크로네커 델타
1. 개요
크로네커 델타(Kronecker delta)는 아래와 같이 정의되는 연산자이다.
$$\delta_{ij} = \left\{\begin{matrix} 0 \; \; \; {\sf if} \; \; \; i \neq j \\ 1 \; \; \; {\sf if} \; \; \; i = j \end{matrix}\right.$$
$$\delta_{ij} = {\bold 1}_{\{i\}}(j) = {\bold 1}_{\{j\}}(i)$$
델타함수라는 이름을 가진 또 하나의 함수, 디랙 델타 함수와는 다른 함수인데, 관점에 따라서는 디랙 델타 함수를 크로네커 델타 함수의 적절한 극한으로 생각할 수 있다. 예를 들어 이산적인(=단속적인=연속적이지 않고, 딱딱 떨어져 있는) 기저들간의 직교 관계를 크로네커 델타로 표현할 수 있는데, 기저들이 연속이 되는 극한에서는 직교성이 디랙 델타 함수로 표현된다.
게오르크 칸토어의 스승 레오폴트 크로네커의 이름을 따왔다. 크로네커는 '자연수는 신이 창조했다. 나머지는 모두 인간의 작품이다'라고 말했을 정도로 자연수빠로 유명했는데 크로네커 델타 역시 두 정수(대개의 경우 두 자연수) 사이에서 정의되는 정수값만을 가지는 함수이다.
2. 수학에서
선형대수학에서는 주로 기저(basis)를 표현할 때 쓰는 $$ e_n $$에 대해, 그 내적인 $$ e_i \cdot e_j $$가 크로네커 델타와 같은 표현이다.
3. 물리에서
물리에선 주로 텐서로된 물리량을 유도할 때 쓰인다. 그 대표적인 예가 질점계 혹은 강체계의 회전운동을 기술하는 관성 텐서.
4. 전자공학에서
디지털 신호 처리에서 모든 수열은 아래와 같이 크로네커 델타 함수를 사용해 표현할 수 있고 증명이나 계산 등에서 편리하게 써먹을 수 있다. 크로네커 델타 함수를 평행이동 시킨걸 모아놓은 집합이 이러한 수열 공간의 정규직교기저(orthonormal basis)가 되는 셈이다. 수열을 급수로 바꾼다고 생각할 수도 있다.
$$x\left[ n\right] =\sum _{k=-\infty }^{\infty }x\left[ k\right] \delta \left[ n-k\right]$$
그리고 크로네커 델타 함수는 신호처리, 제어 등의 분야에서 디지털 시스템을 해석할 때 중요하게 다뤄진다. 일단 어떤 이산 시간 선형 시불변 시스템에 크로네커 델타 함수를 입력해서 얻은 출력을 h[n]이라고 정의한다. 그리고 크로네커 델타 함수를 DTFT하면 1이 되는데 주파수 관점에서 봤을 때 모든 주파수 성분을 갖고 있다고 해석할 수 있다. 자세한 증명을 생략하고 결론만 말하면, 크로네커 델타 함수를 시스템에 입력해서 얻은 h[n]에는 시스템에 대한 모든 정보가 담겨있다. 이때 h[n]을 impulse response라고 부르며 h[n]만 알면 시스템을 완벽히 알 수 있으므로 일종의 만능함수 취급. 이산 시간 선형 시불변 시스템의 출력은 입력과
h[n]h[n]그리고 h[n]을 Z-변환하면 System function H(z)가 되고, DTFT하면 주파수 응답(Frequency response)가 되는데, 둘 다 시스템의 해석에서 매우 중요하게 다뤄진다. 추가로 연속 시간 시스템에서 크로네커 델타 함수와 같은 역할을 하는게 디랙 델타 함수이다.
논리 회로 문서 참조.