미분방정식

 


1. 개요
2. 설명
2.1. 미분방정식의 의미
2.2. 풀이의 어려움
2.3. 교육과정에서
3. 초기값 문제(IVP)와 경계값 문제(BVP)
5. 여담
6. 관련 문서


1. 개요

微分方程式 / Differential equation
미지의 함수와 그 함수의 도함수들로 이루어져 있는 방정식. 보통 미방이라고 줄여서 부른다. 미지함수가 일변수이면 상미분항만을 포함한 상미분방정식(常微分方程式, Ordinary Differential Equation; ODE)이 되고, 두 개 이상의 변수를 갖는 미지함수와 이에 대한 편미분항들이 등장하면 편미분방정식(偏微分方程式, Partial Differential Equation; PDE)이라고 한다.
공업수학, 수리물리학처럼 한 교재 내에서 몇 개의 단원으로 존재하는 곳도 있고 수학과처럼 미분방정식 자체가 단일과목[1]인 경우도 있다.

2. 설명


2.1. 미분방정식의 의미

미분은 연속적으로 변화하는 대상을 수학적으로 분석하기 위한 도구이다. 미분은 함수의 변화율을 구한다는 의미를 가진다. 변화율은 독립변수의 변화량 대비 종속변수의 변화량의 비율로 이 비율을 한 점에서 계산한 것을 그 점에서의 미분계수라 하고, 이 값들로 원래 함수의 정의역에서 다시 함수를 만든 것을 도함수라 하는데, 함수의 변화율을 이해하면 단순히 함수값을 구하는 걸 넘어 함수값의 변화를 예측할 수 있고 함수의 구조를 파악할 수 있어 함수를 보다 깊이 이해할 수 있게 된다.
그러나 우리가 모르는 대상을 이해하려고 하는데 거기에 "사실 나 이런 함수니까 미분하셈 문제 끝!" 하고 적혀있을 리가 없다! 그래서 현실에선 함수가 뭔지 모른 채 함숫값과 변화율만이 주어지고 오히려 이를 통해 원래 함수를 추리해야 하는 경우가 대부분이다. 만약 미지의 함수와 이 함수의 도함수 간에 일련의 법칙이 존재한다면, 이를 미분방정식으로 기술할 수 있다. 그리고 미분방정식을 풀게 되면 해당 법칙을 만족하는 구체적인 함수를 알 수 있다. 때문에 미분방정식은 '''대상에 존재하는 법칙이나 원리를 알아내기 위한 수학적 도구'''로 쓰이는데, 먼저 관찰과 실험을 통해 데이터를 모으고, 이 데이터를 통해 대상에 대한 개연성있는 수학적 모델을 설정하면, 미분방정식이란 수학적 도구를 통해 주어진 모델을 만족하는 함수를 결정할 수 있다. 이렇게 찾아낸 함수가 관찰과 실험을 구해낸 데이터와 일치한다면, 결국 이 함수가 대상을 설명하는 설득력이 있는 수학적 법칙이라고 볼 수 있지 않겠냐는 것이다.
그런데 이런 설명은 과학적 방법론에 대한 설명과 똑같은데, 그럴 수 밖에 없는게 미분방정식은 아이작 뉴턴이 물리학과 함께 낳은 과학의 쌍둥이 주인공 중 하나로, 뉴턴 이후에 이어지는 과학혁명의 거의 모든 과정에 막대한 영향을 미쳤기 때문이다. 미분방정식은 뉴턴의 운동법칙에서 운동방정식을 분석하는 도구로 쓰이는데, 가속도의 법칙에 따르면 물체가 받는 힘에 비례해 속도(위치의 시간당 변화율)가 변화한다.[2] 따라서 물체에 작용하는 힘의 법칙을 알면, 시간이 변수인 위치 함수 $$ x(t) $$를 따르는 미분방정식을 세울 수 있다. 예를 들어서 스프링에 매달린 물체의 경우 힘은 위치에 비례하므로($$F = -kx$$, 훅의 법칙), 다음과 같은 운동방정식

