7.1. 오일러 수열을 이용한 베르누이 수 표현
7.2. 베르누이 수열을 이용한 오일러 수열 표현
1. 개요
Bernoulli Numbers음이 아닌 정수 $$n$$에 대해 $$B_n$$으로 나타내어지는
수열이다.
2. 상세
이 수열 자체에 대해서는 그다지 많이 알려지지 않았지만 $$\tan x$$, $$\cot x$$, $$\tanh x$$, $$\coth x$$ 등 다수의 삼각함수, 쌍곡선 함수의 테일러 급수에 $$B_{2n}$$이라는 형태로 자리를 차지하고 있어 미친 존재감을 자랑한다. $$B_n$$이 아닌 $$B_{2n}$$을 쓰는 이유는 $$B_{2n+1} = 0~ (n\ge1)$$, 즉 '''제$$\bf3$$항 이상의 홀수항이 모조리 $$\bf0$$'''이라는 독특한 성질이 있기 때문이다.
[1] 이것과 비슷한 성질의 수열로서 오일러 수열이 있는데 이 수열은 '''모든 홀수항이 \bf0'''이다.
제$$1$$항에 대해서도 간혹 $$B_1 = \dfrac12$$라 나타내는 문헌이 존재하는데 이것은 베르누이 수열이 $$(-1)^nB_n$$로 정의되었기 때문이다.
[2] 당초 이 수열의 발견자인 야콥 베르누이 본인이 B_1 = \dfrac12인 수열을 B_n이라 정의했었는데, 훗날 연구를 통해 생성함수로 더 엄밀하게 정의될 수 있다는 것이 알려진 뒤 베르누이가 최초로 정의한 B_n은 사실 B^+_n임이 밝혀졌다.
혼동을 피하기 위해 일반적인 베르누이 수열을 $$B^-_n$$로, $$(-1)^n$$을 곱한 베르누이 수열을 $$B^+_n$$로 표기하기도 한다. 대략 제$$18$$항까지의 값은 다음과 같다.
$$n$$
| [math(0)]
| $$1$$
| $$2$$
| $$3$$
| $$4$$
| $$5$$
| $$6$$
| $$7$$
| $$8$$
| $$9$$
| $$10$$
| $$11$$
| $$12$$
| $$13$$
| $$14$$
| $$15$$
| $$16$$
| $$17$$
| $$18$$
|
$$B_n$$
| $$1$$
| $$-\dfrac12$$
| $$\dfrac16$$
| [math(0)]
| $$-\dfrac1{30}$$
| [math(0)]
| $$\dfrac1{42}$$
| [math(0)]
| $$-\dfrac1{30}$$
| [math(0)]
| $$\dfrac5{66}$$
| [math(0)]
| $$-\dfrac{691}{2730}$$
| [math(0)]
| $$\dfrac76$$
| [math(0)]
| $$-\dfrac{3617}{510}$$
| [math(0)]
| $$\dfrac{43867}{798}$$
|
3. 역사
역사적으로는 다음과 같은 거듭제곱 합의 계수에 대한 연구에서 시작되었다.
$$\displaystyle\begin{aligned} \sum_{k=1}^n k &= \frac12n^2 + \frac12n \\ \sum_{k=1}^n k^2 &= \frac13n^3 + \frac12n^2 + \frac16n \\ \sum_{k=1}^n k^3 &= \frac14n^4 + \frac12n^3 + \frac14n^2 \\ \sum_{k=1}^n k^4 &= \frac15n^5 + \frac12n^4 + \frac13n^3 - \frac1{30}n \end{aligned}$$
|
훗날
야코프 베르누이가 $$n$$의 거듭제곱에 붙은 계수들에 대해 일반항을 제시하기 전까지, 이 공식에 대해 열심히 연구하던 당대 수학자들
[3] '''페르마'''도 이를 연구했었다! 사실 그는 구적법 때문에 거듭제곱 합의 중요성에 대해 인지하고 있었고, 그 일반식을 얻었으며 증명까지 해냈다고 했으나, 그 내용에 대해 자세한 기록을 남기지는 않았다(……)
중, 요한 파울하버(Johann Faulhaber)가 무려 $$k^{17}$$에 대한 합의 공식까지 제시하여 빼어난 기록을 남겼기에 오늘날에도 이 거듭제곱 합의 공식은 '''
파울하버의 공식'''으로 알려져 있으나, 일반식을 제시한 건 베르누이이기 때문에 종종 '''베르누이의 공식''', 또는 단순히 '''거듭제곱 합의 공식'''이라고도 불린다. 자세한 것은 해당 문서 참조.
