르누이 미분방정식은 비선형 상미분방정식임에도 일반해를 구하는 방법이 알려져 있는 특수한 경우이다. 로지스틱 방정식은 베르누이 미분방정식의 한 예다.
자명해가 아닌 해를 구하려면 양변을 $$y^n$$로 나누고 $$\displaystyle u = \frac{1}{y^{n-1}}$$로 치환하여 다음과 같은 선형 상미분방정식으로 변환한다.
$$u'(t) + (1-n) p(t) u(t) = (1-n) q(t)$$
이렇게 치환된 문제는 적분인자를 사용한 해법으로 쉽게 해를 구할 수 있다. 이 치환된 문제의 해를 $$u^*(t)$$라 하면 베르누이 미분방정식의 해는 $$\displaystyle y(t) = \Big[u^*(t)\Big]^{\frac{1}{1-n}}$$이다.
풀이를 쉽게 하기 위해 위의 식에서 $$P(t) = (1-n) p(t)$$라고 하고 $$Q(t)=(1-n)q(t)$$라고 하면 적분인자는 $$\displaystyle e^{\int P(t)\,\mathrm{d}t}$$이고, 이로부터 $$u^*(t)$$를 다음과 같이 얻을 수 있다.
$$\displaystyle u^*(t) = \frac{\int e^{\int P(t)\,\mathrm{d}t} Q(t)\,\mathrm{d}t + C}{e^{\int P(t)\,\mathrm{d}t}} = \frac{(1-n)\int e^{(1-n)\int p(t)\,\mathrm{d}t} q(t)\,\mathrm{d}t + C}{e^{(1-n)\int p(t)\,\mathrm{d}t}}$$
따라서 초기조건에 따라 적분상수 $$C$$를 적당한 값으로 정해주면 $$y(t)$$는 다음과 같다.
$$\displaystyle y(t) = \left[ \frac{(1-n)\int e^{(1-n)\int p(t)\,\mathrm{d}t} q(t)\,\mathrm{d}t + C}{e^{(1-n)\int p(t)\,\mathrm{d}t}}\right]^{\frac{1}{1-n}}$$
1. 개요
베르누이 미분방정식은 $$y$$가 $$t$$의 함수일 때 다음과 같이 표현되는 비선형 1계 상미분 방정식이다.
$$y'(t) + p(t) y(t) = q(t) y(t)^n\qquad(n\neq 0, 1)$$[1]
이 방정식은 1695년 이를 처음으로 연구한 야코프 베르누이의 이름을 붙였다. 베르누이 미분방정식은 비선형 상미분방정식임에도 일반해를 구하는 방법이 알려져 있는 특수한 경우이다. 로지스틱 방정식은 베르누이 미분방정식의 한 예다.
2. 해법
자명해가 아닌 해를 구하려면 양변을 $$y^n$$로 나누고 $$\displaystyle u = \frac{1}{y^{n-1}}$$로 치환하여 다음과 같은 선형 상미분방정식으로 변환한다.
$$u'(t) + (1-n) p(t) u(t) = (1-n) q(t)$$
이렇게 치환된 문제는 적분인자를 사용한 해법으로 쉽게 해를 구할 수 있다. 이 치환된 문제의 해를 $$u^*(t)$$라 하면 베르누이 미분방정식의 해는 $$\displaystyle y(t) = \Big[u^*(t)\Big]^{\frac{1}{1-n}}$$이다.
풀이를 쉽게 하기 위해 위의 식에서 $$P(t) = (1-n) p(t)$$라고 하고 $$Q(t)=(1-n)q(t)$$라고 하면 적분인자는 $$\displaystyle e^{\int P(t)\,\mathrm{d}t}$$이고, 이로부터 $$u^*(t)$$를 다음과 같이 얻을 수 있다.
$$\displaystyle u^*(t) = \frac{\int e^{\int P(t)\,\mathrm{d}t} Q(t)\,\mathrm{d}t + C}{e^{\int P(t)\,\mathrm{d}t}} = \frac{(1-n)\int e^{(1-n)\int p(t)\,\mathrm{d}t} q(t)\,\mathrm{d}t + C}{e^{(1-n)\int p(t)\,\mathrm{d}t}}$$
따라서 초기조건에 따라 적분상수 $$C$$를 적당한 값으로 정해주면 $$y(t)$$는 다음과 같다.
$$\displaystyle y(t) = \left[ \frac{(1-n)\int e^{(1-n)\int p(t)\,\mathrm{d}t} q(t)\,\mathrm{d}t + C}{e^{(1-n)\int p(t)\,\mathrm{d}t}}\right]^{\frac{1}{1-n}}$$
[1] 여기서 $$n=0$$ 또는 $$n=1$$이면 선형 1계 상미분 방정식으로 쉽게 풀린다.