$$\displaystyle m\dfrac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2} = -kx $$[3]
[1] 상미분방정식 + 약간의 심화를 합쳐서 보통 한 학기로 끝낸다. 공과대학이나 물리학과처럼 편미분방정식도 한도끝도 없이 물고 늘어지기엔 도저히 여유가 없다. 수학과에서 편미분방정식을 다루는 시점은 학부 말이나 대학원 진학 후.[2] $$\mathbf{F} = m \mathbf{a}$$, 가속도 $$\mathbf{a}$$는 속도의 변화율이므로 속도 $$\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$$를 시간에 대해 미분한 $$\dfrac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2}$$[3] $$x=f(t)$$라고 하면 $$mf''(t)=-kf(t)$$인 함수 $$f(t)$$가 있는가를 구하는 문제이다. 고등학생 수준에서 설명하자면, 좌변은 질량 곱하기 위치 미분 두 번 이고 우변은 복원력이니 결국 $$ma=F$$ 이다. 그러니까 뉴턴 방정식에 훅의 법칙을 넣은 거다.
를 만족한다. 그런데 이 식은 $$ x'' = Cx$$의 형태이므로 ($$C$$는 임의의 상수) $$ x = Ce^{at}$$의 형태로 표시할 수 있고, 이걸 식에 대입하면 $$a = \sqrt{-\dfrac{k}{m}} $$가 나온다. 그러므로

$$\displaystyle f(t) = C_1e^{i\sqrt{\frac{k}{m}}t} + C_2e^ {-i\sqrt{\frac{k}{m}}t} $$
이 된다. 그런데 [math(e^{ikx}=\cos(kx)+i\sin(kx))]이므로

$$\displaystyle f(t) = A\cos\omega t + B\sin\omega t\qquad\left(\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}} , A=C_1+C_2 , B=C_1i-C_2i\right) $$
의 형태로 쓸 수 있다.
그러므로 이상적인 스프링에 매달린 물체가 정현파(사인파) 진동을 한다는 것을 알 수 있다. 여기서 만약에 한 걸음 더 나아가서 코사인 방정식을 사용하여 식을 정리한다면, 스프링을 어떻게 세팅해 놓았냐에 따라서 변화하거나 유지되는 진폭을 볼 수 있으며 $$\omega$$를 이용해 스프링의 진동수 혹은 주기를 구해낼 수 있다.
이후에도 수많은 자연현상과 사회현상을 과학적 모델과 미분방정식을 통해 이해할 수 있었는데, 예를 들어, 전하의 움직임이 전혀 없는 정전기적 상황에서 전위 V는 푸아송 방정식을 따르며, 보다 일반적인 상황인 전기역학을 기술하는 미분방정식은 전기장과 자기장에 관한 맥스웰 방정식이다. 한편 유체역학에서는 유체의 운동 방정식을 가장 일반적으로 정리한 것이 나비에-스톡스 방정식인데, 이는 7개의 밀레니엄 문제 중의 하나에 속해있는 난제이다. 비단 물리학뿐만 아니라 화학에서는 화학반응의 속도를 계산하는 데에 쓰이고, 생물학에서는 먹이사슬에서 생물군집의 개체수 변화를 미분방정식으로 분석할 수 있다.

[math(\displaystyle \begin{cases}
\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = x(\alpha - \beta y) \\
\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = -y(\gamma - \delta x)
\end{cases} )]
생물학 전공자가 쓰는 미분방정식의 예. 연립미분방정식의 형태다. 로트카-볼테라 방정식이라 불리며 $$x$$는 피식자의 수, $$y$$는 포식자의 수를 나타낸다.
미분방정식은 자연과학/공학뿐만이 아니라 다른 학문들에도 매우 광범위하게 등장한다. 사회학에서는 인구증감의 이론[4]에서, 경제학 및 재무관리에서는 선물(2번 항목), 옵션 등의 파생상품의 가격을 계산하는 데에 등장한다. 상경계 학문에서 가장 유명한 미분방정식의 예시는 열역학의 열전도 방정식에서 모티프를 따온 블랙-숄즈 모형.
의외의 사실이지만, 고등학교 때도 미분방정식을 푸는 방법을 배운다! 흔히 부정적분이라고 불리는 개념인데, '주어진 함수 $$f$$에 대해, 어떤 함수 $$F$$를 미분하여야 $$f$$가 얻어지겠는가?'를 푸는 문제이므로, $$F$$에 관한 미분방정식 $$\dfrac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}x} = f(x) $$ 으로도 볼 수 있다.