이와는 별개로 일본의
세키 다카카즈가 그의 저서 《괄요산법》(括要算法, 1712)에서 $$n=12$$까지에 대해 구체적인 값을 제시하였으나 일반식을 제시한 건 아니기에 수열 이름에 포함될 정도의 업적으로 보지는 않는 듯 하다.
[4] 일본에서 출판되는 일부 교양 수학서들 중 '''세키 - 베르누이 수열'''이라는 명칭을 쓰는 게 있긴 하다.
4. 정의
다음
생성함수를 이용하여 정의된다.
$$\displaystyle\frac x{e^x -1} = \frac x2 \left( {\rm coth}\,\frac x2 - 1 \right) = \sum_{n=0}^\infty \frac{B_n}{n!}x^n$$
|
$$B_1 = \dfrac12$$인 $$B^+_n$$의 경우, 위의 테일러 급수에서 $$x$$만큼을 더한 급수의 계수에 해당하므로
$$\displaystyle\frac x{e^x -1} + x = \frac{xe^x}{e^x - 1} = \frac x{1 - e^{-x}} = \frac x2 \left( \coth\,\frac x2 + 1 \right) = \sum_{n=0}^\infty \frac{B^+_n}{n!}x^n$$
|
으로 정의된다.
물론 위 식들을 직접 미분하고 $$x=0$$을 대입하는 미친짓(……)으로 값을 계산하진 않고, 각 식의 역수들이 테일러 급수식으로 용이하게 나타낼 수 있다는 점을 이용, 점화식을 유도하여 계산하는 것이 일반적이다. 예를 들어 $$B_n$$의 경우 양변에
$$\displaystyle\begin{aligned} \frac{e^x -1}x &= \frac1x \left(\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} -1 \right) = \frac1x \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{x^n}{n!} \right) = \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{x^{n-1}}{n!} \right) = \sum_{n=0}^\infty \left\{ \frac{x^n}{(n+1)!} \right\} \\ &= 1 + \frac x{2!} + \frac{x^2}{3!} + \frac{x^3}{4!} + \cdots\cdots \end{aligned}$$
|
를 곱하면 우변이 $$1$$이 되므로 좌변의 급수식을 적절하게 변형해주면 점화식이 얻어진다.
$$\displaystyle\begin{aligned} \frac x{e^x -1}\frac{e^x -1}x &= \left( {B_0} + \frac{B_1}{1!}x + \frac{B_2}{2!}x^2 + \frac{B_3}{3!}x^3 + \cdots\cdots \right) \left( 1 + \frac x{2!} + \frac{x^2}{3!} + \frac{x^3}{4!} + \cdots\cdots \right) \\ &= \sum_{n=0}^\infty \sum_{r=0}^n \frac{B_rx^r}{r!} \frac{x^{n-r}}{(n-r+1)!} = \sum_{n=0}^\infty \sum_{r=0}^n \frac{B_r x^n}{r!(n-r+1)!} = \sum_{n=0}^\infty \sum_{r=0}^n \frac{(n+1)!}{r!(n-r+1)!} \frac{B_r x^n}{(n+1)!} \\ &= \sum_{n=0}^\infty \frac1{(n+1)!} \sum_{r=0}^n \binom{n+1}r B_rx^n \\ &= B_0 + \frac1{2!} \sum_{r=0}^1 \binom2rB_rx + \frac1{3!} \sum_{r=0}^2 \binom3rB_rx^2 + \frac1{4!} \sum_{r=0}^3 \binom4rB_rx^3 + \cdots\cdots \\ &= 1 \end{aligned}$$
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항등식이므로 $$\displaystyle\sum_{r=0}^n \binom{n+1}rB_r = \delta_{0,\,n}$$이며(단, $$\delta_{0,\,n}$$은
크로네커 델타) 이 식으로부터 점화식이 얻어진다.
$$\displaystyle\sum_{r=0}^n \binom{n+1}rB_r = (n+1)B_n + \sum_{r=0}^{n-1} \binom{n+1}rB_r = \delta_{0,\,n} \\ \therefore B_n = \delta_{0,\,n} - \frac1{n+1} \sum_{r=0}^{n-1} \binom{n+1}rB_r$$
|
제1항이 $$\dfrac{\delta_{0,\,n}}{n+1}$$이 아닌 이유는, $$n=0$$이면 $$1$$이고 $$n\ge1$$이면 [math(0)]이므로 사실상 값이 같기 때문이다. 보통은 $$n\ge1$$이라는 조건을 붙이지만 공합(empty sum)
[5] 더해지는 수열 a_n의 종류에 관계없이 \alpha<\beta에 대해 합의 범위가 \displaystyle\sum_{i=\beta}^\alpha a_n으로 주어지는 것.
을 [math(0)]으로 약속하는 일반적인 정의에 따르면 위 식은 음이 아닌 정수에 대해 성립한다.
한편, $$\coth x$$는 정의에 따라 다음과 같이 나타내어지는데, 바로 위의
생성함수를 이용하여 표현할 수 있다.
$$\displaystyle\begin{aligned} \coth x &= \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac{\dfrac{e^x + e^{-x}}2}{\dfrac{e^x - e^{-x}}2} = \frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}} = \frac{e^{2x} + 1}{e^{2x} - 1} = 1 + \frac2{e^{2x} - 1} = 1 + \frac1x \frac{2x}{e^{2x} - 1} \\ &= 1 + \frac1x \sum_{n=0}^\infty \frac{B_n}{n!}(2x)^n \\ &= 1 + \sum_{n=0}^\infty \frac{2^n B_n}{n!}x^{n-1} \end{aligned}$$
|
쌍곡선 함수를 복소평면으로 확장시키면 $$\cosh ix = \cos x$$, $$\sinh ix = i \sin x$$의 관계가 있음을 알 수 있고, 이로부터 $$\coth ix = -i\cot x$$임을 알 수 있으므로 위의 테일러 전개식에 $$ix$$를 대입하면
$$\displaystyle\begin{aligned} \coth ix &= 1 + \sum_{n=0}^\infty \frac{2^nB_n}{n!}(ix)^{n-1} = 1 + 2\sum_{n=0}^\infty \frac{(2i)^{n-1}B_n}{n!}x^{n-1} \\ &= 1 + 2 \left\{ \sum_{n=0}^\infty \frac{(2i)^{2n-1}B_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1} + \sum_{n=0}^\infty \frac{(2i)^{2n}B_{2n+1}}{(2n+1)!}x^{2n} \right\} \\ &= \left\{ 1 + 2\sum_{n=0}^\infty \frac{(-4)^nB_{2n+1}}{(2n+1)!}x^{2n} \right\} - i\left\{ \sum_{n=0}^\infty \frac{(-4)^nB_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1} \right\} \\ &= -i\cot x \end{aligned}$$
|
실수부가 [math(0)]이 되어야하며 허수부의 급수가 곧 $$\cot x$$의 테일러 급수가 된다. 위 식의 실수부에 대해
$$\displaystyle1 + 2\sum_{n=0}^\infty \frac{(-4)^nB_{2n+1}}{(2n+1)!}x^{2n} = 1 + 2B_1 + \sum_{n=1}^\infty \frac{(-4)^nB_{2n+1}}{(2n+1)!}x^{2n} = 0$$
|
이므로 $$B_{2n+1} = -\dfrac12\delta_{0,\,n}$$이 얻어지며 이 식으로부터 $$3$$ 이상의 홀수항은 [math(0)]이 된다는 것을 알 수 있다.