2.2. 풀이의 어려움

이처럼 미분방정식의 활용분야는 어마어마하기 때문에, 미분방정식을 풀 줄 알면 이 세상의 모든 변화를 설명할 수 있다고 해도 과언이 아니다. 물론 어느 누구도 그렇게 하지 못하는 이유는 미분방정식을 푸는 것이 매우 어렵기 때문이다. 어지간한 미분방정식은 부분적분, 삼각치환, 라플라스 변환, 푸리에 변환 등등 별 짓을 다 해야 한다! 멀리 갈 것 없이 타원 문서에서 둘레 길이 구하는 과정부터 노가다인 것을 볼 수 있다.
미분방정식에서 함수를 수식으로 떨어지게 나타내는 대수적 해법을 찾는다는 것은, 특수한 경우를 제외하고는 거의 불가능하다. 당장 미분방정식의 가장 간단한 예가 부정적분인데, $$ e^{x^2} $$ 같은 함수의 적분도 초등함수로 나타낼 수 없다는 것이 증명된 정도이니. 근대까지 수학자들은 특수한 미분방정식들에 한해 여러 가지 Ad Hoc 해법을 연구하였고, 그 해법은 자신들의 이름으로 불리는 영광을 얻었다. 프로베니우스(Frobenius) 방법, 스튀름(Sturm)-리우빌(Liouville) 이론 등등. 여러분도 미분방정식의 해법을 하나 찾는다면, 수학사에 불멸의 이름을 남길 수 있다!
현대에는 해의 성질을 분석하는 방법을 더욱 많이 쓰는데[5], 상미분방정식의 경우 풀이법을 아는 경우로 근사해서 해의 개형을 분석하는 방법이 그런 대로 유효하다. 하지만 이렇게 해도 해들이 불규칙적인 행동을 보인다는 것이 발견되었는데, 이것을 분석하는 것이 카오스 이론. 근래 응용수학에서는 컴퓨터를 이용해 해를 수치적으로 계산하는 접근도 많이 발달되었다.
다만 편미분방정식의 어려움은 상미분방정식과 비교를 불허한다. 우선 해가 존재하는지 아닌지 판단하는 것부터가 난문이다. 그 다음에는 해의 정규성(regularity), 즉 조건이 변화할 때 해가 연속적으로 변화하는지를 따지는 것이 최종보스인 경우가 많다. 이를 쉽게 설명하자면, '''현실을 바탕으로 세운 미분방정식의 해가 현실적인지 아닌지 판별하는 것도 벅차다'''는 것. 간단해 보이는 맥스웰 방정식이 전자기학 전공자들에게 지옥을 선사하는 이유다.

2.3. 교육과정에서

일반계 고등학교에서는 다루지 않는다. 과학고나 영재학교에서는 기본적인 것만 가볍게 다루고, 이공계 대학에 진학하게 되면 그때 본격적으로 공부하게 된다. 하지만 인도의 최고 명문대 인도 공과대학교에서는 입시에 미분방정식이 들어가며, MIT에선 역시 이름값 답게 '''편미분방정식인 슈뢰딩거 방정식[6]'''이 들어간다.
보통 미분방정식의 이론은 기본적으로 끝도 없는 계산과 암기이므로, 주변에 이걸 하는 친구가 있으면 그 끈기에 경의를 표해주시라. 수학과 학부생이나, 대학원 수준에서 해석학이나 이론물리학을 공부하게 된다면 미분방정식을 매우 깊게 파고들게 된다. 공과대학에서 공업수학으로 배우는 미분방정식은 몇 가지 해법들을 배우고 이를 바탕으로 적당한 근삿값을 찾는 느낌이 강하다면 수학과의 미분방정식은 방정식과 그 해의 성질을 탐구하는 느낌이 강하다. 공학수학과 미분방정식 책을 모두 내는 저자의 두 책을 비교해보면 알 수 있다. 하지만 수학과에서도 학부 수준과 대학원 코스워크 수준을 넘어서 직접 논문을 쓰게 되는 단계에 오면 자신이 연구하는 미분방정식에 대해 아이디어를 얻기 위해 컴퓨터로 수치적 방법을 엄청나게 돌려야 하는 경우도 있다.
그러나 공학수학과 공부방법이 다르다는 수학과 학부 수준의 미분방정식도 집합론, 해석학, 선형대수, 현대대수 등에서 한껏 만끽할 수 있는 추상성과 빈틈없는 논리전개의 비중은 굉장히 덜한 과목이다보니 학생들이 느끼는 이질감이 좀 심하다. 호오는 미방 수업을 진행하는 교수의 취향 못지 않게 학생의 취향에 따라서도 갈리는 편으로, 누군가는 타고난 머리가 받쳐줘야 유리한 정수론이나 해석학에서 머리 쥐어뜯다 미분방정식 풀면서 사이다를 맛본다고 좋아하고, 누군가는 수학과 전공과목 특유의 추상성에 중독(!)된 나머지 미분방정식의 고등학교 과목 같은 분위기를 낯설어하기도 한다. 평상시보다도 특히 시험기간에 두뇌를 불태우면서 미방은 공부에 쓰이는 근육이 다르구나 하는게 느껴질 정도인데, 그렇다고 설렁설렁 배째라로 나서다가는 전공필수 과목 망치는건 둘째치고 학부 말이나 대학원에 가서 후회한다.
미분방정식이 뭔가 변화하는, 움직이는 대상을 모형화하고 그 해를 구하거나, 그 방정식의 특징을 연구하면서 시작된 학문인 만큼 상경계열에서도 시간의 변화에 따른 변화를 볼 때는(시계열, 패널) 미분방정식을 사용한다. 상경계열에서 가장 수학을 많이 쓰는 경제학과의 경우 학부과정에서는 경제수학이나 수리경제학 과목에서 간단한 수준의 미분방정식을 배울 수도 있다. 학부 수준에서 미분방정식을 직접 사용하여 경제모형을 다뤄보고 싶다면 석사 수준 거시경제학을 들어보자. 첫 챕터부터 미분방정식을 간단한 꼴이나마 쓰게 된다. 거시경제학에서 경제성장론을 전공하게 된다면 미분방정식을 정말 많이 쓰게 된다.