이 사실을 이용하면 전술했던 베르누이 수열의 점화식도 다음과 같이 축약시킬 수 있게 된다.
$$\displaystyle\begin{aligned} B_{2n} &= \delta_{0,\,n} - \frac1{2n+1} \sum_{r=0}^{2n-1} \binom{2n+1}rB_r = \delta_{0,\,n} + \frac12(1 - \delta_{0,\,n}) - \frac1{2n+1} \sum_{r=0}^{n-1} \binom{2n+1}{2r}B_{2r} \\ &= \frac{1 + \delta_{0,\,n}}2 - \frac1{2n+1} \sum_{r=0}^{n-1} \binom{2n+1}{2r}B_{2r} \end{aligned}$$
|
$$\dfrac12(1-\delta_{0,\,n})$$은 합의 기호 부분에서 $$r=1$$일 때, 즉 $$B_1$$이 곱해진 항을 계산하여 빼낸 부분인데, $$n=0$$이면 $$r=1$$인 항이 존재하지 않으므로 해당 항이 [math(0)]이 되면서 $$n\ge1$$이면 $$\dfrac12$$로 남아있도록 변형한 것이다. 이를 정리하면
$$\displaystyle\therefore B_n \begin{cases} \begin{aligned} B_{2n} &= \frac{1 + \delta_{0,\,n}}2 - \frac1{2n+1} \sum_{r=0}^{n-1} \binom{2n+1}{2r}B_{2r} \\ B_{2n+1} &= -\frac12\delta_{0,\,n} \end{aligned} \end{cases}$$
|
$$\displaystyle B_n = \sum_{k=0}^n \frac1{k+1} \sum_{r=0}^k \binom kr(-1)^rr^n$$
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식이 복잡해 보이지만 두 번째 합의 식은
제2종 스털링 수의 일반항에서 유래했다. 즉, 제2종 스털링 수 표기를 이용해서 나타내면 다음과 같다.
$$\displaystyle B_n = \sum_{k=0}^n \frac{k!(-1)^k}{k+1} S(n,\,k)$$
|
베르누이 수열의 일반항은 조금 특이한 과정을 거쳐서 구해진다. 우선 각 생성함수를 다음과 같은 조건 하에 치환을 거쳐 식을 변형해준다.
$${\rm i})$$ $$\displaystyle\frac x{1 - e^{-x}} = \sum_{n=0}^\infty B_n^+\frac{x^n}{n!} = \sum_{n=0}^\infty (-1)^nB_n\frac{x^n}{n!}$$에서 $$1 - e^{-x} = t$$로 치환하면 $$x = -\ln(1-t)$$가 되는데 $$x>0$$일 때, $$0
$$\displaystyle\begin{aligned} \frac x{1 - e^{-x}} &= \frac{-\ln(1 - t)}t = \frac1t \int \frac{{\rm d}t}{1-t} = \frac 1t \int \sum_{k=0}^\infty t^k\,{\rm d}t = \frac1t \sum_{k=0}^\infty \frac{t^{k+1}}{k+1} = \sum_{k=0}^\infty \frac{t^k}{k+1} \\ &= \sum_{k=0}^\infty \frac{(1 - e^{-x})^k}{k+1} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(e^{-x} - 1)^k}{k!} \frac{k!(-1)^k}{k+1} \end{aligned}$$
|
$$\dfrac{(e^{-x} - 1)^k}{k!}$$는
제2종 스털링 수의 생성함수이므로 생성함수 식으로 바꾼 뒤 일반항을 대입한다.
$$\displaystyle \begin{aligned} \frac x{1 - e^{-x}} &= {\color{blue}\sum_{n=0}^\infty (-1)^n}{\color{red}B_n}{\color{blue}\frac{x^n}{n!}} \\ &= \sum_{k=0}^\infty \frac{(e^{-x} - 1)^k}{k!} \frac{k!(-1)^k}{k+1} = \sum_{k=0}^\infty \sum_{n=0}^\infty \begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix} \frac{(-x)^n}{n!} \frac{k!(-1)^k}{k+1} = \sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n \begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix} \frac{(-x)^n}{n!} \frac{k!(-1)^k}{k+1} \\ &= \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \left\{ \sum_{k=0}^n \begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix} \frac{ k!(-1)^k}{k+1} \right\} \frac{x^n}{n!} \\ &= \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \left\{ \sum_{k=0}^n \frac 1{\cancel{k!}} \sum_{r=0}^k \binom kr(-1)^{k-r} r^n \frac{\cancel{k!}(-1)^k}{k+1} \right\} \frac{x^n}{n!} \\ &= {\color{blue}\sum_{n=0}^\infty (-1)^n}{\color{red}\left\{ \sum_{k=0}^n \frac1{k+1} \sum_{r=0}^k \binom kr(-1)^rr^n \right\}}{\color{blue}\frac{x^n}{n!}} \end{aligned} \\ \therefore B_n = \sum_{k=0}^n \frac 1{k+1} \sum_{r=0}^k \binom kr(-1)^rr^n$$
|
$${\rm ii})$$ $$\displaystyle\frac x{e^x - 1} = \sum_{n=0}^\infty B_n\frac{x^n}{n!}$$에서 $$e^x - 1 = t$$로 치환하면 $$x = \ln(1+t)$$가 되는데 $$x<0$$일 때, $$-1
$$\displaystyle\begin{aligned} \frac x{e^x - 1} &= {\color{blue}\sum_{n=0}^\infty}{\color{red}B_n}{\color{blue}\frac{x^n}{n!}} \\ &= \frac{\ln(1+t)}t = \frac1t \int \frac{{\rm d}t}{1+t} = \frac1t \int \sum_{k=0}^\infty (-t)^k\,{\rm d}t = \frac1t \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^kt^{k+1}}{k+1} = \sum_{k=0}^\infty t^k\frac{(-1)^k}{k+1} \\ &= \sum_{k=0}^\infty (e^x - 1)^k\frac{(-1)^k}{k+1} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(e^x - 1)^k}{k!} \frac{k!(-1)^k}{k+1} \\ &= \sum_{k=0}^\infty \sum_{n=0}^\infty \begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix} \frac{x^n}{n!} \frac{k!(-1)^k}{k+1} = \sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n \begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix} \frac{x^n}{n!} \frac{k!(-1)^k}{k+1} \\ &= \sum_{n=0}^\infty \left\{ \sum_{k=0}^n \begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix} \frac{k!(-1)^k}{k+1} \right\} \frac{x^n}{n!} \\ &= \sum_{n=0}^\infty \left\{ \sum_{k=0}^n \frac1{\cancel{k!}} \sum_{r=0}^k \binom kr(-1)^{k-r}r^n \frac{\cancel{k!}(-1)^k}{k+1} \right\} \frac{x^n}{n!} \\ &= {\color{blue}\sum_{n=0}^\infty}{\color{red}\left\{\sum_{k=0}^n \frac1{k+1} \sum_{r=0}^k \binom kr(-1)^rr^n \right\}}{\color{blue}\frac{x^n}{n!}} \end{aligned} \\ \therefore B_n = \sum_{k=0}^n \frac1{k+1} \sum_{r=0}^k \binom kr(-1)^rr^n$$
|
$$B_n^+$$의 경우
생성함수식 $$\displaystyle \frac x{1 - e^{-x}} = \sum_{n=0}^\infty B^+_n \frac{x^n}{n!}$$에서 좌변의 식은 $$\dfrac x{e^x -1}e^x$$와 같다. 즉 같은 방식으로 식을 전개해나가면 제2종 스털링 수의 생성함수 식이 $$\dfrac{e^x(e^x - 1)^k}{k!}$$로 주어지고 $$\displaystyle \frac{e^x(e^x - 1)^k}{k!} = \sum_{n=0}^\infty \begin{Bmatrix} n+1 \\ k+1 \end{Bmatrix} \frac{x^n}{n!}$$이므로
$$\displaystyle\begin{aligned} B^+_n &= \sum_{k=0}^n \begin{Bmatrix} n+1 \\ k+1 \end{Bmatrix} \frac{k!(-1)^k}{k+1} \\ &=\sum_{k=0}^n \frac1{k+1} \sum_{r=0}^k \binom kr(-1)^r(r+1)^n \end{aligned}$$
|
5. 성질
''''''
* $$\displaystyle \sum_{k=0}^n \binom{n+1}k B_k = \delta_{n,\,0}$$
|
상기 점화식을 구하는 과정에서 유도된 것이다. $$\delta_{n,\,0}$$는
크로네커 델타로 $$\delta_{n,\,m} = \begin{cases} 1~(n=m) \\ 0~(n \ne m) \end{cases}$$를 만족하는 함수이다.