3. 초기값 문제(IVP)와 경계값 문제(BVP)

  • 초기값 문제(Initial Value Problem, IVP): 미분방정식과 함께 함수상의 한 점 $$x_0$$에서 $$f(x_0)$$, $$f'(x_0)$$, $$\cdots$$, $$f^n(x_0)$$ 등의 초기조건이 주어지면서 이 조건을 만족하는 미분방정식의 특수해를 구하는 문제로, 물리학 등의 과학에서 대부분 이 한 점이 0초나 0미터 같은 초기상태로 주어져서 초기값 문제라고 부르게 된다.
  • 경계값 문제(Boundary Value Problem, BVP): 경계조건이란 함수점의 두 개 이상의 점 $$x_1$$, $$x_2$$, $$\cdots$$, $$x_n$$에 대해 주어지는 함숫값 $$f(x_1)$$, $$f(x_2)$$, $$\cdots$$, $$f(x_n)$$들을 말하는데, 이런 경계조건이 주어진 상황에서 미분방정식의 특수해를 구하는 문제를 경계값 문제라고 일컫는다.
미분방정식의 일반해를 해석적으로 완벽하게 구할 수 있는 경우는 그리 많지 않다. 따라서 수치해석적 방법으로 문제를 푸는 경우에 초기조건 혹은 경계조건을 가하게 되며, 자연과학이나 공학에서 다루게 되는 일반적인 상황에선 거의 어김없이 이 조건들을 가정해서 해를 얻게 된다. 또한 미분방정식 풀이가 쉬워지게 돕는 선형변환(라플라스 변환이나 푸리에 변환)풀이로 문제를 푸는 경우에도 매우 중요하다. 대표적인 경계값 문제로 전자기학에서 경계조건이 주어진 라플라스 방정식 및 푸아송 방정식을 푸는 경우가 있는데, 대표적으로 디리클레 경계 조건과 노이만 경계 조건등을 주어진 방정식에 적용해 물리학적으로 중요한 특이한 상황에서 해를 구하는 데 사용한다.

4. 미분방정식의 풀이



5. 여담

  • 국민대학교에서 이 문서로 수업하는 교수가 있었다고 한다. 교수의 입장에서는 대부분 강의계획서를 미리 작성하고 문서의 내용을 직접 검증하면서 수업을 진행했을테니, 별다른 문제는 없었던 듯 하다.#
  • 사실, 따지고 보면 고등학교 교육과정에서도 미분방정식이 튀어 나오긴 한다. 상술한 '부정적분'이 매우 간단한 상미분방정식의 형태이며, 이계도함수를 배울 때 '이계 제차 선형 상미분방정식'이 등장한다. 미분방정식을 처음 공부한다면 눈치챌 수도 있는 부분이기도 하다.
  • 교수요목기 시기에는 아예 고3 수학에 미분방정식, 구면삼각형, 다변수함수가 나왔다.
  • 어렵고 도저히 못 알아듣는 수학문제 풀이 같은게 창작물에서 클리셰로 등장할 때 가장 자주 등장하는 것이 미분방정식이기도 하다. 수학과나 이공대생들의 전공 공부에 대한 막연한 선입견과 가장 잘 들어맞는 과목이기 때문.


6. 관련 문서


[4] 보통 인구증가 추세가 초월함수의 미분방정식 형태로 제시된다.[5] 앙리 푸앵카레가 처음 내건 방법이라고 전해진다. 일례로 그의 재귀 정리(Poincare Recurrence)는 천체운동을 연구할 때 해가 주기적인지, 내지는 시간 변화에 따라서 비슷한 모습을 계속 지니기는 하는지에 초점을 맞춰 알아낸 명제이다.[6] 공대의 경우 고체물리학 양자역학 파트에서 구경할 수 있기는 하다. 허나 담당 교수도 학생들이 이해하려고 애쓰는 것보다는 그냥 받아들이고 암기하는 것을 권장하는 판이다(...).