''''''
* $$\displaystyle \sum_{k=0}^n \binom{n+1}k B^+_k = n+1$$
|
파울하버의 공식 $$\displaystyle \sum_{k=1}^n k^c = \sum_{n=0}^c \frac{(-1)^k}{c+1} \binom{c+1}kB_kn^{n+1-k}$$에서 $$n=1$$을 대입하고 $$B^+_n = (-1)^nB_n$$를 이용하면 된다.
두 식을 더하면 베르누이 수열의 짝수 항만 남고 좌변이 2배가 되므로
$$\displaystyle\sum_{k=0}^{\left\lfloor{\frac n2}\right\rfloor} \binom{n+1}{2k}B_{2k} = \frac{n+1 + \delta_{n,\,0}}2$$
|
로 간략화할 수 있다. $$\lfloor \cdot \rfloor$$는
바닥 함수이다.
6. 이용
주로
테일러 급수에서 많이 쓰이고, 전술한대로 거듭제곱 합의 공식에도 쓰인다. 아래 목록에 없는 $$\sec x$$와 $${\rm sech}\, x$$는
오일러 수열을 이용해서 표현한다. 베르누이 수열이
오일러 수열과 서로 합연산
[6] 관계에 있기는 하나(후술) 이걸 이용해서 두 급수를 표현하려면 식이 엄청 복잡해진다. 자세한 것은 항목 참조.
''''''
* $$\displaystyle\sum_{k=1}^n k^c = \sum_{k=0}^c \frac{(-1)^k}{c+1}\binom{c+1}kB_kn^{c+1-k}$$
|
''''''
* $$\displaystyle\cot x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-4)^nB_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1} = \frac1x - \frac13x - \frac1{45}x^3 - \frac2{945}x^5 - \cdots\cdots$$
* $$\displaystyle\tan x = \sum_{n=1}^\infty \frac{\{(-4)^n - (-16)^n\}B_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1} = x + \frac13x^3 + \frac2{15}x^5 + \frac{17}{315}x^7 + \cdots\cdots$$
|
$$\cot x - \tan x = \dfrac{\cos x}{\sin x} - \dfrac{\sin x}{\cos x} = \dfrac{\cos^2x - \sin^2x}{\sin x\cos x} = \dfrac{\cos2x}{\dfrac12\sin2x} = 2\cot2x$$에서 $$\tan x = \cot x - 2\cot 2x$$라는 관계를 유도할 수 있어 위의 식이 자연스럽게 얻어진다.
''''''
* $$\displaystyle\csc x = \sum_{n=0}^\infty \frac{\{2(-1)^n - (-4)^n\}B_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1} = \frac1x + \frac16x + \frac7{360}x^3 + \frac{31}{15120}x^5 + \cdots\cdots$$
|
$$\dfrac12(\tan x + \cot x) = \dfrac12\left(\dfrac{\cos x}{\sin x} + \dfrac{\sin x}{\cos x}\right) = \dfrac{\cos^2x + \sin^2x}{2\sin x\cos x} = \dfrac1{\sin2x} = \csc 2x$$에서 $$\csc x = \dfrac12\left(\tan\dfrac x2 + \cot\dfrac x2\right)$$를 이용하면 된다.
''''''
* $$\displaystyle\coth x = \sum_{n=0}^\infty \frac{4^nB_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1} = \frac1x + \frac13x - \frac1{45}x^3 + \frac2{945}x^5 - \cdots\cdots$$
|
위에서 유도한 식의 형태와 조금 다른데, 베르누이 수열에서 $$3$$ 이상의 홀수 항이 [math(0)]이 된다는 점을 적용해서 간략화시킨 형태이기 때문이다. $$\coth x = i\cot ix$$를 이용해서도 유도할 수 있다.
''''''
* $$\displaystyle\tanh x = \sum_{n=1}^\infty \frac{(16^n - 4^n)B_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1} = x - \frac13x^3 + \frac2{15}x^5 - \frac{17}{315}x^7 + \cdots\cdots$$
|
$$\tanh x = -i \tan ix$$를 이용해서 유도할 수 있다.
''''''
* $$\displaystyle{\rm csch}\,x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(2 - 4^n)B_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1} = \frac1x - \frac16x + \frac7{360}x^3 - \frac{31}{15120}x^5 + \cdots\cdots$$
|
$${\rm csch}\,x = i \csc ix$$를 이용해서 유도할 수 있다.
삼각함수 및 쌍곡선 함수가 각종 사칙연산을 통해 서로 연관되어있기 때문에, 베르누이 수열과 오일러 수열 역시 서로 무관하지는 않다. 다만, 아무래도 각 함수의 곱(즉, 테일러 급수끼리의 곱)이 반드시 포함되어 있기에 서로 합연산의 관계에 있어서 손계산이 그렇게 간단한 형태로 나오지는 않는다. 차라리 서로 점화식의 관계에 있다고 이해하는 편이 빠를 것이다.
7.1. 오일러 수열을 이용한 베르누이 수 표현
$${\rm sech}\,x\sinh x = \tanh x$$이므로
$$\displaystyle\begin{aligned} \left\{ \sum_{n=0}^\infty \frac{E_{2n}}{(2n)!}x^{2n} \right\}\left\{ \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \right\} &= {\color{blue}\sum_{n=1}^\infty}{\color{red}\frac{(16^n - 4^n)B_{2n}}{(2n)!}}{\color{blue}x^{2n-1}} \\ \sum_{n=0}^\infty \sum_{r=0}^n \frac{E_{2r}x^{2r}}{(2r)!} \frac{x^{2n-2r+1}}{(2n-2r+1)!} &= \sum_{n=0}^\infty \sum_{r=0}^n \frac 1{(2n+1)!} \frac{(2n+1)!E_{2r}}{(2r)!(2n-2r+1)!}x^{2n+1} = \sum_{n=0}^\infty \sum_{r=0}^n \frac 1{(2n+1)!} \binom{2n+1}{2r}E_{2r}x^{2n+1} \\ &= {\color{blue}\sum_{n=1}^\infty}{\color{red}\sum_{r=0}^{n-1} \frac 1{(2n-1)!} \binom{2n-1}{2r}E_{2r}}{\color{blue}x^{2n-1}} \end{aligned} \\ \frac{(16^n - 4^n)B_{2n}}{(2n)!} = \sum_{r=0}^{n-1} \frac 1{(2n-1)!} \binom{2n-1}{2r}E_{2r} \\ \therefore B_{2n} = \frac{2n}{16^n - 4^n}\sum_{r=0}^{n-1} \binom{2n-1}{2r}E_{2r}$$
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오일러 수열이 정수 수열이고 조합도 자연수이기 때문에 결과적으로 연산 자체는 정수의 사칙연산이 된다. 분수끼리 더하고 빼야하는 베르누이 수열의 점화식 계산보다는 훨씬 수월할 것이다.
7.2. 베르누이 수열을 이용한 오일러 수열 표현
$$\cosh x - \sinh x\tanh x = {\rm sech}\,x$$이므로, $$\sinh x\tanh x$$부분에 대해
$$\displaystyle\begin{aligned}&\left\{ \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \right\} \left\{\sum_{n=1}^\infty \frac{(16^n - 4^n)B_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1} \right\} \\ &= \sum_{n=1}^\infty \sum_{r=1}^n \frac{(16^r - 4^r)B_{2r}x^{2r-1}}{(2r)!} \frac{x^{2n-2r+1}}{(2n-2r+1)!} = \sum_{n=1}^\infty \sum_{r=1}^n \frac{16^r - 4^r}{(2n+1)!} \frac{(2n+1)!B_{2r}}{(2r)!(2n-2r+1)!}x^{2n} \\ &= \sum_{n=1}^\infty \frac1{(2n+1)!}\sum_{r=1}^n (16^r - 4^r)\binom{2n+1}{2r}B_{2r}x^{2n}\end{aligned}$$
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따라서 $${\rm sech}\, x$$에 관한 등식은 다음과 같이 되며
$$\displaystyle\begin{aligned}&\cosh x - \sinh x\tanh x = {\rm sech}\,x \\ &= \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!} - \left\{ \sum_{n=1}^\infty \frac1{(2n+1)!}\sum_{r=1}^n (16^r - 4^r)\binom{2n+1}{2r}B_{2r}x^{2n}\right\} = \sum_{n=0}^\infty \frac{E_{2n}}{(2n)!}x^{2n} = {\color{blue}1 + \sum_{n=1}^\infty}{\color{red}\frac{E_{2n}}{(2n)!}}{\color{blue}x^{2n}} \\ &= 1 + \sum_{n=1}^\infty \frac1{(2n)!}x^{2n} - \left\{ \sum_{n=1}^\infty \frac1{(2n+1)!}\sum_{r=1}^n (16^r - 4^r)\binom{2n+1}{2r}B_{2r}\right\}x^{2n} \\ &= {\color{blue}1 + \sum_{n=1}^\infty}{\color{red}\left\{ \frac1{(2n)!} - \frac1{(2n+1)!} \sum_{r=1}^n (16^r - 4^r)\binom{2n+1}{2r}B_{2r} \right\}}{\color{blue}x^{2n}}\end{aligned} \\ \frac1{(2n)!} - \frac1{(2n+1)!} \sum_{r=1}^n (16^r - 4^r)\binom{2n+1}{2r}B_{2r} = \frac{E_{2n}}{(2n)!} \\ \therefore E_{2n} = 1 - \frac1{2n+1} \sum_{r=1}^n (16^r - 4^r)\binom{2n+1}{2r}B_{2r}$$
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$$r=0$$이면 $$(16^r - 4^r)\dbinom{2n+1}{2r}B_{2r} = 0$$이므로 합의 기호 부분은 $$r=0$$부터 더해주는 것으로 바꿔도 무관하다. 즉
$$\displaystyle E_{2n} = 1 + \dfrac1{2n+1} \sum_{r=0}^n (4^r - 16^r)\binom{2n+1}{2r}B_{2r}$$
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한편 $$\dfrac1{2n+1}\dbinom{2n+1}{2r} = \dfrac1{(2n+1)}\dfrac{(2n+1)!}{(2r)!(2n-2r+1)!} = \dfrac{(2n)!}{(2r)!(2n-2r+1)(2n-2r)!} = \dfrac1{2n-2r+1}\dbinom{2n}{2r}$$이므로
$$\displaystyle E_{2n} = 1 + \sum_{r=0}^n \frac{4^r - 16^r}{2n-2r+1}\binom{2n}{2r}B_{2r}$$
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로도 나타낼 수 있다. 어느 식이든 베르누이 수열이 유리수 수열이기 때문에 오일러 수열로 나타낸 베르누이 수열과는 달리 이쪽은 오히려 계산이 복잡해진다.